2017届中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和直角三角形.docx

第14讲 等腰三角形和直角三角形【基础知识归纳】归纳 一、等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 有两条边相等 的三角形是等腰三角形2.等腰三角形的性质等腰三角形两个底角 相等 ；等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合，简称：“三线合一”等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴3.等腰三角形的判定方法定义判定：一个三角形中，如果有两条边 相等 ，那么这个三角形是等腰三角形判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边 相等 4.等边三角形的性质等边三角形的各角都 相等 ，并且每个角都等于 60 度；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴5.等边三角形的判定三边都 相等 的三角形是等边三角形；三个角都 相等 的三角形是等边三角形；有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质直角三角形的两个锐角 互余 ；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 3.直角三角形的判定两个内角和为 90 的三角形是直角三角形；一边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为，斜边为，那么【逆定理】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是 直角 三角形【常考题型剖析】 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+88符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. ACBC B. AC=BC C.AABC D. A=ABC【答案】A【解答】AD=BD，A=ABD，ABCA，所以C选项和D选项错误；ACBC，所以A选项正确；B选项错误【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）A. 13cm B. 14cm C. 13cm或14cm D. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+45，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+55符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为 【答案】69或21【解答】分两种情况讨论：若A90，如图1所示：BDAC，A+ABD=90，ABD=48，A=9048=42，AB=AC，ABC=C=69；若A90，如图2所示：同可得：DAB=9048=42，BAC=18042=138，AB=AC，ABC=C=21；综上所述：等腰三角形底角的度数为69或213. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+44符合题意，此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程的根，则该等腰三角形的周长为【答案】19或21或23【解答】解方程得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+39，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=206. (2016荆门) 已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为，解得，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或117. (2016荆门) 如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8， 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A. B. 1, C. 6, 7, 8 D. 2, 3, 4【答案】B【分析】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是 直角 三角形； 因为 ，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在RtABC中，A=30，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A. 1 B. 2 C. D. 1+【答案】A【解析】如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=AB, 又BC=1 AB=2BC=2又点D、E分别是AC和BC的中点，DE是ACB的中位线，DE=AB=1故选A【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A. 1, 2, 3 B. 2, 3, 4 C. 4, 5, 6 D. 1,【答案】D【分析】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是 直角 三角形； 因为 ，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 【答案】6【分析】直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，另一直角边长为4该直角三角形的面积S=34=6 3. (2016泉州) 如图3，在RtABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= 图3 图4【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= AB=5.4. (2016百色) 如图，ABC中，C=90，A=30，AB=12，则BC=（）A. 6 B. C. D.12【答案】A【解答】C=90，A=30，AB=12，BC=12sin30=12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，则下列结论中不正确的是（）A. AD=AE B. DB=EC C. ADE=C D. DE=BC【答案】D【分析】由DE与BC平行，得到ADEABC，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到ADE=C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项【巩固提升自我】1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【答案】A【分析】当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+37不能构成三角形；当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=172. (2015广州) 已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：44m+3m=0，解得：m=4当m=4时，原方程为，解得：，2+2=46，此等腰三角形的三边为6、6、2，此等腰三角形的周长C=6+6+2=143. (2016广州) 如图3，已知ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（） 图3 图4 A. 3B. 4C. 4.8 D. 5【答案】D【解答】AB=10，AC=8，BC=6， ，ABC是直角三角形，DE是AC的垂直平分线，AE=EC=4，DEBC，且线段DE是ABC的中位线，DE=3，AD=DC=54. (2015南宁) 如图4，在ABC中，AB=AD=DC，B=70，则C的度数为（ ）A. 35 B. 40 C. 45 D. 50【答案】A解：ABD中，AB=AD，B=70，B=ADB=70，ADC=180ADB=110，AD=CD，C=（180ADC）2=（180110）2=355. (2015北京) 如图5，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ） 图5 图6A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km【答案】D【分析】在RtABC中，ACB=90，M为AB的中点，MC=AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A. 15 B. 17.5 C. 20 D. 22.5【答案】A解：ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，1=