2018_2019学年高中数学第二章推理与证明复习提升课学案新人教A版.docx

第二章 推理与证明章末复习提升课利用递推关系猜想数列通项公式问题展示（教材P83习题2.1 A组T1）在数列an中，a11，an1（nN*），试猜想这个数列的通项公式.【解】因为a11，an1，所以a2，a3，a4，所以猜想数列an的通项公式为an.已知数列an的通项公式为an.是否存在常数a，b，使得an1对于一切nN*均成立，若存在，求出常数a，b的值，若不存在，说明理由.【解】假设存在满足条件的常数a，b.由an与an1得，即（a1）n（2a2b1）0对于nN*恒成立，所以所以a1，b.即存在常数a1，b，当an时，an1对于一切nN*均成立.【拓展1】直接推出原问题中数列an的通项公式.【解】由a11，an1得，即.即数列是以首项为1，公差为的等差数列，所以1（n1）.所以an.【拓展2】在数列an中，a11，an1.（1）猜想数列an的通项公式；（2）求数列an的通项公式.【解】（1）由a11，an1得a2，a3，a4，由此猜想an.（2）由a11，an1得1，所以2，所以数列是首项为21，公比为的等比数列.所以21，所以2，所以an.即所求数列的通项公式为an.分析法与综合法的应用问题展示（教材P89练习T2）求证2.【证明】要证2，只需证（）2（2）2，展开得132132，只需证，只需证4240.因为4240显然成立，所以2成立.若25恒成立，比较m与5的大小.【解】由25得52.即m（52）23320，所以m528204（75）.因为72（5）2495010，所以75，即750，即m54（75）0，所以m5.设a0，求证：.【证明】因为a0，所以要证成立，只需证明（）2（）2成立.展开得2a322a32.即证 成立，只需证（）2（）2成立.只需证a23a2a23a成立.即证20成立，20显然成立.所以成立.演绎推理的应用问题展示（教材P85例1）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证ABC为等边三角形.【证明】由A，B，C成等差数列，有2BAC.因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即（ac）20，因此ac.从而有AC.由，得ABC.所以ABC为等边三角形.在ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c.若B，试比较：（1）b2与ac的大小；（2）2b与ac的大小.【解】因为B，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac.（1）b2aca2c22ac（ac）20，所以b2ac.（2）（2b）2（ac）24b2a22acc24（a2c2ac）a22acc23a26ac3c23（ac）20，所以（2b）2（ac）2，即2bac.【拓展1】在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c.（1）若a，b，c成等比数列，求B的范围；（2）若a，b，c成等差数列，求B的范围.【解】（1）因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.由余弦定理得cos B.即cos B，又B（0，），所以0B.（2）因为a，b，c成等差数列，所以b，由余弦定理得cos B.即cos B，又B（0，），所以0B.【拓展2】在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证ABC为正三角形.【证明】因为A，B，C成等差数列，所以2BAC，又ABC，由得B.又a，b，c成等差数列，所以b，由余弦定理得b2a2c22accos B，将代入得a2c22ac.化简得a22acc20，即（ac）20，所以ac，由得abc，所以ABC为正三角形.归纳猜想证明的应用问题展示（教材P94例2）已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.【解】S1；S2；S3；S4.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n1时，左边S1，右边，猜想成立.（2）假设当nk（kN*）时猜想成立，即，那么，所以，当nk1时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何nN*都成立.已知数列an满足a11，且对于一切nN*均成立.（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明.【解】（1）因为a11，.当n1时，则a24.当n2时，则a37.当n3时，则a410.（2）由a11，a24，a37，a410猜想an3n2.下用数学归纳法证明.当n1时，显然成立.假设nk（kN*）时猜想成立，即ak3k2.则当nk1时，即.所以（3k2）（3k2），所以ak13k13（k1）2.即nk1时，猜想也成立.根据知猜想对任意nN*都成立.已知数列an是递增等差数列，且a10.求证：.【证明】当n1时，左边，右边，等式成立.假设nk（kN*）等式成立，即，则当nk1时，即nk1时，等式也成立，由知，等式对于一切nN*均成立. 1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（）A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个是偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数解析：选B.对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中的“杨辉三角形”.123452 0132 0142 0152 01635794 0274 0294 031812 16 8 0568 06020 2816 116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A.2 01722 013B.2 01722 014C.2 01622 015 D.2 01622 014解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为331320；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为842421；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为2054522；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为4868623.归纳推理，得当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 01722 014.故选B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，”.（）A.长方体的体积最大，最大值为2R3B.正方体的体积最大，最大值为3R3C.长方体的体积最大，最大值为D.正方体的体积最大，最大值为解析：选D.类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a2R，得a，体积Va3.故选D.4.已知a，b，c，d（0，）.求证acbd.证明：法一：（分析法）欲证acbd，只需证（acbd）2（a2b2）（c2d2），即证a2c22abcdb2d2a2c2b2d2a2d2b2c2，即证2abcda2d2b2c2，即证0（bcad）2，而a，b，c，d（0，），0（bcad）2显然成立，故原不等式成立.法二：（综合法）（a2b2）（c2d2）a2c2b2d2a2d2b2c2a2c2b2d22abcd（acbd）2，所以acbd.5.已知数列an满足关系式a1a（a0），an（n2，nN*），（1）用a