北邮随机信号分析与处理第章习题解答.pdf

ftpftp服务器地址服务器地址 1 ftpftp: :/1010. .108108. .142142. .5757 用户名和密码均为：用户名和密码均为：sjxhfxsjxhfx 包括每次课的包括每次课的课件课件和和部分习题解答部分习题解答 2.142.14 2 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 的自相关矩阵如下，试确定矩阵中用的自相关矩阵如下，试确定矩阵中用 表示的元素。表示的元素。 ( )Y t 解：解： 21.30.4 21.20.8 0.4 1.21.1 0.92 Y R 由自相关函数的性质由自相关函数的性质 1221 ( , )( , ) YY R t tR t t 21.30.4 21.20.8 0.41.2 0.9 1.3 0.81.1 1.1 0.92 Y R 由 广 义 平 稳 的 性 质由 广 义 平 稳 的 性 质 为常数为常数 2 (0)( ) Y RE Yt 1.321.20.8 2 2 Y R 2.152.15 3 根据掷骰子试验，定义随机过程为根据掷骰子试验，定义随机过程为 ( )cos(1,2,3,4,5,6) 3 K X ttK (1)(1)求求 、 的概率密度；的概率密度； (1)X(2)X(2) (2) 是否为平稳随机过程？是否为平稳随机过程？ ( )X t 解：解： 1/2,1,5 1/2,2,4 (1)cos 1,33 1,6 K K K X K K 1111 ( ,1)()() 3232 11 (1)(1) 66 f xxx xx 1/2,1,2,4,5 2 (2)cos 1,3,63 K K X K 211 ( ,2)()(1) 323 f xxx 不满足严格平稳。不满足严格平稳。 思考：是否满足广义平稳？思考：是否满足广义平稳？ 2.172.17 4 随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生：随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生： 123 ( , )1,( ,)sin ,( ,)cosX t eX t etX t et (1)(1)计算均值计算均值 和自相关函数和自相关函数 ； (2)(2)该过程是否为平稳随机过程？该过程是否为平稳随机过程？ ( ) X mt 12 ( , ) X Rt t 解：解： 123 111 ( )( , )( ,)( ,) 333 X mtX t eX t eX t e 1 (1 sincos ) 3 tt 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 1212 1 (1 1 sin sincos cos ) 3 tttt 12 1 1 cos() 3 tt 不满足广义平稳。不满足广义平稳。 设随机过程设随机过程 ，其中，其中 是具有瑞利分布的是具有瑞利分布的 随机变量，其概率密度为随机变量，其概率密度为 2.182.18 5 ( )cos()X tAtA 2 22 exp(0) ( )2 0(0) A aa a fa a 是在是在 中均匀分布的随机变量，且与中均匀分布的随机变量，且与 统计独立，统计独立， 为常量。试问为常量。试问 是否为平稳随机过程？是否为平稳随机过程？ 0,2 A ( )X t 解：解： ( ) ( ) cos() X m tE X tE At( )cos()E A Et 2 0 1 ( )cos() 2 E Atd ( ) 00E A 121212 ( , ) ( ) ( ) cos()cos() X R t tE X t X tE AtAt 22 1212 11 cos(2 )cos() 22 E AEttE AEtt 22 12 11 0 cos () 22 E AE Att 2 12 1 cos () 2 E Att 2.192.19 设设 为一平稳随机过程为一平稳随机过程，若对应于某一个若对应于某一个 ， 的的 自相关函数自相关函数 满足满足 ，证明证明 必为以必为以 为周期的周期函数为周期的周期函数。 ( )X t0T ( )X t ( ) X R( )(0) XX RTR( ) X R T 证明：证明： 两个随机变量两个随机变量 和和 的相关系数为的相关系数为 ()X tT( )X t ()( ) 22 22 ()( )() ( ) () ( ) ( )(0) 1 X t T X t XXXX XX E X tT X tE X tT E X t r D X tT D X t RTmRm 由相关系数的性质得由相关系数的性质得，存在常数存在常数 和和 ，使得使得 ab ()( )X tTaX tb 6 2.192.19 对上式两边取均值对上式两边取均值，得得 XX mamb 对上式两边取方差对上式两边取方差，得得 222 XX a 得得 1 0 a b 即即 ()( )X tTX t ()()( ) ()( ) ( ) X X RTE X tT X t E X tX t R 7 2.202.20 8 若两个随机过程若两个随机过程 、 均不是平稳随机过程，且均不是平稳随机过程，且 ， 。式中随机过程。式中随机过程 、 是是 相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数。证相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数。证 明：明： 是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。 ( )X t( )Y t ( )( )cosX tA tt( )( )sinY tB tt( )A t( )B t ( )( )( )Z tX tY t 证明：证明： ( ) ( )( ) ( )cos( )sin Z m tE X tY tE A ttB tt ( ) cos ( ) sinE A ttE B tt0cos0 sin0tt 12 ( ) ( ) ( ) Z R tE Z t Z t 11112222 ( )cos( )sin ( )cos( )sin E A ttB ttA ttB tt 12121212 12121212 ( ) ( )cos cos ( ) ( )cos sin ( ) ( )sin cos ( ) ( )sin sin E A t A tttE A t B ttt E B t A tttE B t B ttt 12121212 ( , )cos cos( , )sin sin AB R t tttR t ttt 1212 ( )cos cos( )sin sinRttRtt 12 ( )cos()( )cos( )RttR 1/ 0 (1)d 2.222.22 9 已知平稳随机过程的相关函数已知平稳随机过程的相关函数 和和 ， 。试求其相关时间。试求其相关时间 。 2 ( ) X Re 2 ( )(1) X R 1/ 0 解：解： ( (1 1) ) 2 lim( ) XX mR 2 lim0e 因此有因此有 2 2 ( ) ( ) XX X X Rm r 22 (0) XXX Rm 2 e 0 0 ( ) X rrd 0 ed 1 ( (2 2) ) 2 lim( ) XX mR 0 因此有因此有 2 2 ( ) ( ) XX X X Rm r 22 (0) XXX Rm 2 1,(1/) 0 0 ( ) X rrd 1 2 2.272.27 证明严格循环平稳的定理证明严格循环平稳的定理1 1： 设设 是是严格循环平稳严格循环平稳的，而随机变量的，而随机变量 在区间在区间 上均匀分布，且上均匀分布，且 与与 统计独立，定义新的随机过程统计独立，定义新的随机过程 则则 是是严格平稳严格平稳随机过程，其随机过程，其 维分布函数为维分布函数为 ( )()X tX t ( )X t( , )T0 ( )X t ( )X tN ( , ,) ( ,) NNX T XNN Fxxtt Fxxttd T 11 11 0 1 10 因此有因此有 2.272.27 1111 | ( ,; ,|)( ),()| NNNN X FxxttP X txX tx 1111 | ( ,; ,)( ,; ,|)( ) NNNN XX FxxttFxxttfd 证明：证明： 1111 0 1 ( ,;,)( ,;,) T NNXNN X FxxtctcFxxtctcd T 11 1 ( ,;,) c T c XNN c Fxxttd T 令 11 11 (),() NN P X txX tx 11 ( ,;,) XNN Fxxtt 11 0 1 ( ,;,) T XNN Fxxttd T 1111 0 1 ( ,;,)( ,; ,) X FT T XNNNN X FxxttdFxxtt T ()是 的周期为 的函数 2.282.28 设设 是是广义循环平稳广义循环平稳的，而随机变量的，而随机变量 在区间在区间 上上 均匀分布，且均匀分布，且 与与 统计独立，定义新的随机过程统计独立，定义新的随机过程 ( )()X tX t 则则 是是广义平稳广义平稳随机过程，且随机过程，且 ( )( ) 0 1 T X E X tmt dt T ( )(, ) 0 1 T XX RRtt dt T ( )X t( , )T0 ( )X t ( )X t 证明广义循环平稳的定理证明广义循环平稳的定理2 2： 12 2.282.28 证明：证明： ( )( ) X mtE X t 13 ( )| X EEX t ()| X EEX t ()| X E mt 0 1 () T X mtd T 1 ( ) t t X t