第十二非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答.pdf

第十二届非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答 (1995) 试 题 说明:第一批录取院校的考生全部题必做(满分为120分 ). 第二批录取院校的考生第12题、 第18题不做,不要求做的题做了也不计入 总分(满分为100分 ). 一、 填空题(共58分) 11 (4 分)半径为R的车轮在水平直线轨 道上以恒定的角速度 作纯滚动,轮缘上任 何一点均作曲线运动,运动过程中该点加速 度绝对值的最大者与最小者之间的差值为 . 21 (6 分)图中匀质飞轮A、B分别以角速 度 A、 B(AB)绕共同的中央水平光滑无 动力细轴旋转,今使其相互靠近并接触,通过 面间摩擦最后以相同角速度绕轴旋转,则系 统机械能、 动量、 角动量三者在过程中不守恒 的为.现设A、B为相同材料制成的 等厚匀质刚性圆盘,半径分别为RA、RB,则最 后的共同角速度为. 31 (4 分)如果理想气体的温度保持不变, 当压强降为原值的一半时,分子的碰撞频率 成为原值的,分子的平均自由程成 为原值的. 41 (3 分)真空中边长为2a的立方体形导 体带有电量Q,静电平衡时全空间的电场总 能量记为W1;真空中半径为a的球形导体带 有电量Q,静电平衡时全空间的电场总能量 记 为W2.则W1、W2间 的 大 小 关 系 为 W1W2(填、=、 ). 111 (4 分)用分光计测棱镜材料的折射率 公式为 n= sin A+ 2 sin A 2 已测得A= 600 2,黄光(汞灯光源)所对 应的 = 5058 3,则黄光所对应的折射率 nn= 121 (6 分)在惯性系S中有一个静止的等 边三角形薄片 P. 现令P相对S以V作匀速 运动,且V在P所确定的平面上.若因相对 论效应而使在S中测量P恰为一等腰直角 三 角 形 薄 片,则 可 判 定V的 方 向 是 ,V的大小 为. 二、 论证题(共14分) 131 (6 分)某气体系统在PV坐标面上 的一条循环过程线如下页左上角图所示,试 911工科物理 物理竞赛汇编 证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量 不能为恒量. 141 (8 分)一维谐振子沿x轴作振幅为A 的简谐振动.求证:在振动区间内任一x处 振子出现的概率线密度(即x处附近无限小 区间内单位距离上振子出现的概率)p(x ) = 1 A 2- x 2 三、 求解题(共48分) 151 (14 分)如图为一种用双 “单电桥(惠 斯通电桥)” 测低电阻的线路.其中Rm、Rn为 电阻箱 (0 1199999198、0. 1级 ), R0为标准 电阻 (0 1001, 0101级 ), Rx为待测低电阻(铜 棒或铁棒,约为10- 310- 28 ), G 为检流计 (检流计引起的误差忽略 ),A 为直流安培计 (0 5A), R 为大电流滑线变阻器 , K 为单刀 双向电键,E为直流稳压电源.图中A、B、C、 D和A、B、C、D)分别为电阻R0、Rx的电 压端钮与电流端钮,Rf为BC间联线电阻 (接触电阻、 导线电阻之和 ). (1)试设计测量低电阻Rx的实验步骤. (2)导出测量Rx和Rf的计算公式. (3)求出 Rx?Rx的表达式. 161 (10 分 ) 10 根电阻同为R的电阻丝连 接成如图所示的网络,试求A、B两点间的等 效电阻RAB. 171 (10 分)两根长均为l质量均为m的 匀质细杆固接成的对称T字形尺如右图所 示.过T字形尺上任意一点作垂直于T字形 尺所在平面的转轴 , T 字形尺相对该转轴便 有一转动惯量,试求这些转动惯量中的最大 值Imax. 再设Imax对应的转轴为固定的水平光滑 轴 , T 字形尺绕该轴的竖直平面上的平衡位 置附近作无摩擦的小角度摆动,试求摆动周 期T. 181 (14 分)球形电容器的两个极为两个同心 金属球壳,极间充满均匀各向同性的线性介 质,其相对介电常量为 r.当电极带电后,其 极上电荷量将因介质漏电而逐渐减少.设介 质的电阻率为 ,t= 0时,内、 外电极上电量 分别为Q0,求电极上电量随时间减少的规 律Q(t)以及两极间与球心相距为r的任一 点处的传导电流密度j(r,t ). 021工科物理 物理竞赛汇编 答案及参考解法 一、 填空题(共58分) 11 (4 分) 0 简要说明:据题设条件可知,车轮中心以 速率V0=R作匀速直线运动,即a0= 0.相 对于随轮心平动的参考系,轮缘上任一点作 匀速率圆周运动,其向心加速度an=a= 2R. 由相对运动a=a0+a=a 可知,轮缘上 各点加速度的绝对值相等,故差值为零. 21 (6 分)机械能;(AR 4 A+BR 4 B)?(R 4 A+ R 4 B) 简要说明:因二匀质飞轮共轴,且转轴过 中心,则在二者接触过程中只有轮间摩擦力 出现,此力属系统内力,不改变系统动量及角 动量,但消耗机械能,故机械能不守恒. 由角动量守恒,有JAA+JBB = ( JA+ JB),而匀质圆轮转动惯量J= 1 2m R 2=1 2 (hR 2)R2, 代入已知条件可解得上述结果. 31 (4 分)一半;二倍 简要说明:因碰撞频率z=2d 2vn 和平均自由程 = 1 2d 2n, 式中分子有效 直径d为常量,平均速率vT,分子数密 度n= P kT ;故当T不变,P减为原值一半时, z成为原值的一半,而 为原值的两倍. 41 (3 分)W1W2 简要说明:带电导体的静电场能量可由 We= 1 2QU 计算,其中Q、U为导体电荷及电 势,Q相同时,只需比较U的高低.利用导体 为等势体,选择其几何对称中心O计算电 势.由点电荷电势叠加,有U0= Q dq 4 0r. 因 导体电荷分布在表面,对导体球,上式中r a,U20= Q 4 0a; 对边长为2a的立方体,处处有 ra,而总量等于Q的电荷不可能只分布在 立方体与球相切的四个切点上,故必有U10 U20,即W1W2. 51 (7 分 )2 IB R; 2IB Rsin 简要说明:因磁场均匀,此导线受力相当 于沿直径ab的载流直导线受力.用矢量d表 示从a到b沿直径的线段,安培力F=Idl B.当此导线在S2面上,分别处于dMN和 dMN二位置时,d与B间夹角为 ?2和 , 相应的安培力大小分别为最大和最小,其值 如上答案. 61 (4 分) (a) 简要说明:本题导体棒运动中受力只可 能是安培力,欲使终态时导体棒匀速运动,则 要求安培力为零,即终态回路电流为零.只要 导体棒在磁场中运动,其上必有动生电动势 E i,对图(b)电路,Ei为唯一电动势,相应回 路中必有电流存在,故不可能;对图(c)情况, 由Ei = ( VB)l可判断,回路中Ei与E0是 同向串接,其中电流也不可能为零;只有在图 (a)情况,若能使电容器充电到电压等于Ei, 则回路中无电流,导体棒将匀速运动. 71 (7 分) 40 ; 01095 简要说明:由交流电流有效值小于直流 电流可知,前者阻抗大于后者,进而判断R 和L是串接.直流时,L上感抗为零,故电阻 R= U I = 408;交流时,总阻抗Z= U0 I0 = 508, 而Z 2= R 2 + ( L) 2, 代入 = 2f= 100 及R 值可求得L= 0. 095H 81 (5 分) 简要说明:二列行波叠加形成驻波时,它 们在各波腹处引起的分振动必同相,而在波 节处的必反相,据此可绘出另一列行波相应 时刻的波形分别如下页左上角图. 91 (5 分) 简要说明:由波带法并考虑到移相膜,可 121工科物理 物理竞赛汇编 同脚注 本小题原印发答案有误,阅卷时已更正. 判断衍射强度的极大、 极小位置.= 0时,通 过单缝各点的光的几何程差为零,但移相膜 使透过上下两半缝的光有附加相差 ,它们 干涉相消,强度为零.当asin=时,可将 透过单缝的光分为二个波带,其几何程差为 ?2,而移相膜附加程差 ? 2,故产生相长干 涉,强度最大.当asin=2k(k= 1, 2, 3, )时,透过上下二半单缝的光各自可分为 偶数个波带,它们自身的相邻二波带间程差 为 ?2,产生相消干涉,移相膜不起作用,故 强度为零,类此可分析,当asin= (2 k + 1) (k= 1, 2, 3,)时,透过二半缝的光之 间产生相长干涉,也有强度极大,但其值远小 于sin= ?a处的值.本题答案如上图. 101 (3 分) I1mI2m 简要说明:饱和电流Im对应于发射的光 电子全部到达阳极,且Im=ne,其中n为单位 时间发射的光电子数.而激光功率P=nh, 故Im P P.此两束激光P相同,而 1 2,故I1mI2m 111 (4 分 )1 164790. 0007 简要说明:将测得的A、 值代入公式计 算得n= 1. 6479,由不确定度公式,有 n= 9n 9A 2 2A+ 9n 9 2 2 1?2 经运算化简后为 n= sin?2 2sin2A?2 2 2A+ cos A+ 2 2sinA?2 2 2 1?2 代入数据后求得 n= 0. 0007.故nn如答 案. 121 (6 分)沿原等边三角形的任意一条高 的方向; 2 3 c 简要说明:根据相对论中沿运动方向长 度收缩以及运动时测量的结果相对于该直角 三角形的斜边的高对称,且斜边所对内角较 静止时增大,可以判断运动方向应沿斜边的 高的方向,亦即静止等边三角形的一条高的 方向. 设静止等边三角形边长为a,其高为 3 2 a;运动时三角形的斜边与运动方向垂 直,其长度仍为原长a,相应等腰直角三角形 的高应为a?2,此为收缩后的高.根据长度收 缩公式,有 a 2 =1 -v 2? c2 3 2 a, 由此解出运动速率v= 2 3 c. 二、 论证题(共14分) 131 (6 分) 证:采用反证法.设其摩尔热容量是恒量 C1,则循环过程中系统所吸热量为 Q= C1dT=C1dT= 0 经 此 循 环,系 统 恢 复 原 态,其 内 能 增 量 U= 0,而系统对外作功W不为零(绝对值 为P-V图中曲线面积 ), 此与热力学第一定 律Q=U+W矛盾,故所设不正确,即循环 过程中系统的摩尔热容不可能为恒量,命题 221工科物理 物理竞赛汇编 得证. 141 (8 分) 证:因振子在xx+ dx区间出现的概 率正比于振子在上述区间的时间间隔dt与 振动周期T的比值,设比例常量为C,则有 pdx=C dt T 代入dt= dx v ,化为p= C vT 由谐振动方程,x=Acos(t+ ), 求得 v=A sin ( t+)=A 2 -x 2 代入式,得概率密度 p= C TA 2 -x 2 = C 2A 2 -x 2 由归一化条件,有 A -A C 2A 2- x 2dx= 1 解方程得C= 2,代回式可得 p= 1 A 2 -x 2. 命题得证. 三、 求解题(共48分) 151 (14 分) 解 : (1) 把开关K倒向 P, 调节Rm、Rn,使 电流计G的指针无偏转,显示电桥平衡.记 录所调电阻阻值Rm1、Rn1,由电桥平衡原理, 有 Rx Rf+R0 = Rm1 Rn1 把开关K倒向 Q , 调节Rm、Rn,使G的 指示再次显示电桥平衡,记录相应的电阻值 Rm2、Rn2,则有 R0 Rx+Rf = Rn2 Rm2 其他细节步骤从略. (2)改写式为 Rx Rx+Rf+R0 = Rm1 Rm1+Rn1 改写式为 R0 Rx+Rf+R0 = Rn2 Rm2+Rn2, 联立以上两式解出 Rx= Rm1 Rm1+Rn1 Rm2+Rn2 Rn2 R0 Rf= Rn1Rm2-Rm1Rn2 Rn2(Rm1+Rn1) R0 (3)由相对误差计算公式,先对式两端 取对数求微分,得 dRx Rx = dRm1 Rm1 - dRm1+ dRn1 Rm1+Rn1 + dRm2+ dRn2 Rm2+Rn2 - dRn2 Rn2 + dR0 R0 经运算整理后,上式化为 dRx Rx = Rn1 Rm1+Rn1 dRm1 Rm1 - Rn1 Rm1+Rn1 dRn1 Rn1 + Rm2 Rm2+Rn2 dRm2 Rm2 - Rm2 Rm2+Rn2 dRn2 Rn2 + dR0 R0 再将式中的微分符号换为误差符号, 取各项平方和开方,并代入 Rm1 Rm1 = Rm2 Rm2 = Rn1 Rn1 = Rn2 Rn2 = R R , 最后求得Rx的相对误差为 Rx Rx = 2 ( Rn1 Rm1+Rn1) 2 +( Rm2 Rm2+Rn2) 2 (R R ) 2 +(R 0 R0 ) 2 1?2 161 (10 分) 解:由对称性可判断: AC与EB上, A F与DB上电流应分别相同.设总电流为 I,流过AC、CD上电流分别为I1、I2,则由节 点电流关系可得各电阻上电流如图所示.同 理,由对称性可判断, CD与FE上电流亦应 相同,即有 321工科物理 物理竞赛汇编 本题可有多种电工学解法,本文从大学物理的基 本概念出发求解 I-I2=I2 又因AC(或EB)间电压为一定值,有 I12R=(I-I1)R+(I2-I1)R 由、 两式解出 I2= I 2 ; I1= 3 8 I AB间等效电阻 RAB= UAB I = 1 I I12R+I2R+(I-I1)R, 代入上述I1、I2值,求得 RAB= 15 8 R 171 (10 分) 解:因质量均匀分布在等长的T字形尺 上,故当轴位于尺的竖杆最远端(即题图中的 最下端)且与尺所在平面垂直时,转动惯量最 大,其值为 Jm= 1 3m l 2 + 1 12m l 2 +m l2 = 17 12m l 2 当尺绕上述位置的水平光滑轴O摆动 时,质心C距轴O的距离为rc= 3 4 l. T字形 尺在重力矩作用下摆动,由转动定律,有 -2m g rcsin=Jm d2 dt2 小幅度摆动时, sin ,代入rc、Jm得 d2 dt2 = - 18 17 g l 此 为 简 谐 振 动 微 分 方 程,角 频 率 = 18 17g? l,故摆动周期 T= 2 = 2 17l 18g