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无线离散信道的建模仿真无线离散信道的建模仿真 摘要摘要 随着信息技术的迅猛发展，通信系统在性能不断提高的同时也变得越来越 复杂。正因为如此，采用传统技术对通信系统进行分析和设计的日子已经一去 不复返，而计算机仿真方法则由于其廉价性高效性和灵活性，成为了通信产 业中的主要设汁和分析手段之一。另一方面，计算机仿真更是进行通信与网络 等方面科研时所必备的工具。 采用离散信道模型能大大地降低执行仿真时的计算复杂度，因此很具有吸 引力。可以从测量数据或者从波形级仿真的结果来获得模型参数。离散信道模 型刻画了信道输入输出特性，但没有对信道的物理功能进行建模。也正是通 过这种抽象，才降低了计算量。本文就简单介绍了离散信道仿真的一些基本概 念，步骤，方法和特点。 最初考虑了一个两状态模型，以便建立起状态转移矩阵、状态分布向量和 差错生成矩阵的概念。考虑了几种确定稳态分布的方法，然后把这些概念扩展 到了 n 状态模型。 接下来，作为隐马尔可夫模型的例子，我们考虑了两状态 gilbert 摸型和 n 状态 fritchman 模型。因为 fritchman 模型的状态转移矩阵包含大量的 0（相对 稀疏的） ，因而从计算的角度来看，该模型很有吸引力。 最后通过三个例子对马尔可夫模型和块等效马尔可夫模型的估计方法进行 了总结。 【关键词关键词】建模 仿真 离散信道建模 离散信道模型 马尔可夫模型 i abstract with the rapid development of information technology,conmunication system is becoming more effient and complex.thus,we seldom use traditional technology to analyze and desigh for the conmunication system.however,computer simulation method becomes one of the main way to desigh and analyze in the conmunication system,because of its low price,high efficacy and flexibility.on the other hand,computer simulation is an necessary tool for the study about conmunication and network . discrete channel model can be greatly reduced when the implementation of simulation complexity,so it is very attractive. we can obtain model parameters from the measurement data or from the waveform simulation results. discrete channel model describes the channel input - output characteristic, but it does not on the physical function of channel modeling. it reduces the computation by this abstract. this paper describes a simple discrete channel simulation of some basic concepts, steps, methods and characteristics. firstly,we consider about a model of two-states so that we can have concepts of array of moving state,vector of distributed state and array of error build.after thinking about certain ways of steady state distributed,we enlarge these concepts to the n state model. secondly,as the examaple of invisible markov model,we think about two-state gibert model and n-state fritchman model.the array of state moving of frichman model consist of a lot of zero,so this model is attractive for the calculating. at last,we conclude the markov model and the brick-equal markov model by three examples. 【key words】model building simulation discrete channel model markov model ii 目目 录录 前 言.1 第一章绪论.2 第一节 仿真的概述与发展.2 第二节 仿真的特点.3 一、复杂性示例 3 二、仿真模型 8 第三节 本章小节11 第二章 离散信道模型12 第一节 概述 12 第二节 离散无记忆信道模型 14 第三节 本章小结 16 第三章马尔可夫模型17 第一节 两状态模型17 第二节 n 状态马尔可夫模型.23 第三节 两状态模型扩展到n状态模型 25 第四节 示例 hmmsgilbert模型和 fritchman模型 .29 第五节 马尔可夫模型的参数估计 31 一、比例缩放 .33 二、收敛和终止准则 .34 三、块等效马尔可夫模型 .34 第六节 本章小结 36 第四章三个仿真实例37 仿真实例 1 .37 仿真实例 2 .41 仿真实例 3 .43 本章小结.46 结论.47 致谢.48 iii 参考文献.49 附录.51 一英语文献.51 二英文文献翻译.57 三程序代码.62 1 前前 言言 通信和计算机这个相关技术近期快速发展的产物。在过去的几十年中，通信 系统变得越来越复杂，以至于没有相当程度的计算机支持，就无法再进行系统 设计和性能分析。50 年前的不少通信系统要么是功率受限的，要幺是噪声受限 的。在许多这种系统中。使性能恶化的一个重要因素是热噪声，它可用加性高 斯白噪声情道米建模。然而，许多现代通信系统（比如无线蜂窝系统）是运行 在干扰和带宽受限的环境中。此外，人们对宽带信道和微型器件的渴求，也将 恃输频率推进到千兆赫兹范围。在这个频段，传播特性变得更复杂，而多径引 起的衰落也是一个普遍存在的问题。为了减小这些负面影响，往往要采用复杂 的接收机结构。比如，接收机中可能使用复杂的同步结构、解调器与符号估计 器以及 rake 处理器。不采用计算机技术，很难对许多这种系统进行分析处理。 要设计和分析这些系统，仿真往往必不可少 微处理器和 dsp 技术的发展，推动丁现代通信系统的发展，同时电为我们 提供了高性能的数字计算机。现代工作站和个人计算机( pc)的计算能力已经大 大超过了数年前使用的大型机。而且，现代工作站和 pc 价格低廉，因而可以配 备在设计工程师们的桌面上。因此，基于仿真的设计和分析方法成为整个通信 产业中广泛使用的实用工具。 我们通过噪声、干扰和其他扰动与被传输的信号相结合，在接收机输入端 产生一个失真的和带噪声的波形信号来定义信道。传输的信号以及噪声、干扰 和其他的信道扰动，都是用波形的采样来表示的，结果是接逐个采样点进行数 据处理的波形级仿真。现在我们以一定的方式对系统进行划分，从而消除掉许 多波形级仿真的必要性，所得结果是一个可以逐个符号地进行仿真的离散信道 模型。用离散信道模型来取代波形级信道是为了加快仿真速度。我们将看到， 离散信道模型是对物理信道（波形信道）的抽象，它完全用一小组参数来表征。 参数的确定是建模过程的重要部分，必须通过测量物理信道或者仿真单个波形 级来确定参数。 对于离散信道，最通用的模型是马尔可夫模型。马尔可夫模型的普及有以 下几个原因：这些模型很容易进行分析处理，是基于统计学理论的，而且在通 信系统中已经取得了很好应用，而且更重要的是，有效的计算技术对于从仿真 或测量参数来估计马尔可夫参数是实用的，之后我们还会讨论更多的模型，从 而在不同的环境运用最合适的模型，估计最接近的参数。 2 第一章第一章 绪论绪论 第一节第一节 仿真的概述与发展仿真的概述与发展 现代通信系统的复杂性促进了仿真的广泛使用。这种复杂性源自现代通信 系统的结构和系统运行时所处的环境。现代通信系统要运行在功率和带宽有限 的条件下，还要支持高速数据。这些要求互相矛盾，导致了复杂的调制和脉冲 成形技术。以及差错控制和接收端的高级信号处理技术。在高数据率情况下， 同步要求变得更严格，因而接收机也更复杂。加性高斯白噪声条件下的线性通 信系统分析起来很简单，但多数现代通信系统运行在更恶劣的环境中。出于效 率方面的考虑，多跳系统经常用到非线性放大器。无线蜂窝系统往往遭受严重 的干扰，还有多径和阴影，使得接收端信号出现衰落。由于系统复杂，再加上 环境恶劣，设计和分析间题使用传统的（不基于仿真的）方法不再是易于解析 处理的了。 幸运的是，最近 20 年以来，数字计算机发展迅速，现代计算机不仅功能强 大，而且价格便宜适合于桌面使用、有时可以进行数小时运算而不需要人工干 预。计算机的使用变得很简单在许多工作中，计算机资源的成本无关紧要了。 因此，计算机辅助设计与分析方法几乎可以供任何想用它们的人使用。功能强 大面向通信系统的软件包的开发，更加速了仿真方法在通信领域的应用。因而， 随着系统复杂度的增加，计算能力也在提高。在许多情况下，可获得合适的计 算能力、这直接导致了许多复杂的信号处理结构，而这些信号处理结构，现在 已经是现代通信系统的基本构成模块。因此，并不只是运气好，在需要计算工 具时它们就问世了，而是实用的计算能力（表现为微处理器的形式） ，作为保障 技术，使现代通信系统变得可能，也使强大的仿真引擎才有实现的可能。 随着计算机方法的发展，我们大致地称作仿真理论的领域也得到了迅速发 展。因此，和几十年前相比，现在更容易获得所需的仿真工具和方法，以成功 用于解决设计和分析问题对其理解也更透彻。现有大量的技术论文和一些书籍， 阐述如何使用这些工具解决通信系统的设计和分析。 使用仿真的一个重要动机在于，仿真是深入理解系统特性的有价值的工具。 一个开发得好的仿真跟在实验室实现一个系统很类似，可以很方便地对要研究 的系统进行多点测量，也可很容易作参数研究，因为可以任意改动滤波器带宽 和信噪比（snr）等参数，而且还能很快地观测到这些改变对系统性能的影响。 可以很容易产生时域波形、信号谱图、眼图、信号星座图、直方图和许多其他 3 图形显示。在有需要的时候，还可以将这些图形跟系统硬件产生的等效显示作 比较。将仿真结果和系统硬件产生的结果对比是设计过程的重要部分。可能更 重要的是，比起实际系统硬件，仿真能更容易也更经济地对各种假设情况进行 研究。尽管我们经常采用仿真来获得误比特率（ber）之类变量的数值，但是， 正如 r. w.汉明所言，仿真的主要作用不在于获得数值而在于获得深入的理解。 第二节第二节 仿真的特点仿真的特点 一、复杂性示例一、复杂性示例 随着通信系统的不同，其复杂程度也不同。我下面来考虑三个通信系统。 不难看出，对第一个系统完全没有仿真的必要。对第二个系统，仿真也不是必 须的，但可能是有用的。而对第三个系统作详细的性能研究就必须进行仿真。 数据源 （dms） 调制器与发射 机 高斯白噪声信道模 型 匹配滤波器 在符号周期末 采样 与阈值作比较 最佳接收机 dk k v dk 图 1.1 易于解析处理的通信系统 图 1.1 所示为一个非常简单的通信系统。我们以前在上通信原理入门课时学过 基本通信系统，数据源产生一个符号序列 dk。假设这些符号是离散的且源符号 4 集是一个有限的符号库的元素集。对二进制通信系统，源符号集由两个符号构 成，通常记为0,1。此外，还假设数据源是无记忆的，即数据源产生的第 k 个 符号独立于它产生的所有符号。满足这些条件的数据源叫做离散无记忆源 （discrete memoryless source,dms） 。调制器的作用是将源符号变换成波形，每 个波形代表一个不同的源符号。对二进制系统，调制器可以产生两种可能的波 形。波形集可记为s1(t), s2(t)。在这种情况下，简单地假设发射机对调制器的 输出进行放大，使得调制器产生的信号能以期望的比特能量发射出去。 系统的下一个部分是信道。通常，信道是系统中需要进行精确建模的最复 杂的部分。不过，这里简单地假设信道只是对发送的信号叠加一个噪声。假设 这个噪声在所有的频率上具有恒定的功率谱密度（power spectral density, psd） ， 满足这一恒定 psd 特性的噪声叫白噪声，另外假设唤声幅度具有高斯概率密度 函数。噪声为加性高斯白噪声的信道叫加性高斯白噪声（awgn）信道。 接收机的功能是观察接收机输入端信号，井据此产生一个对原始数据信号 dk的估计，记作kd。图 1.1 所示的接收机是最佳接收机，因为我们对数据符号 所作的估计使得差错概率 pe最小。从基本数字通信原理中可知、上一段描述的 系统（在 awgn 环境下发送二进制信号的系统）的最佳接收机包含一个匹配 滤波器（或等价为相关接收机） 。匹配滤波器在一个符号周期内对信号进行观察。 在符号周期末，对匹配滤波器的输出采样，产生一个统计量 vk。因为在信道中 对发送的信号叠加了噪声，这个统计量是随机变量。将 vk与阔值 t 作比较，如 果 vkt,作出的判决kd倾向于其中一个数据符号；如果 vk = 10 10 10 -3 -3 -3 t 图 3.1 假定的接收输入信号电平和两状态模型 第一节第一节 两状态模型两状态模型 为了准备讨论马尔可夫信道模型，先来考虑一个衰落信道。我们可以将信 道建模为处于如图 2.5 所示的两个状态之一。在图 2.5 中，有一个好状态 g，其 系统性能为可接受（即 pe10-3） 。 因此，在如图 3.1 所示的简单两状态模型中，状态可用如下集合表示 s=g,b (3.1) 在每个符号（比特）周期的起始时刻，信道处在两个状态中的某一个。如果信 道处在好状态，则发生传输差错的概率可以忽略，相反，如果信道处在坏状态， 那么传输差错概率会超出可接受的范围。在传输每一个新的比特之前，信道可 18 能转移到新状态也可能保持在原状态，状态之间的转移以一组转移概率 aij发生。 这些概率都是条件概率，在两状态模型中，有四个感兴趣的转移概率。令 st+1 和 st别表示信道在时刻 t 和时刻 t+1 时的状态。 （注意 t+1,表示比 t 大一个时间 增量的时刻，而不是比 t 大 1s 的时刻，所以 t 可看作离散时间序数。 ）使用这个 记号，我们定义四个转移概率为 1 ( )pr| ggtt atsg sg 1 ( )pr| gbtt atsb sg 1 ( )pr| bgtt atsg sb (2.6) 1 ( )pr| bbtt atsb sb 这些转移概率可以用如下状态转移矩阵表示 (3.2) ( )( ) ( ) ( )( ) gggb bgbb atat a t atat 由于我们考虑的是两状态模型，给定状态 st=g,必定有 st+1=g（信道保持在好状 态）st+1=b（信道转移到坏状态） ，因此，状态转移矩阵每一行的和都必为 1。 两状态模型的状态转移图如图 3.2 所示 好状态（g）坏状态(b) (t) g b g g(t) bg(t) bb(t) 图 3.2 两状态马尔可夫模型 在下面的部分，我们将假定信道模型是静态的。因此状态转移矩阵 a(t)是 固定的，a(t)=a。然而，如果仿真运行中初始状态概率分布 0 不同于稳态分布， 那就需要一段时间来使概率分布演化到稳态值 ss 。我们关心的是模型处于给 定状态下的概率，定义为时刻 t 的状态概率分布，具体而言，有 t (3.3) ,tt gt b 19 式中， t,g和t,b别表示在 t 时刻信道处于好状志或坏状态的概率。通过定义状态 转移矩阵，在时刻 t+1 的状态分布为 (3.4) 1tta 类似地，在时刻 t+2 时的状态分布是 (3.5) 2 21tttt aa aa 因此，一般地有 (3.6) k t kta 式中 ak代表 k 步转移矩阵。大多数情况下（但不是所有的情况） ，随着时间的 推进，马尔可夫过程都会演化到一个稳态概率分布。假定对于足够大的时间 t 和任意的 k，马尔可夫过程收敛到一个稳态分布 t kt ，对于任意 k，有下式 (3.7) k ssssgb a 很容易验证对于足够大的 k 值，矩阵 ak的行向量给出。我们用下面的列子 ss 说明从 0 到 ss 的收敛。 仿真实例 3.1 ：令转移矩阵； 0.980.02 0.050.95 a 初始状态分布： ； 0 0.50.5 从到收敛的过程： 0 ss 当 n=100 时； matlab 程序： 执行函数： c15_mmtransient 执行结果: the steady-state probabilities are 0.71412 and 0.28588. the value of an is ans = 0.7145 0.2855 0.7138 0.2862 20 0102030405060708090100 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 代 代 代 代 state 1 state 2 图 3.3（a） 当 n=100 状态概率分布到稳态分布的收敛 概率分布收敛到稳态值的过程如图 3.3（a）所示。 当 n=300 时； 执行函数： c15_mmtransient the steady-state probabilities are 0.71429 and 0.28571. the value of an is ans = 0.7143 0.2857 0.7143 0.2857 21 050100150200250300 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 代 代 代 代 state 1 state 2 图 3.3（b） 当 n=300 状态概率分布到稳态分布的收敛 当 n=50 时； 执行函数： c15_mmtransient the steady-state probabilities are 0.70817 and 0.29183. the value of an is ans = 0.7219 0.2781 0.6953 0.3047 22 05101520253035404550 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 代 代 代 代 state 1 state 2 图 3.3(c) 当 n=50 状态概率分布到稳态分布的收敛 从以上几个图可以看出将 n 增大到一个较大的值，就可以如预期的那样得到一 致的结果。 在结束讨论两状态模型之前，我们讨论下差错生成矩阵，其定义为 (3.8) pr|pr| pr|pr| c gc b b e ge b 式中“c”表示作出了正确的判决， “e”表示作出错误的判决。通过简单的矩阵相乘， 可得无条件的正确判决概率 pc和无条件的错误判决概率，其中 (3.9) t cess ppb 式中， ss 稳态分布矩阵，bt是差错生成矩阵 b 的转置。 注意到，如果 b 的所有元素都是非零的，两个状态中的任何一个都可能产生差错， 尽管不同状态的差错概率也许会相差很大。因此，在观察到个差错时，不能据此来确定产 生这个差错的状态，正是由于这个原因，我们称这种模型为“隐式” 。这种模型叫隐马尔可 夫模型 仿真实例 3.2：用马尔可夫模型进行信道的仿真，并且计算系统的差错概率。 假定任一状态都可能产生差错，很明显，好状态时产生差错的概率比坏状态时 23 要低得多。我们具体地定义条件错概率为：p(e/g)=0.0005;p(c/g)=0.9995;p(e/b) =0.1000;p(c/b)=0.9000; 差错矩阵; 0.99950.9000 0.00050.1000 b 转移矩阵； 0.980.02 0.050.95 a 信道仿真的 matlab 程序： 执行函数：c15_hmm2 执行结果：pe=0.0285 因此，我们有 pe=0.0285 用这种方法计算得到的 pe是一个随机变量。从前面的例子可得稳态概率为 0.71410.2859 ss 0.99950.9000 0.71410.2859 0.00050.1000 ce pp 于是有 0.97110.0289 ce pp 这个结果（pe=0.0289）与仿真得到的值很接近。因此，仿真结果看来是合理的。 两状态马尔可夫模型更一般的形式可以构建为具有大量的状态，其中众多具有 不同“好坏.”程度的好状态和坏状态分别对应于不同程度的衰落或者噪声。对 两状态马尔可夫模型进行推广，便可得到 n 状态的马尔可夫模型。 第二节第二节 n 状态马尔可夫模型状态马尔可夫模型 一个离散通信信道的 n 状态马尔可夫过程模型由许多参数定义。状态集 s 可表示为 s=1,2,3,n (3.10) 跟前面一样，用 st表示时刻 t 的状态，因此 st在集合 s 上取值。在 t 时刻 马尔可夫模型在状态 i 的概率 , t i ，表示如下 (3.11) , pr,1,2,3, t it siin 24 转移概率 aij，表示了从 t 时刻的状态 i(st=i)变化到 t+1 时刻的状态 j(st+1=j) 的概率。以方程形式表示为 (3.12) 1 pr|,1,2,3, i jtt asj sii jn 状态的转移通常发生在时间增量等于一个比特或符号周期的时间内。最后， 我们就得出输入输出转移（误码）的概率。一个 m 元符号集的误码可表示为 集合 (3.13) 123 , m ee e ee 对我们所熟悉的二进制情况有 (3.14) 0,1e 式中，0 表示没有差错，1 表示有差错。给定模型处于状态 i 的条件下，误 码 ek发生的概率表示为 bi(ek)。以方程形式表示有 (3.15)()pr| ikkt b eesi 在二进制硬判决应用中，用一个两行 n 列的矩阵来表示参数 bi(ek)。其中 n 表示状态数。 因此，差错生成矩阵具有如下形式 (3.16) 112111 212222 in in bbbb b bbbb 式中，b1i表示给定模型处在状态 i 的条件下正确判决的概率，b2i表示给定 模型处在状态 i 的条件下错误判决的概率。b 各列的和必须为 1，对于非二进制 的应用，差错生成矩阵行数会大于 2。 这些参数定义了一个离散时间马尔可夫过程，其转移速率等于通信系统的 符号率。此过程的输出包含两个序列状态序状态序列st和误码序列et ， 这里，是可用一组整数0i2来表示的时间序数。通常情况下，仅可观 察到信道的输入和输出，从而也可观察到误码序列，状态序列本身是不能观察 到的因此从外部来观察，状态序列是“隐的或不可见的，所以马尔可夫模 型又被称为隐马尔可夫模型 阶数为 m（或具有记忆 m）的马尔可夫过程，以时刻他 t+1 所处状态 st+1的 概率来定义如下： (3.17) 11111 pr|,pr|, ttttttt m ss sss ss 即当 m=1（一阶马尔可夫过程）时, (3.18) 111 pr|,pr| ttttt ss sss 在后面的章节我们将采用一阶马尔可夫模型来描述信道模型。如果要建模数据 25 源，可能需要更高阶的模型，如对英文文本字母序列建模，就可能需要二阶或 三阶的马尔可夫模型，因为给定的字母出现的概率可能取决于之前的两个或三 个字母。 在建模信道模拟部分时一般会假定平稳性，一次在离散信道的马尔可夫模 型中常常也假定平稳性。平稳性意味着信道模型的参数，即概率 , t i ,aij(t)和 bi(ek)跟时间无关。我们有 11 11 prprpr|1,2,., nn titttkki kk sisksi skain (3.19) 式中 aki是状态转移矩阵第 i 列的元素 (3.20) 111211 212222 12 in in nnninn aaaa aaaa a aaaa 而 k 是状态概率分布向量的元素 (3.21) 12 . n 其约束条件： (3.22) 1 1 n i i 状态概率 i 可由转移概率 aij唯一确定。因此马尔可夫模型完全由状态转移概率 矩阵 a 和 b 确定，其中矩阵 b 是输入输出符号转移（即差错）概率： (3.23) 111 1 n mmn bb b bb 第三节第三节 两状态模型扩展到两状态模型扩展到 n 状态模型状态模型 假定 t 时刻模型的状态为 k，并假设要对下一个状态和对应的差错向量的分 量 ek进行仿真。第一步是生成两个均匀分布的随机变量 u1和 u2，第一个随机 变量 u1。给定模型处在状态 k，转移概率由状态转移矩阵 a 的第 k 行定义，矩 阵 a 的第 k 行可用向量 ak给出，其中 (3.24) 12,1kkkkik ikn aaaaaa ak的累积概率记作 k，由下式给出 26 (3.25) 1 k kkj j a matlab 的库函数 cumsum 将向量 ak映射到具有元素 k的向量。定义从状态 k 转移到状态 i 的概率为 aki，其值由下式给出： (3.26) 1kiii a 这个概率如图 3.4(a)中的阴影面积所示。 在确定了新的状态之后，下一步是决定在新状态是否有差错发生。为了完 成这项工作，我们将第二个随机变量 u2与阈值 比较，如图 2.8(b)所示。正确 判决的概率是pr u ，而错误判决的概率是 2 pr u，如图 2.8(b)的阴影 区域所示。由于当前状态是 i， 的值由状态观察矩阵 b 第 1 行第 i 列的元素 b1 给出。 12 0 1 i-1i 1 f u1(u ) 1 pr转移到状态i u1 (a) 确定转移概率 1 0 1 1 fu2(u ) 2 u2 pr差错 （b）确定差错概率 图 3.4 马尔可夫模型的仿真步骤 仿真实例 3.3：产生长为 20000 的二进制序列表示信道上的误码，用一个三 状态马尔可夫模型来产生这个差错序列。如果序列中给定元素是二进制“1” ， 则在给定元素对应的位置记录一个信道误码，二进制“0”则表示对应的位置没 有发生差错。 假定三个状态中任意一个都可能发生差错。具体定义如下： 1 pr|0.0010e s 2 pr|0.0500e s 27 3 pr|0.0010e s 对应的差错概率矩阵 0.99900.95000.9900 0.00100.05000.0100 b (即状态 1，2，3 转移正确的概率分别为 0.9990，0.9500，0.9900) (即状态 1，2，3 发生差错的概率分别为 0.0010，0.0500，0.0100) 假设马尔可夫模型的状态转移矩阵为 0.800.100.10 0.200.600.20 0.020.080.90 a 我们假设模型最初处于状态 1。 产生差错序列的 matlab 程序为 c15_errvector.m。要运行 c15_errvector.m，必须输入参数 n，a，b 的数值。默认 n20000，两个程序分 别产生差错向量 out，它给出了 n 个传输序列中的差错位置，另一个是状态序 列向量 state_seq，它给出了状态转移的细节。使用默认的参数执行这两个 matlab 程序： c15_errvector.m 得到如下的结果: default values are: n = 20000 a = 0.8000 0.1000 0.1000 0.2000 0.6000 0.2000 0.0200 0.0800 0.9000 b = 0.9990 0.9500 0.9900 0.0010 0.0500 0.0100 accept default values? enter y for yes or n for no y c15_hmmtest simulation results: the probability of state 1 is 0.2432. the probability of state 2 is 0.1634. 28 the probability of state 3 is 0.5934. the error probability is 0.01445. 通过从矩阵 b 到 a 直接计算状态概率和差错概率，可得上述仿真值的健全 性检查。matlab 程序如下： a100=a100 a100 = 0.2353 0.1765 0.5882 0.2353 0.1765 0.5882 0.2353 0.1765 0.5882 pe=b*a100 pe = 0.9851 0.9851 0.9851 0.0149 0.0149 0.0149 在这里状态概率的理论值 s1，s2和 s3分别是 0.2353，0.1765，0.5882，而差错 概率的理论值是 0.0149。这些结果和仿真值稍有差距，不过当我们把 n 增大： c15_errvector default values are: n = 20000 a = 0.8000 0.1000 0.1000 0.2000 0.6000 0.2000 0.0200 0.0800 0.9000 b = 0.9990 0.9500 0.9900 0.0010 0.0500 0.0100 accept default values? enter y for yes or n for no n enter n, the number of points to be generated 30000 enter a, the state transition matrix a enter b, the error distribution matrx b simulation results: the probability of state 1 is 0.242. the probability of state 2 is 0.17157. the probability of state 3 is 0.58643. the error probability is 0.014867. 29 这说明我们可以通过选择更大的 n 值来减小随机变量的方差。 第四节第四节 示例示例 hmmshmmsgilbertgilbert 模型和模型和 fritchmanfritchman 模型模型 用离散时间有限状态马尔可夫序列来表征离散信道模型在以前是由 gilbert，fritchman 等人提出的2,3。gilbert 模型有两个状态，即一个好状态和一 个坏状态，差错概率为 p。 fritchman 模型在 1967 年被首度提出来3，它很适合建模移动无线信道的 突发差错，而且也较容易从突发差错分布估计出模型参数，所以该模型现在得 到了很大的重视。对于二进制信道，fritchman 模型将状态空间分成 k 个好状态 和 n-k 个坏状态，处于好状态时传输无差错，而坏状态总是会产生传输差错， 因此，矩阵 b 的元素不是 0 就是 1，不需要对它进行估计。一个具有三个好状 态和一个坏状态的 fritchman 模型如图 3.5，其转移矩阵 (3.27) 1114 2224 3334 41424344 00 00 00 aa aa a aa aaaa 在这种情况下，b 具有非常简单点的形式： (3.28) 1110 0001 b 1234 好状态（3） 坏状态（1） a11 a41 a22 a33 a44 a14 a43 a34 a42 a24 图 3.5 具有三个好状态和一个坏状态的 fritchman 模型 fritchman 模型的状态转移矩阵 a 一般可划分为 30 (2.34) gggb bgbb aa a aa 式中，子矩阵代表了不同的好状态和坏状态之间的转移概率。在这个模型中， 根据模型参数解析地推到突发差错分布的表达式是可能的，并可以从经验值 （测量或仿真）的突发差错分布中用这些表达式来估计模型的参数。 令 12 , t oo oo为差错序列，其中 ok=1 表明第 k 个传输比特出现了差 错，而 ok=0 表明第 k 个传输比特的传输无差错。同样的，用0|1表示观察到 1 个差错之后连续出现 m 个或更多个无差错传输的事件，用1|0表示观察到 1 个正确之后连续出现 m 个或更多个传输误码事件。fritchman 模型表明，这两 个事件发生的概率由如下指数项的加权和给出 (3.30) 1 1 pr 0|1 k m ii i f 和 (3.31) 1 1 pr 1|0 k m ii i f 式中,1,2, i ik和,1,2, i ikkn，分别是矩阵 gg a和 bb a 的特征值，fi 的对应值是 aij的函数。从上两式可以求出恰好出现 m 个 0（或 1）的概率为 (3.32) 12 1 pr 0|1pr 0 |11 k mmm iii i f 和 (3.33) 12 1 pr 1|0pr 1 |01 k mmm iii i k f fritchman 模型可以解释为与工具有如下状态转移矩阵的马尔可夫过程相等 效 (3.34) a gggb bgbb a a a 式中 gg 和 bb 都是对角矩阵，由下式给出 (3.35) 1 2 00 00 00 gg k a 和 31 (3.36) 1 2 00 00 00 k k bb n a 在这个等效模型中，在 k 个好状态内部没有状态的转移，而且在 n-k 个坏状态 内部也没有状态转移。因为从一个好状态转移到另一个好状态是不会产生差错 的，在输出中看不出状态转移。因此通过观察差错序列无法辨别出这些状态转 移。 在如图 3.5 所示的单个差错状态模型的情形，fritchman 证明了： (3.37) 1 1 pr(0|1) m n nkkk k kk aa a ，从而可以看出，对单差错状态模型这种情况，无差错游程唯一地确定了 2(n-1)个 模型参数。 虽然 fritchman 模型适用于简单差错分布的离散信道模型，但它可能并不 足以刻画更复杂的突发差错图样，这些图样往往需要模型中有多于一个的差错 状态。此时，我们可以采用迭代方法来得到参数的最大似然估计。 第五节第五节 马尔可夫模型的参数估计马尔可夫模型的参数估计 离散信道的马尔可夫模型用 nn 的状态转移矩阵 a 和 mn 的差错矩阵 b 来描述。通过仿真或测量获取差错序列 12 , tt oo ooo后，用基于 baum-welch 算法4的一个迭代过程来估计参数集,a b 。这个迭代算法被 设计成收敛到,a b 的最大似然估计，该估计器最大化pr|o 。 目标是计算状态转移矩阵 a 的元素的估计值。这些值由下式给出 i j ij a i 从状态转移到状态的期望次数 从状态向外转移的期望次数 估计差错矩阵 b 的元素，由下式给出 k j k je be j 从状态产生出的期望次数 访问状态的期望次数 实现 baumwelch 算法所需的计算过程分以下几个步骤： 第 0 步：由初始的（假想）模型,a b 开始。 第 1 步：以,a b 为模型，对所有的 t=1，2，t 和 32 i=1，2，n 我们首先计算 “前向变量” (3.38) 12 pr,.,| ttt io oo si 以及“后向变量” (3.39) 12 pr,.,|, ttttt ooosi 计算的细节如下： 前向变量 计算前向变量包括以下三步：初始化、归纳和终止 初始化： (3.40) 11 ,1,2,., ii ib oin 归纳： (3.41) 11 1 ( ),11,1 n tti jji i ji abottjn 终止： (3.42) 1 pr| n tt i oii 注意到 (3.43) 1 11pr ,.,|pr| nn ttt ii ioosio ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t 1 2 i n j a1j a2j aij anj bj( )o 状态时间 t状态时间 t+1 t+1 b( )ot+1 j ij ai1 ai2 ai j ain 状态时间 t状态时间 t+1 图 2.10 hmm 的参数估计 后向变量： 计算后向变量包括以下两步：初始化和归纳 初始化： (3.44) 1,1,2,., t iin 33 归纳： (3.45) 11 1 ,11,1 n ttjti j i ij boattjn 这些计算细节如图 2.10 所示。 第 2 步：下一步是根据下式计算 t i: (3.46) pr|,;1,2,., pr| tt tt ii isi oin o 我们观察到，由于变量字可以通过时间序号求和，因此在内存中不用全部保存 这些值。变量, t i j定义为 (3.47) 11 1 ,pr,|, pr| ti jjtt ttt i a boj i jsi sj o o 仔细进行 matlab 程序设计表明，我们不需要保存这个变量在所有的时间序 号的数值。 我们现在根据下式来确定新状态转移概率ij a (3.48) i j ij a i 从到转移的期望次数 从向外转移的期望次数 1 1 1 1 , t t t t t t i j i 接着，按如下定义计算 j k be ： (3.49) 1| 1 tk t t toe k j kt t t j je be j j 从状态产生的期望次数 访问状态的期望次数 另外，我们还可以计算 = （在 t=1 时处于状态 si的期望次数 ） = ai 11 ii (3.50) 第 3 步：使用新值返回第一步，或者等效地采用第二步的 a a a , ,a b ，并重复此过程直到达到要讨论的期望收敛等级。 一、比例缩放一、比例缩放 当数据长度很大时，前向和后向向量以指数衰减趋于0，因此必须进行 适当的缩放，以防数值向下溢出。首先定义该常数如下 (3.51) 1 n tt i ci t j经过缩放后的数值 tj定义为 34 (3.52) t t t j j c 这意味着 (3.53) 1 1 n it i ct的值被保存下来并用于对后向变量进行缩放。 t i经过缩放后数值 t 由 下式得到 (3.54) t t t i i c 其初始值为 (3.55) 1 t t c 上式中 1 表示包含全 1 的向量。如果有必要，珈玛变量也可以进行归一化， 但珈玛变量的缩放并不是必须的。 二、收敛和终止准则二、收敛和终止准则 由于 baum-welch 法是迭代的，必须确定达到要求的模型精度需要进行 的迭代次数，完成这项任务最好的办法，也许是在算法执行过程中显示矩阵 a 和 b 的估计值。如果人们希望矩阵 a 和 b 的每个元素都要精确到小数点 后某一位，则一次一次地对算法进行迭代，直到从一次迭代到另一次迭代， 矩阵 a 和矩阵 b 的元素值在给定的精度范围内不再发生变化，然后，算法最 终被手动终止。这种处理方法具有相当的吸引力，因为精度级是已知的。同 样，也可基于先前的知识，只是简单地迭代给定的次数。 确定收敛的