2019版八年级数学下册三角形的证明1.3线段的垂直平分线（第2课时）一课一练基础闯关（新版）北师大版.docx

线段的垂直平分线一课一练基础闯关题组三角形三边垂直平分线的性质与应用1.在ABC中,AB=AC,有一点P到A,B,C三点的距离相等,则点P一定在()A.AB边的高上B.AC边的高上C.BC边的中线上D.AB边的中线上【解析】选C.点P到A,B,C三点的距离相等,点P一定在ABC三边的垂直平分线上,AB=AC,由“三线合一”可知BC边的垂直平分线也一定是BC边的中线.【变式训练】已知等腰三角形的底角是70,两腰的垂直平分线相交于点P,下列结论正确的是()A.点P在三角形内部B.点P在三角形外部C.点P在三角形边上D.点P的位置不确定【解析】选A.等腰三角形的底角是70,其顶角为40,这个三角形为锐角三角形,点P在三角形内部.2.(2017东平县期中)已知ABC的三边的垂直平分线交点在ABC的边上,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选B.三角形三边的垂直平分线交点在三角形内部,为锐角三角形,若在外部,则为钝角三角形.若在边上,则为直角三角形,ABC的形状为直角三角形.3.(2017南京一模)如图,在ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若BAC等于82,则OBC=_.世纪金榜导学号10164028【解析】连接OA,BAC=82,ABC+ACB=180-82=98,AB,AC的垂直平分线交于点O,OB=OA,OC=OA,OAB=OBA,OAC=OCA,OBC+OCB=98-(OBA+OCA)=16,OBC=8.答案:84.在ABC中,AB=5,BC=4,AC=3,点O是ABC三边垂直平分线的交点,那么BO的长为_.【解析】因为AC2+BC2=25=AB2,所以C=90,所以点O是AB的中点,所以BO=AB=.答案:5.如图,D是ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BCEF.世纪金榜导学号10164029求证:(1)AB=AC.(2)点O是ABC三边垂直平分线的交点.【证明】(1)D是ABC的边BC的中点,BD=CD,BCEF,ADEF,ADBC,AD是BC的垂直平分线,AB=AC.(2)AO=CO,点O在AC的垂直平分线上,AD是BC的垂直平分线,点O在AD上,点O是边BC和AC的垂直平分线的交点.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,点O是ABC三边垂直平分线的交点.题组线段垂直平分线与等腰三角形1.由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是()A.已知等腰三角形的两腰B.已知一腰和一腰上的高C.已知底角的度数和顶角的度数D.已知底边长和底边上的中线的长【解析】选D.已知等腰三角形的两腰,顶角不确定,作出的等腰三角形不唯一,A错误;已知一腰和一腰上的高,角度不确定,作出的等腰三角形不唯一,B错误;已知底角的度数和顶角的度数,只知道三个角,作出的等腰三角形不唯一,C错误;已知底边长和底边上的中线的长作出的等腰三角形是唯一的,D正确.2.(2017莲湖区月考)已知ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm,则ABC的腰和底边长分别为()世纪金榜导学号10164030A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm【解析】选D.如图,连接BD,D在线段AB的垂直平分线上,BD=AD,BD+DC+BC=AC+BC=38cm,且AB+AC+BC=60cm,AB=60cm-38cm=22cm,AC=22cm,BC=38cm-AC=38cm-22cm=16cm,即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm.3.如图,在ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,连接AD,若AD=4,则CD=_.【解析】过A作AFBC于F,AB=AC,BF=CF=BC,AB的垂直平分线交AB于点E,BD=AD=4,设DF=x,BF=4+x,AF2=AB2-BF2=AD2-DF2,即36-(4+x)2=16-x2,x=0.5,DF=0.5,CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5.答案:54.已知ABC中,AD是BC的垂直平分线,垂足为D,BAD=12B,则ABC是_三角形.世纪金榜导学号10164031【解析】AD是BC的垂直平分线,AB=AC,ADB=90,BAD+B=90,BAD=B,BAD=30,B=60,ABC是等边三角形.答案:等边5.已知:线段a,求作:等腰ABC,使底边BC=a,高AD=12a.(保留作图痕迹,不写作法)【解析】ABC即为所求作的三角形在ABC中,BAC=40,ACB=90,则在直线BC或AC上取一点P,使得ABP为等腰三角形,这样的P点有_个.【解析】以A为圆心,以AB为半径作圆,与直线AC,BC有三个交点;同理以B为圆心,以AB为半径作圆,与直线AC,BC有三个交点;作AB的垂直平分线交AC,BC于两点,即有3+3+2=8个.答案:8【母题变式】变式一如图,在RtABC中,ACB=90,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A.4个B.5个C.6个D.7个【解析】选C.如图,AB的垂直平分线交AC于点P1,交直线BC于点P2此时PA=PB;以A为圆心,AB为半径画圆,交AC有两点P3,P4,交BC有一点P2(此时AB=AP);以B为圆心,BA为半径画圆,交BC有两点P5,P2,交AC有一点P6(此时BP=BA).2+(3-1)+(3-1)=6,符合条件的点有6个.变式二如图,在ABC中,A=36,B=72,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,则图中等腰三角形的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.A=36,B=72,ACB=72,ABC是等腰三角形.DE垂直平分AC,AE=CE,AEC是等腰三角形.ACE=A=36,BEC=72,B=BEC,BC=EC,BCE是等腰三角形.综上所述,图中的等腰三角形共有3个.变式三(2017海安县期末)如图,直线a,b相交于点O,1=50,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的B点有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.要使OAB为等腰三角形分三种情况讨论:当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B,此时有1个;当OA=AB时,以点A为圆心,OA为半径作圆,与直线b的交点,此时有1个;当OA=OB时,以点O为圆心,OA为半径作圆,与直线b的交点,此时有