中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第31课时圆的基本性质.docx

第5章 图形的性质【精学】考点一、圆的概念及相关定义 1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）4、直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。5、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。6、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点二、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点三、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点四、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点五、圆周角定理及其推论 1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、圆内接四边形在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形（1）.圆内接四边形的对角互补 （2）.圆内接四边形的外角等于它的内对角【巧练】题型一 垂径定理及推论例1（2016湖北黄石）如图所示，O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON=（）A5 B7 C9 D11【分析】根据O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长【解答】解：由题意可得，OA=13，ONA=90，AB=24，AN=12，ON=，故选A【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题题型二 圆心(周)角、弧、弦之间的关系例2（2016山东济宁）如图，在O中， =，AOB=40，则ADC的度数是（）A40 B30 C20 D15【答案】C【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出AOC=AOB=50，再由圆周角定理即可得出结论【解答】解：在O中， =，AOC=AOB，AOB=40，AOC=40，ADC=AOC=20，故选C【方法技巧规律】 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用若其中一组量相等，则考虑其他的量相等，将问题转化.题型三 圆周角定理及推论例3（2016广西南宁）如图，点A，B，C，P在O上，CDOA，CEOB，垂足分别为D，E，DCE=40，则P的度数为（）A140 B70 C60 D40【答案】B【分析】先根据四边形内角和定理求出DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论【解答】解：CDOA，CEOB，垂足分别为D，E，DCE=40，DOE=18040=140，P=DOE=70故选B【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键题型四 圆内接四边形例4. (2016兰州)如图，四边形 ABCD 内接于 O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ADC= （ ）A45 B 50C 60 D 75【答案】C【解析】：连接 OB,则OABOBA, OCBOBC四边形 ABCO 是平行四边形，则OABOBCABCOABOBCAOCABCAOC120OABOCB60连接 OD，则OADODC，OCDODC由四边形的内角和等于 360 可知，ADC360 OABABCOCBOADOCDADC60【限时突破】1. （2016浙江省绍兴市）如图，BD是O的直径，点A、C在O上， =，AOB=60，则BDC的度数是（）A60 B45 C35 D302. （2016陕西）如图，O的半径为4，ABC是O的内接三角形，连接OB、OC若BAC与BOC互补，则弦BC的长为（）A3 B4 C5 D63（2016浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A120 B135 C150 D1654（2016山东聊城）如图，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC若ABC=105，BAC=25，则E的度数为（）A45 B50 C55 D605.（2015山东泰安）如图，O是ABC的外接圆，B=60，O的半径为4，则AC的长等于（）A 4B6C2D86.（2016广西百色）如图，O的直径AB过弦CD的中点E，若C=25，则D= 7. （2016吉林）如图，四边形ABCD内接于O，DAB=130，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则BPD可能为 度（写出一个即可）8. （2016青海西宁）O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则BAC度数为 9. （2016四川凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于O，A是的中点，AEAC于A，与O及CB的延长线交于点F、E，且（1）求证：ADCEBA；（2）如果AB=8，CD=5，求tanCAD的值【答案解析】1.【分析】直接根据圆周角定理求解2.【分析】首先过点O作ODBC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案【解答】解：过点O作ODBC于D，则BC=2BD，ABC内接于O，BAC与BOC互补，BOC=2A，BOC+A=180，BOC=120，OB=OC，OBC=OCB=30，O的半径为4，BD=OBcosOBC=4=2，BC=4故选：B3.【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出BOD=30，再利用弧度与圆心角的关系得出答案故选：C4.【分析】先根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数，再由圆周角定理得出DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论【解答】解：四边形ABCD内接于O，ABC=105，ADC=180ABC=180105=75=，BAC=25，DCE=BAC=25，E=ADCDCE=7525=50故选B【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键5. 答案：A分析：首先连接OA，OC，过点O作ODAC于点D，由圆周角定理可求得AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解故选A6.【分析】先根据圆周角定理求出A的度数，再由垂径定理求出AED的度数，进而可得出结论【解答】解：C=25，A=C=25O的直径AB过弦CD的中点E，ABCD，AED=90，D=9025=65故答案为：657.【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出DCB的度数，根据圆周角定理求出DOB的度数，得到DCBBPDDOB【解答】解：连接OB、OD，四边形ABCD内接于O，DAB=130，DCB=180130=50，由圆周角定理得，DOB=2DCB=100，DCBBPDDOB，即50BPD100，BPD可能为80，故答案为：808.【分析】连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出OAB和OAC，然后分两种情况求出BAC即可【解答】解：有两种情况：OAE=30，OAF=45，BAC=30+45=75；如图2所示：连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OE