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2.4矩 阵 的 秩,1矩阵的秩,2矩阵的初等变换,3用初等变换求矩阵的秩,4线性方程组与矩阵的初等变换,本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，并提出求秩的有效方法 再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法 内容丰富，难度较大.,定义1,一.矩阵的秩,定义2,例1,解,一般矩阵当行数与列数较高时，按定义求秩很麻烦,而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.,因此自然想到用什么方法可把矩阵化为行阶梯形矩阵,且变化后两个矩阵的秩能相等？,现作准备工作，给出初等变换的概念！,二.矩阵的初等变换,定义 3,矩阵之间的等价关系具有以下性质：,可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵,因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.,对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数。,可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵,但两个等价矩阵的秩是否相等？,下面定理作出肯定回答,定理 1：初等变换不改变矩阵的秩,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,证,经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.,例2,解,例3,解,例 4,解,下面内容与求秩无关，进一步化简行阶梯形矩阵，看是什么样子？,例 5,解,前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有：,证,证,以后我们还要介绍两条常用的性质，现在罗列于下：,例 6,证,引例,线性方程组与初等变换关系回顾消元法解线性方程组,求解线性方程组,消元法 解方程组,解,于是解得,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的初等行变换,练习：求解,发现：1若A的秩为r,则同解方程组含有r个方程。,2同解方程组含方程的个数变量个数，则有非零解。,=系数矩阵的秩,得到齐次线性方程组有非零解的判定条件,证,必要性.,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,用反证法，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,推论：,小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,推论：,3.初
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