三角形四心竞赛讲义

三角形四心竞赛讲义 一、“四心”分类讨论 . 2 1、外心 . 2 2、内心 . 3 3、垂心 . 5 4、重心 . 6 5、外心与内心 . 8 6、重心与内心 . 9 7、外心与垂心 . 9 8、外心与重心 . 11 9、垂心与内心 . 11 10、垂心、重心、外心 . 11 旁心 . 12 二、“四心”的联想 . 13 1、由内心、重心性质产生的联想 . 13 2、重心的巧用 . 14 3、三角形“四心”与一组面积公式 . 16 三角形各心间的联系 . 20 与三角形的心有关的几何命题的证明 . 21 三角形的内心、外心、垂心及重心 (以下简称“四心” )是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。 92、 93、 94、 95连续四年的全国 初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。 一、“四心”分类讨论 1、外心 三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。 外心一般用字母 具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即 B= (2) A= A O C 21,21,21。 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。 例 2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心 已知： 别是 证： 交于一点 (图 3 111) 分析 先证 于一点 O，再证 Z上即可 证 因为 别是 C 边的中垂线，所以 相交于一点，设为 O(否则， 那么 80，这是不可能的 )因为 C， A，所以 A，所以 Z上， 所以 交于一点 说明 由于 ， B， 以以 圆必过 A， B， 以称此圆为三角形的外接圆， 例 1、如图 9 C，任意延长 ，再延长 ，使 Q，求证： 与点 A、 P、 分析一、 O，并作 ， ，连接 知 F， F，从而 是 P= Q，从而 O、 A、 P、 分析二、延长 G，使 P，连接 作 E(图略 )。利用 可证得结论。 例 2、如图 9 N=C，点 内心，求证： A+ B。 图 9X Z 3接 已知易证 而N， M，即 N= 时有 而 021 A， 021 B， 故 8021( A+ B)，即 8021( A+ B)， 则 180 21( A+ B) = 21( A+ B)。 故 A+ B。 例 3、 的直径，其弦 ，过 E、 ，求证： 分析、延长 ，使 E，连 线 (图 9 因 90 1)+(90+ 2)= 由 E= K= K= 80，从而 E、 Q、 F、 K 四点共圆。由 F=P 为 然 E=是 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 0。由此知 2、内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。 内心一般用字母 具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 (2) A 的平分线和 外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、 C、内心 I 等距 (即 D 为 。 (3) 0+21 A， 0+21 B， 0+21 C。 例 1 证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心 已知： ， 别是 A， B， C 的平分线，求证： 图 3 110) 证 因为 A， 以 此点为 I(不然的话， 平行，则 80，这是不可能的 )，所以 I 与 等距， I 与 等距，所以 I 与 等距，所以 以 图 9X 证明 几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点 由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心 例 1、如图 9示，在 ， C，有一个圆内切于 与 、 Q，求证：线段 是内心。 分析、设小圆圆心为 1O ， 1O 与 外接圆切于 D，连 A 1O ，显然 A 1O 等腰三角形，所以 A 1O 过 外接圆， 1O 的延长线上，从而 平分线的点，下面只需证 此，连接 对称性易知， Q P、 B、 D、 O 四点 共圆得 1 以 1 是 说明：本题还可证明 O 到 三边距离相等，得到 O 为 例 2、如图 9证： 与A、 B、 分析、如图，连接 而 理 A+ 80，故 A=180，于是 O、 B、 A、 例 3、在圆内接四边形 ，顺次取 , 证：四边形4321 分析、顺次连接 2211 , 图 9则： 90+21 0+21 而 A、 B、 80 80- 理有： 80 6021(图 9 270，故 0。同理有 0， 0。因此四边形矩形。 3 B 于 D，交 求证： B+ 3、垂心 三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的 垂心。 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 (2)若 、 E、 F，则 A、 F、 H、 E； B、 D、H、 F； C、 E、 H、 D； B、 C、 E、 F； C、 A、 F、 D； A、 B、 D、 (3) ， ， 。 (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2倍。 例 4 证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心 已知：如 图 3 114， 边上的高线分别是 X， Y， 证： 分析 要证 交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形 A BC，使 A B C的三边上的垂直平分线，则 Y， 证 分别过 A， B， C 作对边的平行线，则得到 A B C (图 3 114)由于四边形 A边形 边形 为平行四边形，所以 =B由于 ，且 B C，所以 B C于 A，那么 C之垂直平分线同理， C， A B的垂直平分线，所以 (例 2) 例 1、设 H 是等腰三角形 垂心。在底边 持不变的情况下，让顶点 A 至底边 距离变小，问这时乘积S 的值变大？变小？还是不变？证明你的结论。 分析、构造以垂心为顶点的菱形 9 并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径。 B C 1 4，使 D，连 证四边形 3= 1。 因 A、 B、 D、 1= 2，从而 2= 3， A、 B、 G、 D D G，故 241而S =21 12161 值 )。 例 2、设 H 为锐角 三条高 交点，若 BC=a， AC=b， AB=c，则H H ) (A)21(ab+bc+ (B)21 )(222 ； (C)32(ab+bc+ (D)32 )(222 。 分析、因 心，故 H、 D、 C、 而 C C 1 )(222 。同理 1 )(222 ， 1 )(222 。故 H H 1 )(222 。 例 3、求证：锐角三角形的垂心 分析、由性质不难得到证明。由本例结论，可得到下述命题的简捷证明：已知 高， 证：。 例 4、如图 9知 D、 ， 证： 分析、过 P、 接 0。故 P、 B、 Q 三点共线。因 H 是 垂心，故 D、 C、 E、 H 四点共圆， C。而 Q， C= P，故 P= Q， Q。因此 说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质：若 H 是 垂心，则 4设 D， B， 的中点，如果 S ，那么 S 4、重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心。 重心一般用字母 G 表示，它有如下的 (1)顶点与重心 (2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边 中点的距离的 2倍。 (3)C G 31。 例 3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心重心到顶点与到对边中点的距离之比为 2 1 已知： ， 别是 上的中线，求证： ，并且 1(图 3 112) 证 设 于一点 G，作 点 D， E由于 X， Y 分别是以 等且等于 以，四边形 以 A=E= 所以 1， 1 同理，若 ，必有 G Y=2 1， G C G Z =2 1， 所以 G与 以三角形三条中线相交于一点 明 为什么称 G 点为 重心呢？这可以从力学得到解释设一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于 A， B， C 三点，如果把 B， C 两点的重量集中于 中点 X 时，那么 三顶点 A， B， ，则 ，因此在的重心支撑点必在 1处的 样一来，如果在 么保持平衡，所以 G 点为三角形的重心 (图 3 113) 例 1、已知 中心，过 A、 ， ，求证：2 。 分析、构造以重心 G 为顶点的平行四边形 巧用 A、 D、 F、 长 ，使 G，边 9 因 而F。又 1= 2= 3= D，故 A、 D、 F、 而 C 是。 2 例 2、设 G 是等腰 边上的高、 腰 的中线 交点。若 8， 5，则这个等腰三角形的面积为多少？ 3211 2等腰三角形“三线合一“性质知， 而 1，20。在 ， 22 =8。因此 1。 44。 例 3、平 行四边形 面积是 60， E、 B、 别与 、 H，则四边形 面积是 _。 解：连接 ，分别延长 ，则点 重心。 10213131 行四边形。 又 得 而 E 4。 于是 3415151 行四边形。 7310 A E C E 边形。 例 7如图 3 118设 各顶点及 (其中 A， B， C， G为垂足 )求证： +=3 分析 由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线 定理来证明 证 设 ， ，则由已知条件可知， 梯形 C 是梯形 G 以 又 +=2所以 )(21,)(21 所以 4， 2)(21)(21 ， 所以 3 说明 当本题中 垂直于 l，但仍保持互相平行时，本题结论是否还成立？试作出你的猜想，并加以证明 5、外心与内心 例 1、已知 ， O 为外心， I 为内心，且 C=2证： 9 分析、因 ，。又因 C=2 9 C M N G A D=2 I(内心性质 )，故 而 2如图 3 119在 ， 证： (1) (2) 6、重心与内心 例 1、如图 9知 与内心 I 证： 分析一、 (利用内角平分线定理 )连接 延长分别交 、E，连接 因 2 在 ，有 2 理 C=2(E)=2毕。 分析二、 (利用面积公式 )，连接 D，作 E， H，则 内切圆 I 的 半 径 ， 设 IE=r 。因 故31 r 。因B C )(21321,)(2121 故，即 2B+毕。 7、外心与垂心 例 1、如图 9 0，求证： O。 分析、结合外心，构造以垂心 H 为顶点的平行四边行 解决问题的关键。 因 故 而 理 于是 平行四边形， E。又 0，从而 30。所以1A，故 E= 例 2、证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的 2倍。 图 9知 两高线，其交点为 H， 别为 于 O。须证： 分析一、 (中线定理 )取 、 G，连接 9则1接 1 G。因 而 理 是 H=21H=21即 分析二、 (中线定理 )连接 ，连接 (图略 )，则 1理1 C)。故 理 M。从而 是 F=21 分析三、 (利用相似 )，连接 同分析一 )，则 1 D、 C)， 2 是 0M， 0N。 例 6 如图 3 116已知 H 是 垂心， O 是外心， L求证： 分析 1：要证 ，由 的中位线 转而证明 于 以 此，只需证明 由已知，这是显然的 证法 1 作 ，取 ，连结 有 所以四边形 平行四边形，所以 。又 所以 分析 2 因为 可作其外接圆，为了证明 证 a，而 a=2 此，需添加一些辅助线，见证明 2(图 3117) 证法 2 连接 延长 交 O 于 D，连结 以理， 以四边形 以 D，所以 图 93- 11 6心与重心 例 1、如图 9示，已知 ， 斜边 的高， C 中点， 。求证： 分析、因 连接 径 )后，易知 B、 A、 接 ，显然 又 而 又 2而，于是 5在 A=60， 证： 9、垂心与内心 例 1、如图 9示，已知 O 为正三角形 高 交点， P 是 在平面上的任一点，作 ， ， 。试证： 分析、题设中有正三角形和垂直的条件，由 、L、 O、 N、四点共圆。同理 P、 L、 N、 M 四点共圆，因此 P、 L、 O、 N、 证 L+以联想到“如果 T 上一点，那么 S+一基本问题，只须证 只需证 0。 事实上 垂心，又是 求出 0，再由共圆的条件得到 0， 0。故 0。 10、垂心、重心、外心 例题、证明： 垂心 H、重心 在同一条直线上。 分析一、 (从三角形重心的唯一性入手 )主证 重合。 连接中位线 9 H、 垂直于 而 E： ： 2。 连接 。因 。 因此， ： =： 2。这说明 G 点即为 。从而 H、 G、 图 9(从三点边线组成平角入手 )。如图 9示，因 G 为重心， 中线，故 E 上，连接 ： 2。又 ： 2(同分析一所证 )， 1= 2。 80 H、 G、 分析三、为避免添辅助线的困难，这命题还可采用解析法证明，只要选取适当的坐标系，分别求出 G、 H、 依三点共线的条件进行推证。 如图 9示，选取直角坐标系，设 A(a， 0)， B(b， 0)， C(0，C)，且 、 E、 B、 E )2,2(),2( ，于是 直线方程 x=0。 线方程： y=)( b，从而 点坐标为 H(0)。又 方程：2 ， 方程： )21(22 ，从而 c ,22。由重心公式得 G 3,3 由 H、 G、 O 坐标得斜率：G )(33)(3 2 ， O)(33232 22 。 ，又知它们都通过 而 H、 G、 旁心 例 5 证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心 已知： 别是 外角 平分线， 平分线 (图 3 115)，求证： 分析 先证明 交于一点 M，然后证明 以下请读者写出证明，并思考，为什么把点 个三角形有几个旁心？ 图 9D 四心”的联想 1、由内心、重心性质产生的联想 内心性质：在 ， 。 重心性质：在 ， 2 联想：若 的任意一点，是否有通用的类似性质？ 性质：设 任意一点 (称 内点 )， ，令 ,，则。 ( ) 证明：如图 9示，作 1 1A ， 1 1P ，并设 S。 则 112111 ，从而，即。 ( )式中，当 21,21,21(r 为内切圆半径 )，于是；当 P 为重心时，于是 2 ( )式是三角形内心。重心性质的推广，我们不妨称之为三角形内点性质。利用它，许多数学竞赛题都可求解。 例 1、已知 1,1,1 图 9求证： 。 证明：由 ( )式知 1，于是O 1，则S 1。 同理S 1,1。因此 2111 而 33323111111 827111 图 9 即29111 注意到 B=，从而 例 2、设 O 任意一点， 别交对边于 111111 。求证： W 12。 证明： (同图 9 ( )式及基本不等式，得 8222111 再由平均值不等式得 3 1111113 2831113 3 232 即 W 12，当且仅当 2、重心的巧用 重心，在物理学中指质点的重心，所谓“他山之石可以攻玉”，这一概念在解决数学问题，尤其是比值问题上，也大有“用武之地”。关于质点重心，我们结合图形给出几个真命题 (证明过程略去 )。 命题 1：设质点 2,1质量分别为 21,它们的重心为 G，则 ,1连线上，21 ，且 满足 121:1 (这里的质量 )。 命题 2：在如图 9示的 E 为质点 B、 、 C 的重心， 交于 G，则 G 必为三个质点 A、 B、 连接 长交 ，则 、 命题 3：如果平面上有 n 个质点 ),2,1)(,( ，它们的质量为 ),2,1( ，则这些质点的重心 。 这几个命题 看似简单，但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的思路。 图 92、三只苍蝇沿 由这三只苍蝇构成的三角形的与 证：如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合。 分析、如图 9一只苍蝇在顶点 A，那么由三只苍蝇构成的三角形重心在 中 ： 3(P 为三角形的重心 )，因其中有一只苍蝇到过所有的顶点，则苍蝇三角形的重心应在这三个三角形 些三角形有唯一一个公共点 P，且为三角形重心。命题得证。 例 2、如图 9示，已知 其内任一点 P，直线 别与对边交于 明：在比值33,22,11 。 分析、在 放置质量分别为321 , 得 1， 2、 1、 1、 们的质量分别为213132 , 。 321231132 33,22,11 m Pm Pm P 。 不妨设 2,2,132321321 m 。 即 211,233 P，证毕。 例 3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比 x y z，设 x y z，求 x y z (图 9 分析、放置适当质点，使得 F 为 A、 C 的重心， D 为 B、 C 重心，则G 为 A、 B、 C 三点的重心，此时有： 1而CA ；12而 2 不妨设 2,2,1 ， 122 从而 x=y+z。 图 9 F 为 A、 C 的重心， E 为 B、 C 的重心，则 H 为 A、 B、 C 三点的重心，此时有 1而CA BC ,21 从而。不妨设4,1,2 。 ,414 从而。 由、可得 x y z=5 3 2。 例 4、如图 9 、 C、 m 1， EA=n 1， ， 问S 是的几倍？ 分析：连接 延长交 G。则。在 A、 B、 C 上放置适当质点，使 、 B、 时有： ;, 即，即 。 不妨设 1,1 ,1 ，即A F 1。 以上几例，以质量为过渡，利用重心的性质，使问题得以简化，并巧妙地加以解决。 3、三角形“四心”与一组面积公式 有这样一道竞赛题： 锐角三角形，过 A、 B、 C 分别作此三角形外接圆三条直径 , ，求证： 。 该题中，三直径之交点即为 外心，若就外心这一条件进行一些联想和变化，经探索可得一系列与面积有关的结果。我们归纳如下 (证明略去 )。 定理：设 , ，那么 (1)若 对锐角三角形，有 。 对非锐角三角形 (不妨设 A 90，下同 )，有 C 。 (2)若 对锐角三角形，有式成立，对非锐角三角形，有式成立。 (3)若 有 。 图 9D (4)若 有式成立，当且仅当 据以上定理，可得以下若干推论： 推论 1、已知 , 是 BC=a，CA=b ， AB=c ， = 212121 , ，则有 212121 。若 121212 , ，则又可得 111111 ，它等于三角恒等 推论 2、设 ， 边 、 E、 F，交 , ，则 1(若将“重心”改为