《线性代数复习》PPT课件.ppt

线性代数复习 本科类,授课人： 数学学科组 狄芳,1、行列式,本章的重点是注重学会利用行列式的性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列式的计算，并掌握两行(列)交换、某行(列)乘数、某行(列)加上另一行(列)的k倍这三类运算。,EX1 计算,EX2 k取何值时 有非零解,2、矩阵,矩阵的乘法,1、定义,若,规定,ms 矩阵A乘sn 矩阵B得到一个mn 矩阵C，,C中的第i 行第j 列元素cij 由矩阵A中第i 行的s 个元素与矩阵B中第j 列的s 个元素对应相乘相加得到,求 (1) AB + BA, (2) A2 - BT,已知矩阵 A= ， B =,EX1,称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：,1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；,(1) 行阶梯形矩阵,2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.,如,几种要关注的矩阵,称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：,1）行阶梯形矩阵,(2) 行最简形矩阵,2）各非零行的首非零元均为1.,3）首非零元所在列其它元素均为.,如,把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,(3) 转置矩阵,定义,(4) 对称矩阵,定义,如,使得,A 的逆矩阵记作 A-1,则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵,对于n 阶矩阵A，如果有一个n 阶矩阵B ，,定理 A可逆的充要条件是 |A| 0,方阵的逆阵的性质,(4) 若A可逆 则AT也可逆 且(AT)-1= (A-1)T,逆矩阵,定义 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换对应为对方程组的增广矩阵的初等变换,(1)对调两行(列),(2)以非零数 k 乘某一行(列)中的所有元素,(3)把某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上去,定义 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，,就称矩阵A与B等价，记作,3、矩阵的初等变换,用初等行变换法求矩阵的逆,此为求逆矩阵的第二种方法，即初等变换法，也是最常用的方法，并且这种方法可以自动判断矩阵的可逆性。,(A E) (E A1),另一方法:伴随矩阵法,EX1 求下面矩阵的逆矩阵,利用初等行变换可把矩阵A 化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.,所有行等价的矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的,在求矩阵和向量组的秩时把矩阵A 化为行阶梯形矩阵.,在解线性方程组时把矩阵A 化为行最简形矩阵.,定理 矩阵经过初等变换后其秩不变 即 若 AB 则 R(A)R(B),求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 其中非零行的行数即是该矩阵的秩,定理 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数,利用初等变换求矩阵的秩,EX2 求矩阵 的秩,极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA,向量组的极大无关组的定义和等价定义,定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩,典型例题 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示,方法：对A施行初等行变换变为行最简形矩阵,求得R(A) =r 可知列向量组的极大无关组含r 个向量,行最简阵中单位向量所对应的列向量为列向量组的一个极大无关组,将A的行最简形矩阵中其余向量用单位向量表示，其表示系数即为所求,利用初等变换求向量组的极大无关组,EX3 利用初等变换求下列向量组的一个极大无关组，并把其余列向量用极大无关组线性表示,n个未知数m个方程的线性方程组 Axb,(1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n,n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n,4、线性方程组的解,齐次线性方程组解的结构,设1 2 t为方程Ax0的基础解系 则方程Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR),定理,用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A化为行最简形，设R(A)=r,齐次线性方程组求基础解系的方法,从最简形的同解方程组可以解出基础解系, 基础解系含有n-r个线性无关的解向量, 最后得出通解,设1 2 n-r为方程Ax0的基础解系 则方程Ax0的通解为,xc11c22 cn-r n-r (c1 c2 cn-r R),设mn矩阵A的秩R(A)r 则n元齐次线性方程组Ax0的解空间S的秩RSnr,EX1 求齐次线性方程组,的基础解系与通解,设*是方程组Axb的一个特解 1 2 nr是对应齐次方程组Ax0的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R),非齐次线性方程组解的结构,求解线性方程组Axb的步骤,(1)把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B) 若R(A)R(B) 则方程组无解,(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形,(3)从最简形的同解方程组得出特解,并从对应的齐次方程组中解出基础解系,最后得出通解,EX2 已知线性方程组,(1)问 取何值时方程组有解,(2) 有解时求出它的通解并写出对应的基础解系,5、相似矩阵及二次型,向量的内积,内积的性质,（1）对称性：,（2）线性性：,设 为n 维向量 k为实数 则,（3）非负性：当0 时, 0 ; 当=0 时, =0 ;,设有n 维实向量,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,由单位向量组成的正交组称为规范正交组.,规范正交组,两两正交：ai , aj = aiTaj = 0,规范: |ai| = 1,正交阵,正交阵的列(行)向量都是单位向量 且两两正交, 即正交阵的列(行)向量构成规范正交组,ATAE (即A1AT),相似矩阵,则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似,设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使 P1APB,2、特征值、特征向量,n阶矩阵A 数和n维非零向量x, 使关系式,A的对应于特征值的特征向量：(E-A)x0的非零解x,A的特征值：特征方程|E-A|0的根,数称为方阵A的特征值 x称为对应于特征值的特征向量,Axx 成立,求矩阵A的特征值和特征向量的方法：,(1) 求特征方程|E-A|0的根得A的特征值,(2) 对每个特征值 解(E-A)x0得基础解系,若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值也相同,若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值,EX1 求矩阵 的特征值 ,EX2 设 ，求A的特征值与,特征向量，并求矩阵U,使得 为对角阵,行列式习题课,一、定义与计算,二、三阶行列式 对角线法则,四阶及四阶以上的行列式 展开定理,常用：利用性质6化零，利用展开定理降阶相结合,或：利用性质6化为上三角行列式,二、性质,（1）性质1,（2）性质2,（3）性质3,（4）性质3推论1,（5）性质5,（6）性质6,保值,判零,（7）性质2推论,（8）性质4,（9）性质3推论2,三、cramer法则,若 ，,若 ，,则 有唯一解,则 只有零解,若,有非零解，则,EX1,EX2 用克拉默法则求解,矩阵及其运算习题课,一、矩阵运算,1线性运算,2乘法,则,其中,二、矩阵的行列式,A为n阶方阵，,表示A的行列式,（1）,（2）,（3）,三、矩阵转置,若,，则A为对称阵.,四、逆矩阵,1定义，存在性，唯一性,若AB=BA=E，则A与B互为逆矩阵.即,2性质（与转置性质对照）,（1）,（2）,（3）,（4）,不成立,（5）,（6）,3求逆方法伴随矩阵法,A可逆,，A为非奇异的,4应用,（1）解线性方程组,（2）求解矩阵方程,例 设n阶方阵A与B满足 A+B=AB,（1）证明 A-E为可逆矩阵,（2）已知 ,求A,矩阵的初等变换习题课,一、初等变换（行）,互换变换,倍乘变换,倍加变换,二、矩阵的秩,R(A)=r A中非零子式的最高阶数,求法：（1）定义,（2）初等变换法化为行阶梯阵,三、初等矩阵 单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵,形式：互换阵、倍乘阵、倍加阵,作用：（1）对A进行一次行初等变换相当于以相应的初等阵去左乘A,对A进行一次列初等变换相当于以 相应的初等阵去右乘A,（2）定理 任一非奇异矩阵经过一系列 初等变换可化为单位阵,求逆方法：,例1 求解,Ch4 习题课,一、线性组合,为,的线性组合,存在组合系数，使得,二、线性相关,不全为0,线性相关,当且仅当,线性无关,三、极大线性无关组,向量组A中能选出r个向量,满足 (1)向量组B 线性无关,（2）向量组A中任何向量都可由向量组B线性表示,为向量组A的一个极大无关组,四、向量组的秩,向量组A中极大无关组的个数称为向量组的秩,矩阵A的秩=其行向量组的秩=其列向量组的秩,判断线性相关、无关的方法,（1）引入待定系数,求解齐次线性,方程组,有非零解,不全为零,相关,只有零解,无关,（2）当向量“个数=维数”,（即未知数个数=方程个数）,引入行列式,（3）当向量“个数维数”,则向量组必定线性相关,（即未知数个数方程个数）,（4） 由K个向量 组成一个矩阵 则当R(A)K时，向量组线性相关 当R(A)=K时，向量组线性无关,求极大无关组的方法 （求向量组的秩，判断线性相关，无关）,（1）以向量为列构造辅助矩阵,（2）将A作初等行变换化为行最简形矩阵B,（3）A的秩（B的非零行行数）即为向量组的秩r,（4）若线性相关，则B中单位阵所对应的 向量即