《线性代数教案》doc版.doc

第三篇 线性代数线性代数发展史线性代数是高等代数的一大分支，是研究线性关系的最基本的数学工具。一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数叫做线性代数。线性代数的两个重要工具行列式和矩阵，这两个概念在十九世纪就受到很大的关注。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出，他在1683年写了解优题之法，此书对行列式的概念和它的展开有着清楚的叙述。在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国数学家莱布尼兹，他于1693年提出。1750年，瑞士数学家克莱姆写了线性代数分析导言，此书用克莱姆法则这个重要的公式来求解线性方程。1764年，Bezout对于给定的含n个未知量的n个齐次线性方程组，证明了系数行列式等于0是这个齐次线性方程组有非0解的必要条件。范得蒙第一个对行列式理论进行了系统阐述，他给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式，他可以称作为行列式这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在其著作对积分的世界体系的探讨中，推广了范得蒙展开行列式得方法。任意取定n阶行列式的某r行（列），用位于这r行（列）中所含的所有r阶子式和与它们对应的代数余子式的乘积的和等于行列式的方法来展开行列式。法国数学家柯西大大发展了行列式理论，同时发现了行列式的乘法定理，改进并证明了拉普拉斯的展开定理。德国数学家雅可比于1841年引进了函数行列式，即“雅可比行列式”， 指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的成立。高斯大约于1800年提出了高斯消元法。这种方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法。1848年，英格兰数学家西尔威斯特首先提出矩阵这个词，在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱第一个把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个矩阵的一系列文章，可以称作是矩阵论的创立者。1858 年，他发表的论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。在该论文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性，在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。数学家柯西首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值。弗罗伯纽斯讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。矩阵的发展是与线性变换密切相连的，矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。第八章 矩 阵学习目标：1. 掌握矩阵的概念和运算2. 熟练对矩阵进行初等变换运算3. 掌握矩阵秩的概念和求法主要内容1. 矩阵的概念和运算2. 矩阵的初等变换3. 矩阵的秩1矩阵的基本概念与基本运算一、矩阵的定义引例：某公司下属三家企业2008年产品库存量如下表（单位t）。库存量 季度 企业一二三四11000900980120021010110090010003900800700500去掉表头后，此库存量表可以简单写成矩形数表的形式。数表每个位置上的数都具有其固定的含义，不能随意调换，如第二行第三列表达企业2第三季度的库存量，这样的数表我们称为矩阵。定义 由mn个数组成一个m行n列的数表，称为一个mn的矩阵，记作，通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，也可以记作或，其中称为矩阵第i行第j列的元素。二、常见的矩阵1、行（列）矩阵 仅有一行或一列的矩阵。 ； 2、方阵 行数m与列数n相等的矩阵，即（m=n）。3、上（下）三角矩阵 主对角线以下（上）元素全部为0，主对角线以上（下）元素不全为0的矩阵。；1、 对角矩阵 除主对角线上元素外，其他元素均为0的矩阵。特别的，当主对角线上的元素均为1时，称作单位矩阵，记作2、 零矩阵 所有元素均为0的矩阵,记作0。2矩阵的运算无论在数学上还是在实际应用中，矩阵都是一个很重要的概念，如果仅把矩阵作为一个数表，就不能充分发挥其作用，因此，对矩阵定义一些运算十分必要。一、 矩阵的加法定义 设有两个mn矩阵，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为A与B对应元素的相加例1、设将某物资（单位t）从三个产地运往三个销售地的两次调运方分别用矩阵A，B表示为，求两次调运的和，即总调运方案。解：注：只有同型矩阵方可相加。矩阵的加法满足下列的运算规律：1、 A+B=B+A2、 (A+B)+C=A+(B+C)3、 A+O=A二、 数与矩阵的乘法定义 设k为任意数，k乘以矩阵A中的每一个元素所得到的矩阵叫做k与A的积，记作kA或Ak，即数乘矩阵满足下列的运算规律：1、 k(A+B)=kA+kB2、 （k+h）A=kA+hA3、 （kh）A=k（hA）三、 矩阵的减法设矩阵，记，-A称为矩阵A的负矩阵，并规定矩阵的减法为。例2、已知矩阵,求2A，2A-B.解： 四、 矩阵的乘法定义 设有两个矩阵，定义，规定即，为A的第i行元素与B第j列元素对应相乘之后再相加。例3、设矩阵。解： BA不存在注1：AB存在时，BA未必存在； 并非任意两个矩阵均可相乘，当且仅当A的列数等于B的行数的时候，AB方可相乘。例4、解：注2：通常情况下，矩阵,即矩阵不满足交换律。例5、解：注3：单位矩阵E与任一矩阵A相乘等于A本身，即。 O矩阵与任一矩阵A相乘等于O矩阵，即。两个非O矩阵相乘，结果可以为O矩阵，即。例6、解：注4：矩阵乘法一般不满足消去律，。矩阵乘法满足下列的运算规律：1、2、3、4、五、矩阵的转置定义 把矩阵A的行列依次互换，得到一个新矩阵，这个新矩阵称作矩阵A的转置矩阵，记作。例如，矩阵的转置矩阵为。例7、已知矩阵解： 矩阵的转置满足下列的运算规律：1、2、3、4、本节习题1、2、3、计算下列矩阵的乘积（1） （2）（3） （4）（5）4、3矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义 对矩阵施以以下三种变换1、互换变换：互换矩阵的两行（列）的位置。2、倍法变换：用一个不等于零的数乘以矩阵的某行（列）的所有元素。3、消去变换：把矩阵的某行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上去。这三种变换称为矩阵的行（列）初等变换，统称为矩阵的初等变换。二、单位矩阵的初等变换与初等阵定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，简称初等阵。三种初等阵分别用表示。定理 对矩阵A施以一次行（列）初等变换，就相当于在矩阵左（右）边乘上一个相等变换的初等阵；即,则，反之亦然；,则，反之亦然；,则，反之亦然。例1、三、利用初等变换化简矩阵对矩阵实施初等变换的一个重要目的就是把矩阵化简，下面介绍几种化简后的形式及化简方法。1、 阶梯型矩阵定义 已知非零矩阵满足（1） 如果有零行，零行一定矩阵的最下端。（2） 各非零行第一个非零元素所在列中，该非零元素下方的所有元素均为零。例如，为阶梯型矩阵。例2、利用行初等变换，将矩阵化为阶梯型矩阵。解：2、简化的阶梯型矩阵定义 对于阶梯型矩阵，若它还满足：（1） 各非零行的第一个非零元素均为1。（2） 各非零行的第一个非零元素所在列的其余元素均为0。例如，例3、利用矩阵的行初等变换将例2中的矩阵化为简化的阶梯型矩阵。解：例4、利用行初等变换，将矩阵化为简化的阶梯型矩阵。解：四、矩阵的秩定义 若矩阵A的r阶子行列式至少有一个不为零，而所有高于r阶的子行列式都为零，则称矩阵A的秩为r，记作r（A）=r。特别的，若A是n阶非奇异方阵，即r=n，则称A为满秩。例5、解： A有三阶子式,而A的所有四阶子式全部为零，因此，r（A）=3。定理 矩阵经过初等变换之后，其秩不变。定理 阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数。如上例5，阶梯型矩阵A的非零行个数有3个，故r(A)=3。例6、设矩阵，求矩阵A的秩。解：对矩阵A施以行初等变换化为阶梯型矩阵所以，。本节习题1、 用行初等变换将下列矩阵化为阶梯型矩阵（1） （2）（3）2、 用行初等变换将下列矩阵化为简化的阶梯型矩阵（1） (2)3、 求下列矩阵的秩(1) (2)本章小结 矩 阵1、矩阵及其计算（1） 行列式是一个数，矩阵是一个数表。行列式乘一个数是一行或列乘，矩阵乘一个数是全邻乘。（2） 矩阵的运算：矩阵的加法、减法、矩阵与矩阵相乘应满足的条件及运算规律。2、矩阵的初等变换：（1）矩阵的三种初等变换，（2）阶梯形矩阵，（3）简化阶梯形矩阵。任何一矩阵都可以通过有限次初等变换化为阶梯形矩阵，任何一阶梯形矩阵都可通过有限次初等变换化为简化阶梯形矩阵。矩阵的简化阶梯形矩阵是惟一的，而矩阵的阶梯形矩阵的个数不是惟一的，但阶梯形矩阵中非零行的个数是惟一的。3、矩阵的秩：（1） 矩阵的秩的定义，满秩定义。（2）任何满秩矩阵都能通过初等变换化为单位矩阵。（3） 矩阵经过初等变换后，其秩不变。（4）（4） 矩阵的秩的性质：*, 若可逆，则，* ，。复习题 矩 阵一、 填空题1、设矩阵A, B, C，满足等式, 其中, , 则矩阵 。2、设, , 则 。3、设A, B均为对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是 。4、设, 则r (A)= 。二、选择题1、矩阵经过初等行变化后，其秩（ ）。A、改变 B、可能改变 C、不改变 D、为零三、设, 求A 的秩。第九章 行列式学习目标：1. 掌握行列式的定义及计算2. 理解并熟练运用行列式的性质3. 熟练掌握行列式的计算4. 熟练掌握逆矩阵的计算主要内容：1. 行列式定义2. 行列式性质3. 行列式计算4. 逆矩阵的求法历史上，行列式的概念来自线性方程组的求解问题。如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用。特别是在本门课程中，它是进一步讨论矩阵的性质以及研究后面线性方程组的一种重要工具。因此，本章主要在二、三阶行列式的基础上，建立起n阶行列式的理论：n阶行列式的定义、性质和计算方法。第一节 行列式的定义一、行列式的定义1、二阶行列式的定义定义 对于任意二阶矩阵A，规定记号称为A的二阶行列式，简记D或者detA以及。并且规定算法 Da11a22a12a21 。上式等式右边叫做行列式的展开式，其展开式是个多项式。注 对于上述二阶行列式，我们常常用下列方法帮我们记忆：主对角线副对角线说明其实二阶行列式就是一个数，它等于主对角线两数之积减副对角线两数之积（这种方法我们叫作对角线法则）。例1、已知A=，求detA解： detA13（12）52、三阶行列式的定义定义 对于三阶矩阵A，我们规定记号为A的三阶行列式，简记D或者detA以及。并规定detA的算法D= (a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31)-(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32)为了方便记忆，我们也有类似的方法：=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.注 其实三阶行列式也是个数。这个数是这样得来：图中实线看作是平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号，最后做代数和。（这种方法也叫作对角线法则）例2、利用对角线法则求下个行列式 解：按对角线法则，有 (3(-1)(-2)+(-2)03+1(-2)1)-(1(-1)3+(-2)(-2)(-2)+301)=15说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式类似，我们把二阶、三阶行列式的概念推广到一般n阶矩阵的行列式。3、n阶行列式的定义定义 对于n阶矩阵A，我们规定记号D为n阶矩阵A的行列式。当行列式的阶数增大时，直接计算行列式一般很困难，为此,我们先介绍行列式的性质，再研究较高阶行列式的算法 习题 1、计算下列行列式(1) (2) (3) (4) 2、解下列方程式 1) 已知D=3，求x2) 已知 ，求x第二节 行列式的性质与运算一 、n阶行列式的性质性质1 ，即将n阶行列式的行和列互换，其值不变。即 ，例如 。由性质1可知，对于行列式的“行”成立的性质，对于“列”同样成立。性质2 交换n阶行列式任意两行（列）的位置，行列式改变符号。例如 。推论 若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式为0，即 0 。实际上，若行列式D中有两行（列）相同，交换这两行（列）的位置，有DD，由此可得detA0 。性质3 行列式某一行（列）的公因子可提到行列式外。即 k 。推论 若行列式某行（列）全为0，则该行列式为0。例如 =0。实际上，把该行（列）的零因子提到行列式外，则可得此结论。推论 若行列式两行（列）元素对应成比例，则该行列式为0。例如 0 。实际上，若第s行与第i行的元素对应成比例k，把第s行的公因子k提到行列式外面，则行列式有两行完全相同，由前面推论可得原行列式等于0 。性质4 若行列式某（列）的所有元素都是两个数之和，由此行列式可写成两个行列式的和。即 。例如 3性质5 行列式某行（列）各元素乘以k后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。即 。性质6设A为n阶方阵，B为n阶方阵，为常数， 则 ；。 二、 n阶行列式的计算n阶行列式的计算较复杂，通常采用将较高阶的行列式转化成较低阶的行列式进行计算。定义 n阶行列式划去所在的第i行和第j列，余下的元素按原来顺序不变组成n1阶行列式，称为的余子式，记作，并把 称为元素的代数余子式。例如， detA， , 。定理 阶行列式D等于它的任一行（列）所有元素与其代数余子式乘积之和（此方法称为降阶展开法）（按第i行展开 i1，2, n）（按第j列展开j1，2, n） 注 根据该定理在理论上可以把n阶行列式降为n1阶的，再降到n2阶的一直降到较低阶的，此方法是解决高阶行列式求值问题的可行方法。下面拿三阶行列式为例；例1、 用降阶展开法来求下列三阶行列式例D=解： =a11-a12+a13 (就第一列展开)=a11-a21+a31 (就第一行展开)=-a21+a22+a23 (就第二列展开)(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31)-(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32) 例2、计算行列式 . 解： 将D按第三列展开,应有 解 因为Da13A13+a23A23+a33A33+a43A43, , , , ,所以 D=3191(63)(1)180(10)24.从上述例题可以看出一般情况，降阶展开法应该比对角线法求三阶行列式要容易记些。但是从上述例题我们也发现即使是降阶展开法如果按照不同的行（列）展开计算的难易程度也不一样，不难得出一般情况我们选择“零”多的比较简单。如果一个行列式没有“零”或者很少“零”，我们可以利用用行列式的性质来化零。我们常常化零的方式有两种：化零降阶法 和化上三角形方法一 （化零降阶法）利用上述定理不难得出应选择“0”元多的行（列）展开，计算会简单些因此在计算一个n阶行列式，经常会用到行列式的性质，将某一行（列）的n-1个元化为零，然后按定理展开，这样一个n阶行列式就化为一个n-1阶的，依次按同样的方法做下去，直到化成二阶或者三阶的计算，从而达到简化的目的，这种方法叫“化零降阶法”。方法二（化上三角形行列式法） 阶行列式：a11a22ann上述行列式叫上三角形行列式，其值等于主对角线上所有元素的乘积。所以，我们通常也可以根据行列式的性质把一个n阶行列式化成一个上三角形行列式，使问题简化。这种方法通常也叫“化三角形行列式法”。注：上三角行列式、下三角行列式、对角行列式的值都等于主对角线上元素的连乘。例 已知，利用上述两种方法来计算行列式。方法一：化为上三角形11(7)17方法二：化零降阶-7习题 1、 计算下列行列式（1） （2）（3） （4）*2、 计算已知= ，求项系数 。*3、 证明=a44、 证明对角行列式（其对角线上的元素是未写出的元素都为0）注 上述公式可以直接用5、证明下三角行列式注 上述公式可以直接用第四节 范得蒙行列式一、范得蒙行列式定义定义 下个行列式为D为n阶范得蒙行列式，其中为连乘积的符号。定理n阶范德蒙行列式 . 证明 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2) (an-an-1) . 例1、计算行列式 解：根据范德蒙行列式得 例2、计算行列式 D= 解：根据范德蒙行列式得 第五节 矩阵的逆运算在实数运算中，如果，受此启发，我们亦从类似的等式着手，建立逆矩阵的概念。一、逆矩阵的概念定义 对于n阶矩阵A，若存在一个矩阵B，使得AB=BA=E成立，则称矩阵A是可逆的，并把B称作A的逆矩阵，记作；亦可记为。例如：二、逆矩阵的性质性质1、若矩阵A是可逆的，则逆矩阵唯一。性质2、若矩阵A可逆，则。性质3、若AB都是n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且有（注意和做区别对比）。性质4、若A为可逆矩阵，则也可逆，且有。性质5、若矩阵A可逆，有（k为非零常数）。三、逆矩阵的求法（1）伴随矩阵法求逆矩阵为求逆矩阵，先引入非奇异矩阵和伴随矩阵概念。定义 若n阶方阵A的行列式，则称A为非奇异矩阵。定义 设矩阵，矩阵A所对应的行列式为，是中的元素的代数余子式，称矩阵为A的伴随矩阵。定理 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵为 *证明：由于仍然是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为： 由行列式按一行（列）的展开公式可知 即 同理可得 由逆矩阵定义 注：此处，即A必需非奇异。例1、求矩阵的逆矩阵。解：又例2、已知矩阵，判断是否可逆,如果可逆,求.分析 利用求解解：因为 ,所以可逆.又所以：注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是：1、求矩阵的行列式，判断是否可逆；2、若存在，求的伴随矩阵；3、利用公式，求（2）行初等变换法求逆矩阵定理 可逆矩阵A（非奇异）的逆矩阵可以表示成有限个初等阵的积。*证明：矩阵A可逆，则A可以通过初等变换化为单位矩阵E，即存在初等阵，使得 等式两边右乘,得 由定理可看出，如果用一系列的初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么用同样的初等变换作用于单位矩阵E，即可得到A的逆矩阵。这为我们提供了一个求解逆矩阵的好方法！作矩阵,对该矩阵施以行初等变换，将它左半部分A化为单位矩阵时，则右半部分的E化为了。即如下：例3、求矩阵的逆矩阵。解：例4、求矩阵的逆矩阵。解：例5、解矩阵方程，其中。解：由于仿照逆矩阵的求解方法，求X，只需注：若矩阵方程为，则方程的解为本节习题1、设二阶矩阵，（ adc b）求其伴随矩阵，判断其是否可逆，若可逆求2、已知，试证可逆，并求3、已知AX=B,且，求X ； (3) ；4、设A为n阶方阵，B为n阶方阵，为A的转置伴随阵，为A的逆矩阵，为数，有5、求下列矩阵的逆矩阵（1） (2)(3) (4)(5) (6)本章小结 行列式1、行列式的概念：从二元、三元线性方程组的解出发，给出二阶、三阶行列式的定义。在分析二阶、三阶行列式的特点基础上，给出n 阶行列式的定义。2、行列式的性质及理论：（1）行列式5条性质。（2）行列式定理：，。3、计算行列式的方法：（1） 直接用行列式的性质；（2） 三角化法：将行列式化为上（下）三角行列式；（3） 降阶法：按行（列）展开，高阶化低阶。4、克莱姆法则：（1） 齐次线性方程组：；（2） 非齐次线性方程组：复习题 行列式一、 填空题1、 二元一次方程组的解 。2、 当时， 。3、 齐次线性方程组有非零解，则 。4、 方程，则 。5、 计算三阶行列式 。6、 若, 则A 的行列式 。二、选择题1、，则（ ）。A、 B、-1 C、 D、12、线性方程组（ ）。A、有无穷多解 B、有惟一解 C、无解 D、只有零解3、（ ）。A、7 B、8 C、6 D、-74、设，则（ ）。A、4 B、-4 C、6 D、-65、齐次线性方程组有非零解，则k= ( )。A、2 B、-3 C、-2或3 D、1或06、设A为三阶矩阵，且, 则下列各式成立的是（ ）。A、 B、 C、 D、7、设A为三阶方阵，则( )。A、 B、 C、 D、8、设A 为可逆矩阵，且, 则( )。A、 B、 C、 D、9、矩阵的伴随矩阵( )。A、 B、 C、 D、三 、计算下列行列式1、2、四、解线性方程组五、取何值时，齐次线性方程组有非零解？*六、证明行列式七、计算题1、设, 求。2、设, , , 满足, 求 。八、证明：若A 满足, 证明和都可逆，且互为逆矩阵。九、逆矩阵：可逆矩阵一定是方阵，且逆矩阵惟一。求逆矩阵的方法：（1）伴随矩阵法（适用于较低阶矩阵），（2）初等变换法。第十章 线性方程组学习目标：1. 理解克莱姆法则求解线性方程组2. 掌握用消元法求解线性方程组主要内容：1. 用克莱姆法则求解线性方程组2. 用消元法求解线性方程组线性方程组是线性代数中的一个基本问题。在经济领域的规划、决策等问题中经常遇到求解线性方程组的问题。本节主要讨论用克莱姆法则求解方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组的方法；以及用消元法求解未知量个数和线性方程组的个数不相等，或者相等但是系数行列式为零的一般线性方程组的解法。定义 含有n个未知量，m个方程的线性方程组若常数项 不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若 全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。 记矩阵 则线性方程组可写成矩阵形式AX=B其中称A为线性方程组的系数矩阵，X为未知量矩阵，B为常数项矩阵。 下面介绍线性方程组的两种解法克莱姆法则和消元法。第一节 克莱姆法则对n个未知量，n个方程的线性方程组引入记号D，D1，D2 Dn 其中D为系数行列式，D1，D2 Dn是用b1,b2,bn分别代替系数行列式D中的第一列，第二列第n列而得到的新行列式。当D0时，方程组有唯一解： ， ， , 这一法则称为n元线性方程组的克莱姆法则。例1、 解方程组解：=120 =27 =21 =60所以 = ， ， 第二节 消元法解线性方程组 我们讨论m个方程，n个未知数的线性方程组解的问题，即：是否有解？若有解，有多少组解？如何求其解？下面通过一例题总结线性 方程组的解法。例1、 解方程组 解：将方程组中的系数、常数项放在一个矩阵当中，称为方程组的增广矩阵，记作=(A|B)方程组的消元过程增广矩阵的变换过程 分析上例消元法解线性方程组的过程可知，它实际上是对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其化为简化的阶梯形矩阵，从而求解。例2、 解方程组解：所以 x1 =1 x2 =2 x3 = -2观察：此方程组中未知量个数n=3,系数矩阵的秩R(A)=增广矩阵的秩R()=3，即R(A) = R() = n,方程组有唯一解。例3、 解方程组解：对应的方程组为最后一个方程为矛盾方程，因此原方程组无解。观察：此方程组中系数矩阵的秩R(A)=2，增广矩阵的秩R()=3，即R(A)R() ,出现矛盾方程，方程组无解。例4、 解方程组解：对应的方程组为 即 只要x3,x4取定一组值，即可求出x1,x2，由于x3,x4可以任意取值，称x3,x4为自由未知量，原方程组就有无数多组解。若取x3=c1,x4=c2,原方程组的解为 (c1,c2为任意常数)观察：此方程组中未知量个数n=4,系数矩阵的秩R(A)=增广矩阵的秩R()=2，即R(A) = R() n,方程组有无穷多解。 由此得到线性方程组解的判定：（1） 线性方程组有唯一解R(A) = R() = n；（2） 线性方程组有无穷多解R(A) = R() n；（3） 线性方程组无解R(A)R()（其中n为未知量的个数）。本节习题1、利用克莱姆法则解线性方程组。1）2）2、用消元法解线性方程组。1)2)3)3、已知线性方程组，当为何值时，方程组有唯一解？4、已知线性方程组，当为何值时，方程组无解？有解？ 并在有解时求其通解。本章习题 线性方程组1、消元法：线性方程组的初等变换，讨论带参数线性方程组时，若方程个数与未知数个数相等，先用克莱姆法则，当时，有惟一解。当时，将方程组的增广矩阵作初等行变换判断。2、n维向量线性相关性（1）单独一个0向量线性相关，单独一个非0向量线性无关。（2）两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。（3）多于n个的n维向量必定线性相关。（4）一部分向量线性相关，整个向量线性相关；若整个向量组线性无关，任何部分线性无关。3、矩阵的秩设线性方程组，则，特别,。4、 线性方程组解的结构：设、分别是线性方程组 的系数矩阵和增广矩阵(1) 齐次：(2) 非齐次： 5、解线性方程组的方法（1）莱姆法则；（2）消元法；（3）行等价标准形。6、求非齐次线性方程组的通解方法（1）写出增广矩阵（化阶梯形）；（2）由阶梯形求特解及对应齐次方程组的基础解系（线性无关的）；（3）按非齐次线性方程组解的结构写出原方程组的通解。7、对含参数线性方程组的讨论（1）当方程个数未知量个数时，可以用行列式法，也可以用初等变换法。（2）当方程个数未知量个数时，一般只能用初等变换法。复习题 线性方程组一、填空题1、n维单位向量组是线性 的。2、如果向量组可由向量组线性表示，并且线性无关，则s t。、如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩，其中，则它的基础解系中含有 个向量。、若线性方程组无解，则为 。、若向量组，线性相关，则 。二、 当，为何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？当有无穷多解时，求其通解。三、求下列非齐次线性方程组的通解（20分）数学小知识高斯(Gauss,17771855)高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，和阿基米德、牛顿并列，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称。高斯1777年4月30日出生在不伦瑞克，他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿。他在幼年时就表现出超人的数学天才，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。十岁时他用等差数列求和的方法算出了著名的题目从一加到一百。11岁时发现了二项式定理。1795年他进入格丁根大学学习。1796年他发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，高斯用代数得方法解决了二千多年来的几何难题。1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证实了代数一个重要的定理：任一多项式都有根。这结果称为“代数学基本定理”。在高斯之前已经有许多数学家已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。他把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中总共给出了四个不同的证明。 在1801年，高斯出版了算学研究，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍“同余”的概念，“二次互逆定理”也在其中。 从1801年开始，高斯放弃在纯数学的研究，开始天文学方面的研究。在1801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为“谷神星”。Piazzi只能观察到“谷神星”9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了，因此无法知道它的轨道。高斯这时对这个问题产生爱好，他自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法，他可以极准确地猜测行星的位置。果然，“谷神星”准确无误的在高斯猜测的地方出现，这个方法就是后来的“最小平方法”。1802年，他准确猜测了小行星二号智神星的位置。同年俄国圣彼得堡科学院选他为会员。1807年担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。1809年他写了天体运动理论二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。1812年，他研究了超几何级数。1820他发明了日观测仪，同年他开始对一些曲面的几何性质作研究。1827年他发表了曲面的一般研究。18301840年他和物理学家韦伯一起从事磁的研究，韦伯作实验，高斯研究理论。在1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场磁图，并且定出了地球磁南极和磁北极的位置。在1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。1833年他以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。1835年高斯在天文台里设