广义积分被积函数的极限.doc

广义积分被积函数的极限顾敏康 01830535（徐州师范大学 数学系 徐州 221116）摘 要 本文讨论了广义积分的被积函数当时的极限情况，这里我总结出了几个的条件.关键词 广义积分; 被积函数 ; 极限由文献1知无穷积分收敛，则有当时是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如不存在，但收敛，而，但发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当时为零.引理1 若函数在连续，且，则函数在上一致连续. 证明 已知，即，有 .已知在上连续,根据一致连续性定理,则在一致连续,即 有 .于是 都有 .故函数在上一致连续.引理2 若函数在区间满足李普希茨条件，即，有，其中是常数，则在上一致连续.证明 解不等式得取 于是 则 有故函数在上一致连续.引理3 若函数在上可导，且有其中为常数，则在上一致连续.证明 因为在上可导，对，则 在上连续，在内可导，所以从而 .由引理2知 在上一致连续. 定理1 在上连续，收敛，则的充分必要条件是在上一致连续.证明 由引理1必要性显然.充分性 已知在上一致连续，则（不妨设），对，当时，有.又因为收敛，故对上述的，当时有对使且，于是有 ，从而=，即 . 于是 时有,所以 .例1 对定义在上的函数,显然它在上连续,对无穷积分,已知函数在区间连续,有,所以无穷积分收敛.于是也收敛.又显然 ,由引理1知 在上一致连续.推论1 若收敛,在上满足李普希茨条件，则 . 证明 因为在上满足李普希茨条件，由引理2知 在上一致连续.又 收敛，由定理1.推论2 若收敛，在时可导且存在，使得，则 . 证明 由于函数在上可导，且有（其中为常数）.由引理3知 在上一致连续.又由无穷积分收敛，由定理1.定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续. 如收敛，但，则在上不一致连续.若直接证明在上不一致连续是很困难的. 定理2 若收敛，且当时，非负单调递减，则证明 因为且单调递减，由极限存在定理，当时存在极限，不妨设则由极限的性质有若有使得由极限的保号性有 当时于是此与收敛矛盾，从而即例2 对定义在上的函数显然在上是非负单调递减的，由于故 收敛，由定理2和定理2对称的有下述结果：推论3 若收敛，且存在当时非正单调递增，则.证明方法与过程同上.最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.定理3 若函数在上有连续的导数，和都收敛，则证明 由于有连续的导数，则由收敛知存在，不妨设若不妨设取则存在，当时，有从而这与收敛矛盾.所以例3 对定义在上的函数显然在上有连续的导数，对无穷积分由于 所以 收敛.同样可以说明也收敛.由定理3知参考文献1 刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,1996:265-266.2 吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义M.东北师范大学出版社,1993:142-144.3 华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）M.北京:高等教育出版社,2001:36-37.The Limit of The Generalized Integrals integrandGu Minkang 01830535（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）Abstract In this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when the variable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero