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关于组合数学中的分配问题的讨论作者：唐晴工作单位：湖南省凤凰县禾库中学【摘要】 本文主要讲述如何解答分配问题，同时还介绍在分析问题时应该注意的方法。【关键词】 组合;分配;平均;不平均组合数学中的分配问题，即人们常说的“平均分组”与“不平均分组”问题，它既是组合数学中的重点，也是难点，值得广大教学工作者一起探讨。鉴于该类问题的抽象性较大，应用广泛，笔者根据自己的经验与理解，写下了这篇论文，希望对教与学有一定的帮助。1.相关概念1.1平均分组问题平均分成的组，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以，即，其中表示组数。至于为什么要除以呢？读者不妨看下面的例题。例 把分成平均两组有多少种分法？首先，从4个字母当中选两个，即种选法，再选剩下的两个种选法，根据乘法原理一共种选法。选得的结果如下： 其中相同，相同，相同，所以结果为种分法。平均分组包括以下两种类别：有分配对象和无分配对象；分配对象确定和分配对象不确定。也就是问题探讨前四种问题：均分无分配对象的问题、均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）、部分均分无分配对象的问题、部分均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。1.2不平均分组问题1.有分配对象和无分配对象；2.分配对象确定和分配对象不确定。即问题探讨的后两种问题：非均分组无分配对象的问题、非均分组有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。2.问题探讨2.1均分无分配对象的问题 例2.1 12本不同的书（1） 按平均分成堆有多少种不同的分法？（2） 按平均分成4堆有多少种不同的分法？解：（1）（2）2.2均分有分配对象的问题 例2.2 6本不同的书（1） 平均分给甲乙丙3个人，有多少种不同的分法？（分配对象不确定）（2） 甲2本、乙2本、丙2本，有多少种不同的分法？（分配对象确定）解：（1）（种）（2）（种）注意：均分有分配对象的问题，分配对象确定与分配对象不确定是同一回事。2.3部分均分无分配对象的问题例2.3 12本不同的书按以下方式分配分别有多少种不同的分法？（1） 按分配；（2） 按分配；（3） 按分配。解：（1）（2）(3) 2.4部分均分有分配对象的问题例2.4 12支笔按如下方式分给A、B、C、D、E五个人，分别有多少种不同的分法？（1） 按分配；（分配对象不确定）（2） A三本、B三本、C二本、D二本、E二本。（分配对象确定）解：（1）（2）2.5非均分组无分配对象的问题例2.5 16本不同的书（1） 按分成3堆有多少种不同的分法？（2） 按分成3堆有多少种不同的分法？（3） 按分成4堆有多少种不同的分法？解：（1）（2）（3）注意：非均分无分配对象问题只要按比例分再用乘法原理作积。2.6非均分组有分配对象的问题例2.6 12本不同的书（1） 按分给甲乙丙3人有多少种分法？（分配对象确定）（2） 1人2本、1人4本、1人6本分给甲乙丙三人有多少种不同的分法？（分配对象不确定）解：（1）（3）注意：非均分组有分配对象，并且分配对象不确定，要把组数当做元素个数再做排列。3.分配问题的相关变形在掌握了以上基本问题情境的基础上，我们可以把其他更为复杂的组合数学题转化为分配问题，从而达到事半功倍的效果。例3.1 撒个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1、1、2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各一个，另一组2个，分好组后再排列。解：（种）例3.2 有甲、乙、丙三项任务，甲需二人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？解：先考虑分组，共有种分法；再考虑排列，因为甲任务需2人承担，所以2人的那组只能承担甲任务，而1人的组既可以承担乙任务又可承担丙任务。综合起来，不同的选法有（种）评析：解数学问题时，要学会“具体问题具体分析”，辩证的对待每一个问题，这样才能提高解题能力。例3.3 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混双比赛，不同的比赛分配方法有多少种？分析：用1、2、3、4标记4名男乒乓球选手，用a、b、c、d标记4名女乒乓球选手，该问题可转化为把男女选手分别平均分配，然后再组合，假设男选手分配为（12）、（34），女选手分配为（ab）、（cd）,则组合可得8种情况： 1a2b,3c4d; 1a2b,3d4c; 1b2a,3c4d; 1b2a,3d4c; 1c2d,3a4b; 1c2d,3b4a; 1d2c,3a4b; 1d2c,3b4a.解：共有（种）例3.4 设集合，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B不同的函数有多少个？分析：根据函数的概念，可知集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题可转化为将A中的4个元素按分配到B中的3个元素里.解：（个） 4.总结对于“平均分组”与“不平均分组”问题，我们要理解各种情况，同时懂得创新，能够将一些其他的排列组合题转化为分配问题来解决，对我们的教与学是大有裨益的。【参考文献】1人民教育出版社数学室编著. 普通高中课程标准实验教科书数学必修2. 北京：人民教育出版社，2004，7作者简介：唐晴，出生于1986年9月，男，土家族，湖南省凤凰县木江坪镇长车村人，现就职于湖南省凤凰县禾库