2018年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第1课时正弦定理1学案新人教A版.docx

第1课时正弦定理(1)学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)自 主 预 习探 新 知1正弦定理思考：如图111，在RtABC中，各自等于什么？图111提示c.2解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？提示利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角基础自测1思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形()(2)正弦定理不适用于直角三角形()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值()答案(1)(2)(3)提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_. 【导学号：91432000】2由正弦定理得：，所以AC2.3在ABC中，A45，c2，则AC边上的高等于_AC边上的高为ABsin Acsin A2sin 45.4在ABC中，若a3，b，A，则C_. 【导学号：91432001】由正弦定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.合 作 探 究攻 重 难 定理证明在钝角ABC中，证明正弦定理证明如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sinCADsin(180A)sin A，sin B.CDbsin Aasin B.同理，.故.规律方法(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.(2)要证，只需证asin Bbsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.跟踪训练1如图112，锐角ABC的外接圆O半径为R，证明2R. 【导学号：91432002】图112证明连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.用正弦定理解三角形已知ABC中，a10，A30，C45，求角B，边b，c.思路探究：角A，B，C满足什么关系？105可拆分成哪两个特殊角的和？由正弦定理如何求得b，c的值？解A30，C45，B180(AC)105，又由正弦定理得：c10.b20sin(6045)5()B105，b5()，c10.规律方法(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：已知三角形的任意两角与一边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角.跟踪训练2已知B30，b，c2，求A、C、a.【导学号：91432003】解由正弦定理得：sin C，cb,0C180，C45或135.当C45时，A105，a1，当C135时，A15，a1.三角形形状的判断探究问题1已知ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助ABC的外接圆推导出正弦定理提示：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90，BACBDC，在RtBCD中，BCBDsinBDC，所以a2Rsin A，即2R，同理2R，2R，所以2R.2由2R，2R，2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由2R，2R，2R可以得到的变形：sin A，a2Rsin A；sin B，b2Rsin B；sin C，c2Rsin C由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状. 【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sin A，sin B，sin C把sin2Asin2Bsin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A2sin Bcos C求解解法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BCsin B，则有() 【导学号：91432005】Aab Da，b的大小无法判定C因为，所以.因为在ABC中，sin Asin B0，所以1，所以ab.3在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D不等边三角形B由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB.故ABC为等腰三角形4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于() 【导学号：9143200