浅谈联想思维方法在数学解题中的应用.doc

菏泽学院本科生毕业论文目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11 数学联想的巨大作用22 数学联想方法的种类以及各种证明22.1类比联想法22.2接近联想法42.3关系联想法42.4逆向联想法62.5 对立联想法72.6横向联想法73 结束语10参考文献10致谢浅谈联想思维方法在数学解题中的应用数学与应用数学专业 孙冬梅指导教师 李涵摘 要 联想是由当前所感知的事物特征进而忆起和另外的事物相似、相近或相同的特征的一种心理现象，而且对于沟通数学对象中的未知和已知、新的和旧的知识之间的联系具有重要的作用.联想的作用不仅有利于我们可以更好地掌握数学知识,发展思维能力，而且有利于我们更好地提高解题的速度,进而提高我们的解题能力.类比联想法、关系联想法、接近联想法、逆向联想法以及横向联想法是我们常见的联想方法.在清时的数学解题的过程中，能够合理的引导学生会灵活的运用联想思维，很容易使问题得到简化，化难为易，所以学会联想思维具有很重要的作用.关 键 词 联想 心理现象 发展思维ResearchonApplicationofMathsThinkingMethodinMathsTeachingStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics SunDongmeiTutor LiHanABSTRACT: Assoction is by the current perception of things features about a recall things like, similar or identical characteristics of the psychological phenomenon. Assoction can communicate in mathematical object and the known and unknown new and the links between the old knowledge. It not only to the grasp of math knowledge and the development of thinking ability have positive significance, but also improve the problem solving speed, and improve the ability to solve problems. Common assoction method has analogy method, close to assoction method, the method, the relationship between reverse assoction method and the lateral assoction method, etc. At math problem-solving process, if reasonably able to guide students to use thinking association, will be able to a question of asking him to make easy to simplify.LOSE KEY WORDS: assoction psychological phenomenon development thinking引言 古希腊哲学家亚里斯多德曾指出:“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或与它相近的事物开始的,以后便追寻与它相关联的事物,由此而产生联想.” 在数学中,联想是打开解题方法之门的一把钥匙,是接通解题思路的桥梁，是必须要掌握的一种方法.所谓的数学联想方法,就是以联想为中介进行数学发现探求解题思路,进而由此及彼地进行思考问题的一种方法.数学解题的思考过程实质上是已知和未知间的一系列的联想过程.在解题时,通过仔细的观察、分析,由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式或其等价式),联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想、解题方法、解题技巧以及熟知的相关问题的结论和解法,因此连续化简条件和结论,建立条件与求解 目标间的联系,从而就找到解题的思路和方法.数学思想是数学知识、数学技能的本质体现，在数学学习中，要提高分析问题、解决问题的能力，形成应用数学的意识，这些都离不开数学思想.而联想不仅对掌握数学知识,发展思维能力有积极意义,而且有利于提高解题速度, 提高解题能力.常见的联想方法有类比联想法、接近联想法、关系联想法、逆向联想法和横向联想法等.1数学联想的巨大作用数学联想是探索数学解题途径的向导,是将数学题设向结论转化的桥梁, 是寻求数学习题巧思妙解的摇篮,是提升数学解题思维层次的阶梯. 对于任何问题，只要有思路可以追寻，就算复杂曲折也可以沿着思路走向要达到的目标，最让人费解的问题是面对问题茫然不知从哪里下手，所以我们应该思考一下,主要的原因不外乎是我们所遇到的题目的外貌与我们所学过的知识、会做的题目的类型有很大悬殊；又或者是因为跟我们所掌握的解题方法练习不起来.而解题的难处在于没有一个普遍有行之有效的方法打破这无从下手的窘境.所以我们应该好好的思考并认真地去解决问题,当我们处于山重水复疑无路的时候，一定要跳出原来局限的范围联想一下与之相近的知识或类似的问题，努力去发掘它们的内在联系；甚至联想到与它的反面进行对比，相反相成受到有益的启发，如果用这样的方法进行联想就会可能出现柳暗花明又一村的局面.所以，我们要认真地去面对,当我们面临难题而百思不得其解的时候，一定要广泛地进行联想，这是我们遇到难题得到解决的一大法宝. 在解题过程中，我们必须好好的去寻求解决问题的方法,特别是问题一时难以找到突破点又或者是方法比较复杂时，这个时候,我们应该联想一下与之相近或相似的问题，并通过变形和转换从而使之变成比较容易解决的问题，这样下来,从而达到使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化的效果.2数学联想方法的种类以及各种证明2.1 类比联想法 类比联想是指用一个问题的条件或结论的外形结构特征，而联想到使用与其形式类似（相似）的有关知识、思想、方法来解题的思维方法，比如：看到“”形式的式子，联想到“在非RtABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”，从而设x=tanA ,y=tanB ,z=tanC来解题；看到a2+b2联想到复数的模，“勾股定理”、“点（a，b）到原点的距离”，“圆的方程x2+y2=r2及sin 2+cos2 =1，可设a=rcos ，b=rsin ”、“极坐标系x= cos ,y= sin ”并利用这些知识来解决这个问题，等等.所以,在我们解题时,联想和原形态相似的定义、定理、公式和法则,更进一步,并联想以前已经解决的类似的解题思想方法和技巧等,联想到类似的平面图形的问题等等.总之由特殊到特殊, 通过类比联想发现解题线索, 很多问题就会立刻迎刃而解. 【例1】 求证: 分析:通过观察所要求证的结论,其“外形让我们很容易联想到均值不等式,那么我们就一定要想这方面靠近.证明: 将以上三式相加可得 即证得.证毕. 【例2】 证明分析：这是一个不等式,通过观察它的特点我们容易想柯不等式,那我们就尽量向着柯西不等式靠近,利用柯西不等式避免“失控”.由此我们可以证得.【例3】 若a，b，c，dR，并且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：-1ac+bd1.分析看到：条件a2+b2=1，c2+d2=1.联想到：公式sin2 +cos2 =1（类比联想）.从而可设：a=cos ，b=sin ，c=cos ，d=sin ，则ac+bd= .因1，故ac+bd1. 2.2 关系联想法 在数学的解题过程中, 我们经常会遇到知识之间存在着很多关系,例如从属关系、一般关系或因果关系,并要把抽象的问题转化为具体的问题,将数量关系问题转化为几何图形,一般性问题转化为特殊问题,最终达到快速解决问题目的.例：已知锐角满足,证明:.分析: 我们先分析一下条件中的数量关系,由已知条件中的数量关系,我们可以联想到构造长方体,并使其对角线与交于一点的三条棱的夹角分别为如此这个问题便会容易得到解决.证明：如图所示我们可以看到在长方体中，假设,所成的角分别为长方体的棱长分别为则可得:并且上式当且仅当时等号成立.2.3 接近联想法 接近联想是由概念、原理、法则和公式、策略的接近而产生的联想.在我们初步学习阶段,为了巩固并且能熟练掌握教材中的原理、法则和公式,都需要借助接近联想方法,从而可以更加灵活地运用我们所学的知识,在解题过程中提高解题技巧和培养我们的创新能力. 接近联想指由某个问题或问题中的某一部分联想利用与其相同或接近的知识去解决这个问题的思维方法.如：看到“tan ,联想到公式tan = 及n + ,n Z ”,看到椭圆上的点到焦点的距离联想到使用椭圆的两个定义等等. 【例1】 求函数的最小值.分析: 我们通过观察二次根式可以联想到距离公式,那我们就可以用表达式的几何意义来求解,具体解答过程如下.解析：由题目我们可以把已知函数式改写成以下式子 并由解几知识可知表示轴上的动点到两定点和的距离之和.（如图1）则我们的问题就转换为求动折线APB的最小值. 又 【例2】 求的和.分析:看到此式子我们就应该注意到组合数，那么就应该立刻联想到二项式定理，有二项式定利那么我们得将展开，经过尝试的求解，我们发现并不能得出的结论.那么我们就应该继续联想,我们发现棣美弗定理可与此式有相似的地方并且可以进一步利用.则由棣美弗定理,经尝试解题发现不能同时出现.既然如此我们不妨将二者联系起来，即将用二项定理和棣美弗定理展开,并联想一下所求的和式的结构,并将可化为指数函数,那么就可以求出和式.然后我们又发现利用复数相等的性质很快就可以求出和. 【例3】设F1和F2为双曲线=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=90O，则F1PF2的面积是 （ ）（A）1 （B） （C）2 （D）分析：F1PF2的两边PF1和PF2是双曲线上的点P到两焦点F1和F2的距离，联想到：双曲线的定义（接近联想）mn=2a(设PF1=m ,PF2=n )看到：F1PF2是直角三角形，且问题与其三边有关.联想到：勾股定理 m2+n2=(2c)2（接近联想）看到：结论是S= m n联想到：把mn=2a平方，可出现m n，再利用m2+n2=(2c)2，即得m n的值（接近联想），从而得到解答：选（A）.2.4 逆向联想法由眼前的数学对象联想到对立面的对象的思维方法我们可以称为是逆向联想法. 对于数学中的概念,它们有些是成对出现的, 像是直线与曲线、相等与不等、有限与无限、收敛与发散等这些概念都是成对相对出现的,理解了一个另一个也就不难记忆和理解;当然有些运算也是成对出现的,比如加法与减法、乘方与开方、微分和积分、指数与对数等等,在每一对中都会出现两个对立面,这些大家都很容易理解.所以我们在解决问题的时候就可以有很多思路,可以联想一下问题的反面,然后多方位思考就可以更好地解决问题.例：(排列问题)七个人排成一列,并将部分人的位置进行交换,问至少有两人不在原来位置的排法有多少种?分析:对于这个问题如果我们从正面考虑,即按照要求排列则需进行分类:(两人或三人或四人或七人)不在原来的位置的排法各有多少种;如果这样进行分类计算起来太麻烦而且容易出错,计算复杂.这个时候我们不如就考虑一下它的反面,我们可以知道原题的反面是:所有人都在原来的位置上,那么就只有一种情形.那么我们就可以计算出： 共有 (种）2.5 对立联想法 对立联想是指具有对立关系（或说互否关系）的数学对象间的联想.若问题的结论很复杂，不易求解（或化简）时，可联想它的反面，即结论的否定，通过对其“反面”的分析、化简，使问题得到解决.例如，由“x0”联想到“x 0”，由“至少有一个实根”联想到“无实根”；由“两平面平行”联想到“两平面相交”等等.例2 已知三个方程x2+4ax+3-4a=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.分析看到：结论中的“三个方程中至少有一个方程有实根”，若直接用判别式则需分类讨论，特别复杂，此时联想到它的“反面”.联想到：“三个方程全都无实根”易解决.10即 20 1（对立联想）30故满足题意的的范围是：1，R在R上的补集，即：1或.2.6 横向联想法 横向联想就是由眼前的数学对象进一步联想到邻近学科的相关的对象,数学的各分支之间,数学与化学、物理、生物等学科之间的联想方法.比如当看到实数对符号( a, b)时联想到( a, b) 进一步联想到 因为知识之间存在着一定的联系甚至是相互渗透,那么如果利用横向联想,则可以使问题“举一反三”,由此及彼,产生看到葫芦就想到瓢的效果.我国著名的数学家华罗庚曾说过: 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微.数形结合思想是数学解题中最常用的思想方法,它可以将某些抽象的数学问题直观化、生动化、形象化,并且能够将抽象思维变成形象思维,方便人们对题目的理解和认识,进一步有助于我们更好地把握数学问题的本质.当然如果能把数与形很好地结合起来,一些看似复杂的问题就会变得简单多了,很多问题就会迎刃而解.如果我们能很好地掌握属性结合的方法更加可以使解题方法手段从单一性走向多样化和灵活化.并且当我们解题的时候如果进行多方面联想对于我们开拓解题思路,提高解题能力有重要的作用.所以我们平时一定要养成多观察、多联想的习惯.但是,对于联想能力的培养问题,则必须要有扎实的基础知识和基本解题技能,否则我们机会出现既抓不住解题中对象的主要特点,也就更难发现与基本形态或性质相似的知识的情况.当然在很多情况下,将原来的题目进行适当的变形,又或者改变一下角度再进行分析,使其可以具有新的含义,这样就可以把联想结果转化为易于解决的问题,然后再结合数学思想方法这样问题就可以很快地圆满地解决. 【例1】 分析:这个题目一开始看会给人很难下手并且很麻烦的感觉,但仔细进行运算一下,则可以将左端结构变形为,那么我们令则原不等式可变为到这里可以联想到：且此时 【例2】 设求证：分析：初看这个等式给人的感觉较为复杂,让我们观察这对称的结构,容易使我们联想到已经知道的命题：此式成立的充分必要条件是如此就可以得到比较巧妙的证法.证：令则可得即 即 又 又因为 所以, 故原等式成立,得证.通过此题我们要清楚的认识到,必须要认真地钻研我们所拥有的教材,并且要充分地发挥课本中的例题和习题的作用, 这对我们解题而言是很重要的. 【例3】 证明三角恒等式:（n为自然数）. 分析:我们可以看出这道题目如果用三角知识来证明是比较困难的,但是如果换种思路利用物理中的对称共点力的性质这方面的知识来处理这道题目就会变得比较简洁,而且容易理解加深对做题方法的认识和理解. 我们不妨作2n+1个力值为1的对称共力点则可以得到相邻两个力之间所成的角,如上图中坐标系所示，使重合与轴正方力，则可以看成是由绕点0作逆时针方向旋转了之后所得到的,那么又因为对称共点力的合力为零,即是所有的力在轴上的分力之和也是0,那么我们就可以得出 此即， 当然对于本题,如果我们换种思路,比如考虑所有的力在轴上的分力之和,那么我们可以同样的证明得到另外的一个恒等式:即 通过上面的这些例子,我们可以了解到数学联想方法的重要性,在数学解题过程中数学联想方法是一种很重要很常用的数学方法, 因为它的重要性所以在教学中,教师必须要注意培养和提高学生观察联想的能力,这样可以使学生更好的开发思维.3结束语总之,联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思维活动。联想思维在认识活动中起着桥梁和纽带作用，它是解答数学题的一种基本思考方法。数学解题的思维过程实质上是已知和未知间的一系列的联想过程。这种联想往往是缺少逻辑依据，没有清晰推理的。在解题时，通过仔细的观察、分析，必要时画出示意图，把条件和结论反映到图形上，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式（或其等价形式）联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想、解题方法、解题技巧、解题规律以及熟知的相关问题的解法，由此连续化简条件和结论，建立条件和求解目标间的逻辑联系，从而就容易找到解题的思路和方法.在我们解题时一定要多进行联想，这对于开拓我们的解题思路，竟一步提高解题的能力具有很重要的作用.所以在平时，我们一定要养成善于观察、勤于联想的优良习惯.同样值得注意的是，联想能力的培养以扎实的基础知识和基本的技能为基础4.如果我们不这么做，那么在以后的解体过程中不仅不能够抓住对象的主要特征，而且很难发现和它的基本形态或性质具有的相似的知识.很多的情况下适当的将题目进行变形或者换个角度再进行综合分析，从而使拥有新的含义，这样就可以把联想的结果转化成容易解决的问题，之后可以再利用结合数学思维方法或其他方法，就可以使问题得到圆满的解决.参考文献1 张雄，李得虎编著.数学方法论与解题研究M.北京：高等教育出版社.2007.2 张奠宙，张广祥.中学代数研究M.北京：高等教育出版社.2006.3 涂荣豹，王光明等编著.新编数学教学论M.上海：华中科技大学出版社.2006.4 吴祖凯.把握结构特征 诱导学生联想. J.数学教学通讯，2007.5 王国森.数学联想及其在数学问题研究中的作用J.宜宾师范高等专科学校学报，2001，（02）.6 马桂华.数学联想能力培养举例 J. 宁夏教育, 1997,(07).7 王瑞莲. 在数学联想中提高学生的思维能力J. 内蒙古石油化工, 2004,(05)8 乌晓梅. 谈数学联想中的思维迁移J. 宁波大学学报（教育科学版）, 2003,(02).9 张晶. 运用联想打开