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第六章数列第一节数列的概念与简单表示本节主要包括2个知识点:1.数列的通项公式;2.数列的单调性.突破点(一)数列的通项公式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即anf(an1)(或anf(an1,an2)等),那么这个式子叫做数列an的递推公式4Sn与an的关系已知数列an的前n项和为Sn,则an这个关系式对任意数列均成立考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 由数列的前几项求数列的通项公式例1写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,;(2),;(3)1,;(4)3,33,333,3 333,.解(1)各项减去1后为正偶数,所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an.(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因式(1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为21,偶数项为21,所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为,分母都是3,而分子分别是101,1021,1031,1041,所以an(10n1)方法技巧由数列的前几项求通项公式的思路方法给出数列的前几项求通项时,需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系,在所给数列的前几项中,先看看哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序号间的关系,主要从以下几个方面来考虑:(1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若第n项和第n1项正负交错,那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)熟悉一些常见数列的通项公式(4)对于较复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,这就需要将数列各项的结构形式加以变形,可使用添项、通分、分割等方法,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳利用an与Sn的关系求通项例2已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式:(1)Sn2n23n;(2)Sn3nb.解(1)a1S1231,当n2时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5,由于a1也适合此等式,所以an的通项公式为an4n5.(2)a1S13b,当n2时,anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时,a1适合此等式当b1时,a1不适合此等式所以当b1时,an23n1;当b1时,an方法技巧已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n1与n2两段来写利用递推关系求通项例3(1)已知数列an满足a1,an1an,则an_;(2)若数列an满足a1,an1an,则通项an_;(3)若数列an满足a11,an12an3,则an_;(4)若数列an满足a11,an1,则an_.解析(1)由条件知an1an,则(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1),即ana11,又a1,an1.(2)由an1an(an0),得,故ana1.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant),即an12ant,则t3.故an132(an3)令bnan3,则b1a134,bn0,且2.所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列所以bn42n12n1,即an2n13.(4)an1,a11,an0,即,又a11,则1,是以1为首项,为公差的等差数列(n1),an.答案(1)(2)(3)2n13(4)方法技巧由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n),可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb,则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列ank(4)形如an1(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解(5)形如an1anf(n)的数列,可将原递推关系改写成an2an1f(n1),两式相减即得an2anf(n1)f(n),然后按奇偶分类讨论即可能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知nN*,给出4个表达式:anan,an,an.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是()A B C D解析:选A检验知都是所给数列的通项公式2.数列1,的一个通项公式是()Aan(1)n1(nN*)Ban(1)n1(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)解析:选D所给数列各项可写成:,通过对比各选项,可知选D.3.已知数列an的前n项和为Snn22n2,则数列an的通项公式为()Aan2n3 Ban2n3Can Dan解析:选C当n1时,a1S11,当n2时,anSnSn12n3,由于n1时a1的值不适合n2的解析式,故an的通项公式为an4.设数列an满足a11,且an1ann1,求数列an的通项公式解:由题意有a2a12,a3a23,anan1n(n2)以上各式相加,得ana123n.又a11,an(n2)当n1时也满足此式,an(nN*)5.若数列an满足:a11,an1an2n,求数列an的通项公式解:由题意知an1an2n,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.又因为当n1时满足此式,所以an2n1.突破点(二)数列的单调性基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M,使|an|M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用数列的单调性研究最值问题例1已知数列an的前n项和为Sn,常数0,且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式;(2)设a10,100.当n为何值时,数列的前n项和最大?解(1)取n1,得a2S12a1,即a1(a12)0.若a10,则Sn0,当n2时,anSnSn1000,所以an0.若a10,则a1,当n2时,2anSn,2an1Sn1,两式相减得2an2an1an,所以an2an1(n2),从而数列an是等比数列,所以ana12n12n1.综上,当a10时,an0;当a10时,an.(2)当a10且100时,令bnlg,由(1)知bnlg2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)则b1b2b6lglglg 10,当n7时,bnb7lglg0数列an是单调递增数列;an1an0时,1数列an是单调递增数列;1数列an是单调递减数列;1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列;0,且a1),若数列an满足anf(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A(0,1)B.C(2,3) D(1,3)解析因为an是递增数列,所以解得a3,所以实数a的取值范围是.答案B方法技巧已知数列的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理(2)利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设an3n215n18,则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0解析:选Dan32,由二次函数性质,得当n2或n3时,an取最大值,最大值为a2a30.故选D.2.若数列an满足:a119,an1an3,则数列an的前n项和数值最大时,n的值为()A6 B7 C8 D9解析:选Ba119,an1an3,数列an是以19为首项,3为公差的等差数列,an19(n1)(3)223n,则an是递减数列设an的前k项和数值最大,则有即k,kN*,k7.满足条件的n的值为7.3.已知an是递增数列,且对于任意的nN*,ann2n恒成立,则实数的取值范围是_解析:对于任意的nN*,ann2n恒成立,an1an(n1)2(n1)n2n2n1.又an是递增数列,an1an0,且当n1时,an1an最小,an1ana2a130,3.答案:(3,)4.已知数列an中,an1(nN*,aR,且a0)(1)若a7,求数列an中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的nN*,都有ana6成立,求a的取值范围解:(1)an1(nN*,aR,且a0),又a7,an1.结合函数f(x)1的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52,最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数f(x)1的单调性,知56,10a0,考虑函数yt,易知其在(0,1上单调递减,在(1,)上单调递增,且当t1时,y的值最小,再考虑函数t5x,当0x1时,t(1,5,则可知an5nn在(0,1上单调递增,所以当n时,an取得最小值答案: 练常考题点检验高考能力一、选择题1已知数列an的前n项和Snn22n,则a2a18()A36 B35 C34 D33解析:选C当n2时,anSnSn12n3;当n1时,a1S11,所以an2n3(nN*),所以a2a1834.2数列an中,a11,对于所有的n2,nN*都有a1a2a3ann2,则a3a5()A. B. C. D.解析:选A令n2,3,4,5,分别求出a3,a5,a3a5.3在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*,都有amnaman.若a664,则a9等于()A256 B510C512 D1 024解析:选C在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*,都有amnaman.a6a3a364,a38.a9a6a3648512.4已知数列an满足a115,且3an13an2.若akak10,则正整数k()A21 B22 C23 D24解析:选C由3an13an2得an1an,则an是等差数列,又a115,ann.akak10,0,k2n1(n1p),则p0,(n1)an1nan0,即,a11,an.答案:三、解答题11已知Sn为正项数列an的前n项和,且满足Snaan(nN*)(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列an的通项公式解:(1)由Snaan(nN*),可得a1aa1,解得a11;S2a1a2aa2,解得a22;同理,a33,a44.(2)Snaan,当n2时,Sn1aan1,整理得(anan11)(anan1)0.由于anan10,所以anan11,又由(1)知a11,故数列an是首项为1,公差为1的等差数列,故ann.12已知数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)对于nN*,都有an1an,求实数k的取值范围解:(1)由n25n40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又因为通项公式ann2kn4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以3.所以实数k的取值范围为(3,)第二节等差数列及其前n项和本节主要包括3个知识点:1.等差数列的性质及基本量的计算;2.等差数列前n项和及性质的应用;3.等差数列的判定与证明.突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*,d为常数)(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A,其中A叫做a,b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式:ana1(n1)d.(2)前n项和公式:Snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则akalaman.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列(5)若数列an,bn是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列pan,anp,panqbn都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1,pd1qd2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 等差数列的基本运算例1(1)(2016东北师大附中摸底考试)在等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4(2)(2016惠州调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,若S36,a14,则公差d等于()A1 B. C2 D3解析(1)a1a52a310,a35,则公差da4a32,故选B.(2)由S36,且a14,得a30,则d2,故选C.答案(1)B(2)C方法技巧1等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想2等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为ad,a,ad;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为ad,ad,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元等差数列的性质例2(1)在等差数列an中,a3a927a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11()A18 B99 C198 D297(2)已知an,bn都是等差数列,若a1b109,a3b815,则a5b6_.解析(1)因为a3a927a6,2a6a3a9,所以3a627,所以a69,所以S11(a1a11)11a699.(2)因为an,bn都是等差数列,所以2a3a1a5,2b8b10b6,所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6),即2159(a5b6),解得a5b621.答案(1)B(2)21能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为()A.钱 B.钱C.钱 D.钱解析:选D设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意有解得即甲得钱,故选D.2.设Sn为等差数列an的前n项和,若a11,公差d2,Sn2Sn36,则n()A5 B6 C7 D8解析:选D由题意知Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36,解得n8.3.已知数列an为等差数列,且a1a7a13,则cos(a2a12)的值为()A. B C. D解析:选D在等差数列an中,因为a1a7a13,所以a7,所以a2a12,所以cos(a2a12).故选D.4.设Sn为等差数列an的前n项和,a128,S99,则S16_.解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由已知,得解得所以S16163(1)72.答案:725.设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn324(n6),求数列an的项数及a9a10.解:由题意知a1a2a636,anan1an2an5180,得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216,a1an36,又Sn324,18n324,n18.a1an36,n18,a1a1836,从而a9a10a1a1836.突破点(二)等差数列前n项和及性质的应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 等差数列前n项和的性质(1)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,(mN*)也是等差数列,公差为m2d.(2)S2n1(2n1)an,S2nn(a1a2n)n(anan1)(3)当项数为偶数2n时,S偶S奇nd;项数为奇数2n1时,S奇S偶a中,S奇S偶n(n1)(4)an,bn均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则.(5)若an是等差数列,则也是等差数列,其首项与an的首项相同,公差是an的公差的.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 等差数列前n项和的性质例1已知an为等差数列,若a1a2a35,a7a8a910,则a19a20a21_.解析法一:设数列的公差为d,则a7a8a9a16da26da36d518d10,所以18d5,故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二:由等差数列的性质,可知S3,S6S3,S9S6,S21S18成等差数列,设此数列公差为D.所以52D10,所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.答案20等差数列前n项和的最值例2等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5S12,则当n为何值时,Sn有最大值?解设等差数列an的公差为d,由S5S12得5a110d12a166d,da10,nN*,所以当n8或n9时,Sn有最大值法二:设此数列的前n项和最大,则即解得即8n9,又nN*,所以当n8或n9时,Sn有最大值法三:由于Snna1dn2n,设f(x)x2x,则函数yf(x)的图象为开口向下的抛物线,由S5S12知,抛物线的对称轴为x(如图所示),由图可知,当1n8时,Sn单调递增;当n9时,Sn单调递减又nN*,所以当n8或n9时,Sn最大方法技巧求等差数列前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法:a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a10时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)通项公式法:求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地,等差数列an中,若a10,且SpSq(pq),则:若pq为偶数,则当n时,Sn最大;若pq为奇数,则当n或n时,Sn最大能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.在等差数列an中,a129,S10S20,则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16CS15或S16 DS17解析:选Aa129,S10S20,10a1d20a1d,解得d2,Sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时,Sn取得最大值2.设Sn为等差数列an的前n项和,(n1)SnnSn1(nN*)若1,则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解析:选D由(n1)SnnSn1得(n1)n,整理得anan1,所以等差数列an是递增数列,又1,所以a80,a70,所以数列an的前7项为负值,即Sn的最小值是S7.3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_.解析:S10,S20S10,S30S20成等差数列,且S1010,S2030,S20S1020,S30302021030,S3060.答案:604.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n的个数是_解析:由等差数列前n项和的性质知,7,故当n1,2,3,5,11时,为整数,故使得为整数的正整数n的个数是5.答案:55.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,则该数列的公差d_.解析:设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得解得又S偶S奇6d,所以d5.答案:5突破点(三)等差数列的判定与证明基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an,anan1(n2,nN*)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1anan2(n3,nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 等差数列的判定与证明典例已知数列an的前n项和为Sn,且满足:an2SnSn10(n2,nN*),a1,判断an是否为等差数列,并说明你的理由解因为anSnSn1(n2),an2SnSn10,所以SnSn12SnSn10(n2)所以2(n2)又S1a1,所以是以2为首项,2为公差的等差数列所以2(n1)22n,故Sn.所以当n2时,anSnSn1,所以an1,而an1an.所以当n2时,an1an的值不是一个与n无关的常数,故数列an不是等差数列能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1若an是公差为1的等差数列,则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列解析:选C令bna2n12a2n,则bn1a2n12a2n2,故bn1bna2n12a2n2(a2n12a2n)(a2n1a2n1)2(a2n2a2n)2d4d6d616.即a2n12a2n是公差为6的等差数列2已知数列an中,a12,an2(n2,nN*),设bn(nN*)求证:数列bn是等差数列证明:an2,an12.bn1bn1,bn是首项为b11,公差为1的等差数列3已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn,且满足a3a4117,a2a522.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列满足bn,是否存在非零实数c使得bn为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由解:(1)数列为等差数列,a3a4a2a522.又a3a4117,a3,a4是方程x222x1170的两实根,又公差d0,a3a4,a39,a413,解得数列an的通项公式为an4n3.(2)由(1)知a11,d4,Snna1d2n2n,bn,b1,b2,b3,其中c0.数列是等差数列,2b2b1b3,即2,2c2c0,c或c0(舍去),故c.即存在一个非零实数c,使数列bn为等差数列 全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100()A100 B99 C98 D97解析:
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