反例在数学分析学习中的应用.doc

安徽科技学院学士学位论文本科生毕业论文（设计）题 目: 反例在数学分析学习中的应用 姓 名: xxx 学 院: 理学院 专 业: 信息与计算科学 班 级: 2007级 1班 学 号: 1884070133 指导教师: xxx 职称: 讲 师 2011年5月4日安徽科技学院教务处制 摘 要本文通过数学分析中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处.关键词：数学分析；反例；函数 AbstractThere are many theorems and propositions of Mathematical analysis, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and its easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, which its necessary to use counterexamples felicitously. To the question, this text researches a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. The counterexamples are summarized in Mathematical Analysis systematically and there are five sections: sequence of number, function, a circular function derivative and its integral, series, and function of several variables. And every section isnt independent. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If theres some problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening. Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis, grasping the basic theory and technique of Mathematical Analysis technique, the thesis is very good.Key words: Mathematical Analysis; Counterexample; Function目 录第一章 绪论11.1引言11.2课题的背景及目的11.3国内外研究状况21.4课题研究方法21.5论文构成及研究内容2第二章 数列中的反例2第三章 函数中的反例4第四章 一元函数导数及其积分中的反例5第五章 级数中的反例8第六章 多元函数中的反例10第七章 总结和展望.12参考文献13致 谢14III第一章 绪论1.1 引言 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的.反例在数学的发展中功不可没.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示.举反例是一种重要的反证手段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例.至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变.1.2 课题的背景及目的数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义. 反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维. 举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德1指出:“数学由两大类证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.1.3 国内外研究状况数学分析是一门久远的学科.纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果.因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化.通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结.所以，想对数学分析中一些常见的问题进行总结，总结它们的反例，并尝试构造反例.对于以后的学习具有很大的帮助.1.4 课题研究方法数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法. 针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.1.5 论文构成及研究内容本文主要包括以下几个部分：绪论、数列中的反例、函数中的反例、一元函数导数及其积分中的反例、级数中的反例和多元函数中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.并且在一些常见的问题上，会尝试构造反例来说明这些问题.第二章 数列中的反例定义2.1 设为数列,a为定数，若对任何的正数 ，总存在正整数N ，使得当时有 则称数列收敛于a,定数a称为数列an的极限.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列3.例2.1 判断以下两个论断是否与极限 的定义等价2.有无穷多个 0，对每一个，存在N()当n N 时，有.对任意正数,无限多个，使.事实上，和两个论断都与数列极限的定义不等价.论断 忽视了 的最本质属性“ 任意小正数”.例如数列：尽管有无穷多个 0(如 =3，4，5，)， 可以使(这里a可以是0 或1)小于每一个( =3，4，5，)，但却不能使比任意小的正数 还要小.论断 对任意 0，虽然有无限多个an，使成立，但它忽视了对每一个 0，都必须存在某个自然数N ，即数列数列的某一项，从以后的所有项都必须满足，例如数列an=1，1，1，1，.对任意正数，有无限多个 (只要n )，在0的邻域(0 ,0 +)内；但在中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0 ,0 +)内的项.例2.2 收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.例如，数列 与，通项分别为， (n=1,2,)则数列收敛,发散， (n=1,2,)故其积发散.然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛.反例：数列(1)n有界，但它发散3.例2.3 数列与均为发散数列，通项分别为， (n=1,2,)但(n=1，2，)，因而数列收敛于零.例2.4 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列.取数列1，0，1，0，1，0 ，及数列0，0，0， ，显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是1，1，1，它是一个收敛数列3.第三章 函数中的反例定义3.1 设为定义在D上的函数，若对任何正数M，都存在，使，则称为D上的无界函数3. 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若时，则在 的每个邻域内必定无界.反之，函数在的任何邻域内都是无界的，但当时,并不趋于无穷大.设，则对无论多大的正数M，总有充分接近于x =0的点，使例如，取，则，故当 时，就有.因此，函数在x =0的任何邻域内都是无界的.然而，若取，则当n时,，此时，即并不趋于无穷大. 在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，有时又用集合表示，此时我们易产生这样一种误解，即数集的区间与集合表示是等同的，其实不然，此时可用如下反例加以澄清.例3.1 设 ， 我们知道：，当时是严格单调函数，但若，则就不是严格单调函数了.事实上：当，则，而，究其原因是由于集合A 表示k取遍所有整数的符合条件的x的全体，而区间则表示k每取一个确定的值时的一个确定的区间.因而数集的区间表示与集合表示并不完全等同.例3.2 在学习无穷大量和无界量概念时，我们对：任意的M 0，存在0，0|x-x0|0，存在,使得f(x)M,这两个概念理解不清，容易混为一谈.对于定义的理解，我们可以得出：无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量，下面举例说明. 如 在x0=0的任何领域都是无穷的，但当xx0=0时，却不是无穷大量4.例3.3 在x=x0处连续，是否存在x0的某领域，使得在该领域内连续5.答案是否定的，我们举反例说明：我们知道Dirichlet函数处处不连续.利用这个例子，我们可以构建易知函数D(x)只有在处连续，在其他任何地方都不连续.数学分析中的很多定理是充分而非必要条件.在说明其逆命题是否成立时，如果考虑一般情况很难说明，如果能举一些反例，则既简单又明了，这样我们很容易掌握.例3.4 定理 若函数在a点处连续，则在a点处也连续4. 要说明其逆定理是否成立，可以设函数为例.因为=1在x=0处连续，而=1在x=0处不连续.第四章 一元函数导数及其积分中的反例定理1 若函数f 在点x0 可导，则f 在点x0 连续3.其中，可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数= x 在点x =0处连续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该点的某个邻域内连续.例4.1 函数 在x0的点都间断，而x = 0处有导数f (0) = 0.这是因为当h是有理数时，而当 h 是无理数时，设= 0，当x为有理数；，当x为无理数.则函数也仅在x = 0处连续且可微，f (0) =1.定理2 （积分中值定理）若f 在a,b上连续，g在a,b上不变号且可积，则在(a,b)中存在一点 ，使 3.定理中的条件改变，结论就不一定成立.假设f 在区间a,b上不连续时.例4.2 定理3（罗尔(Rolle）中值定理） 若函数 f 满足如下条件：(i) f 在闭区间a, b上连续；(ii) f 在开区间(a, b)内可导；(iii) f (a) =f (b) ，则在(a, b)内至少存在一点 ，使得f () =04 .那么，我们在实轴上定义， - x +此函数是处处连续和可微的，但是不存在区间(a,b)，a b，使得在a与b之间能有某个 ，满足等式f (b) f (a) = f ()(b a)，即事实上，假定上述等式成立，则等式两边的模（绝对值）的平方亦应相等，即于是，利用基本恒等式将得出但这是不可能的，因为没有一个正数h能够使sin h = h.注 上述反例说明，对于复值函数而言，中值定理不再有效.定义4.1 设f 是定义在a,b上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任何的正数，总存在某一个正数，使得对a,b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集i，只要T ，就有，则称函数 f 在区间a,b上可积或黎曼可积；数J 称为f 在a,b上的定积分或黎曼积分，记作8我们在学习函数可积性时往往会习惯性认为黎曼可积函数一定具有原函数，但事实上，这个假设并不一定成立.例4.3 如函数 显然在1，1上可积的，但是在1，1上没有原函数.因此，黎曼可积函数不一定具有原函数.反过来，有原函数的函数不一定黎曼可积.例4.4 如函数由于可见是的一个原函数，但是在1，1上无界，所以在1，1上不可积9.例4.5 证明：存在函数和，使得在a，b上可积，在a，b上不变号且可积，而在(a，b)中不存在满足等式的10. 证： 设g(x) =1，再设则 ， .于是，由函数f 的定义可知，不存在(1,1)，使.第五章 级数中的反例本章讨论由实数项组成的无穷级数.对于数项级数，令 =称为级数的n项和.若存在，则称级数为收敛的，并称s为级数的和，记作在相反的情形，就称级数为发散的.级数收敛的必要条件是3.例5.1 如果级数收敛，那么其部分和数列有界且.这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立.一个发散数列，其部分和数列有界且.设为1，,则,且对每一个n，都有0 sn1 ，其中=然而，由于中有无穷多个取值为0，又有无穷多个取值为1，因而并不存在，即级数发散4.例5.2 如果，,试问级数是否一定收敛？ 不一定，例如级数，虽然对任意的pN，0 + +()但发散11.例5.3 举出一个收敛级数，使得级数发散12. 分析 因为级数收敛，故an0（当时）.因此n充分大时，有 .可见级数不能绝对收敛，只能是条件收敛.这表明级数其所以收敛，不仅是因为的速度，而且是因为项级间的相互抵消.因此我们应构造这样一个变号收敛级数，它本身项级间能相互抵消，但变为级数时相级间抵消不了，以致发散.令 =1-1+- +- +-+ ( 其中有k项 )因为-=0 (k=1,2，)，可见，此级数收敛.但是=( 其中有k项 )发散 因为部分和的子序列 (= 2+3+（k+1）,) 本例说明级数收敛，一般来说，不能推出级数收敛.例5.4 证明：任意0(当),有收敛，则绝对收敛3.分析 问题等价于：若发散，则至少存在一个序列( 当),使得级数发散.如此，问题归结为从条件=+出发，构造所需的序列的问题.证明： (反证法)若=+，则,使得.如此，对n=1，k=1，使得.对n=m1+1，k=2,，使得，由此我们可以得到1=m1m2mn0怎么大，只要n-1N时，恒有，“片段”此即说明(当时)，使得发散，与已知条件矛盾.第六章 多元函数中的反例本章直接举例说明：例6.1 与的连续性只是 f 可微的充分条件，而不是必要条件13.设 它的偏导数是易见,和在点(0,0)处都是不连续的.另一方面，因为 所以 f 在(0,0)处是可微的.注 可以证明，若及 在点及其某一邻域内存在，且在这一点它们都连续，则在点处必可微；若在处可微，则在点处必定连续、弱可微且偏导数存在.例6.20,10,1上的一个无处连续函数，使对每一个y属于0,1，是x的连续函数14.设则在0,10,1上无处连续，因对任意固定的y，作为x的函数为常值函数，故它是x的连续函数.例6.3 偏导数均不连续的可微函数.设它的偏导数是.易见，和在点(0，0)处都是不连续的.另一方面，因为，所以f 在(0，0)处是可微的15.注 可以证明，若及在点,及其某一领域内存在，且在这一点他们都连续，则在(x0,y0)处必可微；若f (x, y)在处必可微，则在(x0,y0)处必定连续、弱可微且偏导数存在.因此，可得蕴含关系如下：第七章 总结与展望本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反例，在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明.因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基本理论是学好这门学科的前提.反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解.数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反例思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握.参考文献1 冯素芬试论数学反例及其构造J北京工业职业技术学院学报,2003，2(3):2-32 李志林. 数学分析中反例的重要应用J. 北京电力高等专科学校报,2008,(12):1-2.3 陈传璋等. 数学分析（第二版）（上、下册）M. 北京: 高等教育出版社,1983. 4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社,2001. 5 汪林. 数学分析中的问题与反例M. 云南：云南科技出版社,1990.6 明清河. 数学分析的思想与方法M. 济南: 山东大学出版社,2004. 7