课件：控制与接口技术-状态方程(1).ppt

控制与接口技术,主讲教师：叶春生, Tel华中科技大学材料学院,控制与接口技术,第一章 绪论 第二章 线性离散系统的分析与校正 第三章 控制系统的状态空间分析与综合 第四章 STM32处理器及其应用 第五章 数控（CNC）系统及其插补原理 第六章 数控机床的伺服驱动系统 第七章 SIMULINK交互式仿真集成环境,内容提要,状态空间分析系统的优点 建立状态方程的方法,1、描述系统的方程具有统一的规范化的表达方式 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y (t)=Cx(t)+Du(t) 2、从本质上讲，它是一种时域分析方法(一组一阶常微分方程组)，有成熟的解析解和数值解的方法可供使用。 3、不仅揭示了输入、输出之间(激励与响应)的关系，而且还揭示了系统内部各物理量(状态)的变化规律。 4、该方法是一种统一的分析方法，既可以分析、处理离散系统，也可以分析、处理连续系统。,状态空间分析系统的优点,建立状态方程的方法,如果已知描述系统的微分方程，可以通过变量代换的方法建立状态方程。 例：已知系统的微分方程,令,逐次变换消去激励的导数项。,令：x1= y - b2u y = x1 + b2u,令：x2= dx1/dt (b1 - a1b2)u,串联形式系统传递函数,串联形式,x1,1/s,4/3,u,1/s,4,x3,2/3,并联形式,并联形式系统传递函数,当其变量是一个向量时x(t)=Ax(t)+Bu(t),当其变量是一个标量时 x(t)=ax(t)+bu(t) 若系统的初始条件为x(0)，其解为,？,x(t),状态方程x(t)=Ax(t)+Bu(t)表示被控对象,构造函数 eAt x(t)，对其两端求导：,几个重要的矩阵公式,对式 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 两端左乘eAt eAt x(t)= eAt Ax(t)+ eAt Bu(t) eAt x(t) eAt Ax(t)eAt Bu(t) 左端恰为 deAt Ax(t)/dteAt Bu(t) 对上式两端积分，有,系统的时域解,状态方程的频域求解 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 一组微分方程的矩阵描述！ 两端进行拉普拉斯变换，其矩阵描述为： sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s) X(s)=(sI-A)-1x(0)+BU(s) =(s)x(0)+BU(s),如果系统初始状态为0， |(s)|是各状态传递函数的特征多项式。,系统的频域解,有 X(s)=(s)x(t0)+(s)BU(s) x(t)=L1(s)x(0)+ L1(s)BU(s) 与时域解比较有结论：,系统的时域解与频域解的比较,状态转移矩阵 eAt= L1(s)= L1 (sI-A)-1,若对状态函数进行采样,两边乘eAT,tkT,t(k+1)T,状态函数采样,两式相减,令=(k+1)T-，d=d,积分的上下限正好是一个采样周期。若被控对象前有一零阶保持器：u(t)=u(k) kTt(k+1)T 则在采样周期内调节器的输出u(t)(被控对象的输入)不发生变化，为一常数。(积分上下限交换抵消负号),对零阶保持器和被控对象离散化后的状态方程为：,其中： x(kT)n维； u(kT)m维； y(k)p维； Fnn维； Gnm维； Cpn维；,在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。,系统的可控性和可观性,可控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为：,系统的可控性,如果有限的时间内0 t t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x(t1)设x(t1)=0 ，则应有：,即在给定x(0-)和A、B的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。,换言之：上述方程有解则系统能控。,系统的可控性,根据凯莱哈米尔顿定理， e-At、 eAt可写成有限级数：,如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n,可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分初始状态，则称系统部分可观。有状态方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t) 其解为：,由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。 y(t)=CeAtx(0-),系统的可观性,根据凯莱哈米尔顿定理， e-At 、eAt可写成有限级数：,如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。 秩=n(系统的阶数),系统的可观性,对离散系统 xn1(k+1)=Fnnxn1(k)+Gnmum1(k) yp1(k)=Cpnxn1(k) 可以推出完全可控和可观的充分必要条件为：,离散系统的可控性和可观性,所谓现代控制的技术的状态空间设计法的目标就是利用离散状态空间表达式，设计出数字调节器D(z)，使计算机控制系统满足或者达到要求的性能指标。 离散状态空间表达式为被控对象和零阶保持器的离散状态空间表达式。 其输入为调节器的输出u(k)；输出为被控对象的状态。,离散状态空间表达式,求解离散状态方程,用z变换求解离散状态方程 有离散状态方程 x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) 求z变换 zX(z)-zx(0)=FX(z)+GU(z) (zI-F)X(z)=zx(0)+GU(z) X(z)= (zI-F)-1zx(0)+ (zI-F)-1GU(z) = (I-z-1F)-1x(0)+ (zI-F)-1GU(z) x(k)=Z-1(I-z-1F)-1x(0)+ Z-1(zI-F)-1GU(z) 另 x(1)=Fx(0)+Gu(0) x(2)=Fx(1)+Gu(1)=FFx(0)+FGu(0)+Gu(1) ,比较可得 Fk=Z-1(I-z-1F)-1,|zI-F|为各状态传递函数的特征多项式。,zI-F-1= zI-F*/|zI-F|,离散状态空间表达式,例：设有单输入单输出系统，采样周期为1秒用离散状态空间设计调节数字器D(z)，使过程在有限拍内结束。,离散状态空间表达式实例,被控对象的状态方程模型,对零阶保持器和被控对象离散化, a=-1 0；1 0； b=expm(a) matlab语句,设T1,逆矩阵伴随阵/矩阵行列式,设系统输入为单位阶跃函数r(t)，控制变量为u(k)，系统初始条件为：x1(0)=x2(0)=0,如果u(0)1/0.368，则一拍达到目的。设调节器输出u(0)1/0.368,最优控制,最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本节内容为： 1. 引言 2. 用变分法求解最优控制问题 3. 极小值原理及其在快速控制中的应用 4. 用动态规划法求解最优控制问题 5. 线性状态调节器 6. 线性伺服机问题,1 引言,什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明,问题1,电动机的运动方程为,（1）,其中， 为转矩系数； 为转动惯量； 为恒定的负载转矩；,希望：在时间区间0，tf内，电动机从静止起动，转过一定角度 后停止，使电枢电阻 上的损耗 最小，求,因为 是时间的函数，E 又是 的函数，E 是函数的函数，称为泛函。,（2）,采用状态方程表示，令,于是,（3）,初始状态,末值状态,控制 不受限制,本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个控制 ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为最小。,初始状态,末值状态,最优控制问题的一般性提法,系统状态方程为,初始状态为,其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数，它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。,最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。,补充：泛函与变分法,一、泛函与变分,1、泛函的基本定义：,如果对于某个函数集合 中的每一个函数 ，变量J 都有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 的泛函，记作,可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”,当 时，有 ；当 时，有 。,泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：,1） ，其中c 为任意常数； 2）,对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 时，有 就称泛函 在 处是连续的。,3、泛函变分的规则,1）,2）,3）,4）,泛函的变分等于,定理：设 是在线性赋泛空间 上某个开子集D 中定义的可微泛函，且在 处达到极值，则泛函 在 处必有,4、泛函的极值,设 是在线性赋泛空间 上某个子集D 中的线性连续泛函， ，若在 的某领域内,欧拉方程：,定理：设有如下泛函极值问题： 其中， 及 在 上连续可微， 和 给定， 已知 ， ， ，则极值轨线 满足如下欧拉方程,及横截条件,注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。,2 用变分法求解最优控制问题,2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,（6）,初始状态,（7）,其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。,引入拉格朗日乘子,（9）,将性能指标（8）式改写为其等价形式,（12）,对（11）式中的第三项进行分部积分，得,当泛函J 取极值时，其一次变分等于零。 即,可以变分的量：,不可以变分的量：,求出J 的一次变分并令其为零,将上式改写成,（13）,由于 未加限制，可以选择 使上式中 和 的系数等于零。于是有,（15）,（14）,（16）,（14）式称为伴随方程， 为伴随变量，（17）式为控制方程。,几点说明：,1）实际上，（14）式和（17）式就是欧拉方程。,（18）,因为,（19）,可见（21）式和（18）式相同，（22）式和（19）式相同。因此，（14）式和（17）就是欧拉方程，而（7）式和（15）就是横截条件。,（22）,2） 是泛函取极值的必要条件是否为极小值还需要二次变分 来判断， 则泛函J 取极小值。,3） 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率,在最优控制 、最优轨线 下，有 和,（23）,即哈密顿函数H 沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为 则,（25）,当哈密顿函数不显含 t 时，由（25）式得,因为,将 代入状态方程,解为,当 时，代入上式，求得 ，所以,当 时，,最优性能指标为,2.2 末值时刻固定，末端状态固定情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,（27）,寻求最优控制 ，在 内，将系统从 转移到 ，同时使性能指标J 取极小值。,（性能指标如（30）式所示的最优控制问题，是变分法中的拉格朗日问题）,引入哈密顿函数,其中,于是,因为,对上式右边第2项进行分部积分，可以得到,上式中可以变分的量：,不可以变分的量：,令性能指标J 的一次变分等于零，得,（31）,在末端状态固定情况下， 不是任意的。只有在系统能控的情况下，才有控制方程,例2 问题1的系统状态方程为,末值状态,初始状态,性能指标,设,最优控制问题就是在状态方程的约束下，寻求 ，使 转移到 ，并使J 取极小值。,解 根据能控性判据知，该系统是能控的,1）哈密顿函数为,3）由伴随方程 ，得到,（ ， 为积分常数）,4）由状态方程得,（ ， 为积分常数）,根据边界条件，确定积分常数，得,代入 和,它们的曲线如图所示,（图中 ，实线是理论上的变化，虚线是实际的轨线。）,2.3 末值时刻自由情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,初始状态,初始时刻 固定，末值时刻 是自由的。 自由，性能指标,（34）,于是,可以变分的量,不能变分的量,上式中H 为 的简化表示,应当注意，末值时刻 自由时， 不等于,或,上式代入（35）式,性能指标取极值时，必有,（36）,（38）,（40）,（41）,而,2）由控制方程 ，得,或,3）由伴随方程,5）由于 自由， ，得到,或,解得,3 极小值原理及其在快速控制中的应用,3.1 问题的提出,用变分法求解最优控制时，认 为控制向量 不受限制。但是 实际的系统，控制信号都是受到 某种限制的。,因此，应用控制方程 来确定最优控制，可能出错。,a)图中所示，H 最小值出现在左侧，不满足控制方程。 b)图中不存在,3.2 极小值原理,非线性定常系统的状态方程为,（42）,初始时刻 ，初始状态 ，末值时刻 ，末端状态 自由,（43）,以下就是用极小值原理解前面的问题：,设 为容许控制， 为对应的状态轨线。为了使它们分别成为最优控制 和最优轨线 ，存在一个向量函数 ，使得,（45）,（46）,则哈密顿函数H 相对最优控制取极小值，即,（50）,几点说明：,1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。,2）极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，差别仅在于极值条件。,4）非线性时变系统也有极小值原理。,3）这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是极大值原理。因为求性能指标J的极小值与求J的极大值等价。,3.3 二次积分模型的快速控制,在问题2中，若 ， ，令 。就是二次积分模型。,要求在状态方程约束下，寻求满足（55）式的最优控制 ，使系统从 转移到 ，同时使J 取极小值。,因为在这个最优控制问题中，控制信号 受限制，因此用极小值原理来求解。系统是能控的，其解存在且唯一。,3）伴随方程为,如果 的初始值为 ， ，则,（62）,（63）,在0， 内最多变号一次，最优控制函数有以下可能的4种情况,4）由状态方程可知，当 时，求得,消去t 得,或写成,为了形象地表示系统的运动形态，引用相平面方法，画出相轨迹如下图所示。相轨迹为两族抛物线。,从 到达 的相轨迹只有两条 、 。,0,0,将 和 合起来，,曲线r 将相平面分成两个区域 和,最优控制系统的结构图，如下图所示,5）最优性能指标,初始状态在A点：,说明：通过这个最优控制问题的求解发现，最优控制与问题6-1不同。在问题6-1中， 为时间的三角函数。 而在这里， 为时间方波函数。原因在于性能指标不同，因此 也不同。因此，在说到最优控制问题时，一定要指明性能指标，即求解在什么性能指标下的最优。,4 用动态规划法求解最优控制问题,右图为某小城镇交通路线图。起点站为S，终点站为F，,站与站之间的里程标在图上，要求选择一条路线走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。,一种办法是将从S 到F 所有可能走法都列出来，并且把每种走法的里程标在各条路线上，找出最短的。,4.1 动态规划法的基本思想,第二个办法：从最后一段开始，向前倒推。当倒推到某一站时，计算该站到终点站的总里程，并选择里程最少的走法。,从该例看出，这种解法有两个特点: 第一，它把一个复杂的问题（即：决定一条路线的选择问题）变成许多个简单的问题（即：每次只决定向上走（p）还是向下走（q）的问题），因此问题的求解变得简单容易了。,不变嵌入原理的含义是：为了解决一个特定的最优控制问题，而把原问题嵌入到一系列相似的但易于求解的问题中去。对于一个多级最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题代换成一系列单级最优控制问题。,4.2 最优性原理,最优性原理在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级 、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和这一级的状态再作为初始级和初始状态时，余下的决策对此必定构成一个最优决策。,要求确定 ，使性能指标最优，即,一般认为，第k 级决策 与第k 级以及k 以前各级状态 和决策 有关,（64）,以上函数称为策略函数,应该指出，最优性原理所肯定的是余下的决策为最优决策。对以前的决策没有明确的要求。,4.3 用动态规划法求解离散系统最优控制问题,系统状态方程为,（66）,（67）,（68）,要求在状态方程约束下，寻求 使,可以受限制，也可以不受限制。,例4 线性定常离散系统的状态方程为,初始状态为 ，性能指标为,寻求最优控制序列 ，使 （为了简单起见，设 ）,解 运用动态规划法来求解,1） 从最后一级开始，即,2） 向前倒推一级，即,因为 不受限制，故 可以通过下式求得,3） 再向前倒推一级，即,注意：1、对一个多级决策过程来说，最优性原理保证了全过程性能指标最小，并不保证每一级性能指标最小。但是在每考虑一级时，都不是孤立地只把这一级的性能指标最小的决策作为最优决策，而总是把这一级放到全过程中间去考虑，取全过程的性能指标最优的决策作为最优决策。 2、动态规划法给出的是最优控制的充分条件，不是必要条件。这和极小值原理是不同的。,4.4 用动态规划法求解连续系统最优控制问题,非线性时变系统状态方程为,（69）,初始条件,（70）,性能指标,（71）,如果对于初始时刻 和初始状态 来说， 和 是系统的最优控制和最优轨线。那么，对于 和状态 ，它们仍是所研究的系统往后的最优控制和最优轨线。,假定 是存在的且是连续的并且有连续的一阶、二阶偏导数，由最优性原理可以写出,（74）,用类似4.2中的处理方法，令,（75）,则（74）式可以写成,（76）,而由中值定理，（76）式右边第一项可以写成,（78）,其中， 是介于0和1之间的某一常数。,（80）式称为哈密顿贝尔曼方程，是用动态规划法求解最优控制问题的基本方程。,显然有,（81）,方程（80）的边界条件,（82）,注意：哈密顿贝尔曼方程是求解最优控制问题的充分条件，不是必要条件。,用动态规划法求解连续系统最优控制问题的步骤：,（84）,在求解方程（84）时，若 不受限制，则在引入哈密顿时，有,2）将 代入（80）、（82）和（83）式，解出,（86）,4）将（85）式代入系统状态方程,可以求出最优轨线 。把 代入（85）式得到最优控制,用分析方法，可知,2）将 代入哈密顿贝尔曼方程,即,可以分析出 是正函数，则哈密顿贝尔曼方程可写成,由于 与 无关，上式为一元微分方程，其通解为,其中，c 为积分常数，由边界条件确定为 c =0,3）将 代入 的表达式中,本例中,4）将 代入状态方程，可解得,由此得,最优性能指标,5 线性状态调节器,5.1 引言,线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：,1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。,2）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于非线性系统。,3）最优控制器是线性的，易于实现。,4）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。,5.2 有限时间状态调节器,线性时变系统的状态方程为,（87）,（88）,其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量，且u 不受限制。,其中，F为 对称半正定常数阵； 为 对称半正定时变阵。 为 对称正定时变阵。,求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。,4）将 代入状态方程得,（94）,初始状态为,（95）,将（90）式至（95）式联立，即可即可求解这个最优控制问题。,（91）式可改写成,（98）,比较（97）和（98），可以得到,（99）,（101）,状态反馈的闭环方程为,（102）,其中,（103）,例6 系统状态方程为,求最优控制 ，使性能指标,取极小值。,解 矩阵的黎卡提方程为,求解上面的微分方程，有,其中,即,最优控制为,由,最优轨线为,5.3 无限时间状态调节器,线性时变系统,寻找一个最优控制 ，使J 取极小值,（105）,这里产生一个问题： 时，性能指标是否收敛？,（106）,根据分析，显然当 时，J 取极小值。,但是,是不能控的状态分量，而且是不稳定的。导致,结论：该问题不存在有意义的解。,可见，无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。但是反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。,卡尔曼研究了矩阵黎卡提微分方程解的各种性质，得出以下结果：,（114）式代入（111）式，得,（116）,最优轨线可以由（116）式和（114）式求出。,最优性能指标,（117）,当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵：,1）系统为线性定常系统；,2）系统为能控；,3）末值时刻 ；,4） J 中不含末值项，即 F = 0 ；,5） Q ，R 为正定阵。,例 7 线性定常系统的状态方程为,0,求最优控制