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高等数学知识总结一、 空间解析几何31 向量代数32 曲面及其方程43 空间曲线及其方程54 平面及其方程55 空间直线及其方程5二、 极限和连续71 数列极限72 函数极限73 几个重要极限74 无穷小量75 连续函数7三、 一元函数的微分学81 导数的定义82 导数运算83 常数和基本初等函数的导数：84 微分概念及其运算法则85 Lagrange中值定理86 函数的单调性与曲线的凹凸性97 函数的极值与最大值最小值98 Cauchy中值定理99 法则：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 )910 泰勒 ( Taylor )公式用多项式近似表示函数9四、 多元微分学101 极限与连续性102 微分和偏导数103 复合函数的微分法114 方向导数和梯度115 空间曲线的切线与法平面126 曲面的切平面与法线方程127 Taylor公式138 多变量函数的极值13五、 一元函数的不定积分141 不定积分142 基本积分表（求导的逆运算）143 不定积分的性质144 换元法145 分部积分法14六、 定积分151 定积分定义 （分割，近似，求和，取极限 ）152 牛顿莱布尼兹公式153 定积分的性质（设所列定积分都存在）154 广义积分15七、 多变量函数的重积分161 二重积分“分割，近似，求和，取极限”162 二重积分的累次积分163 二重积分换元法164 三重积分17八、 曲线积分与曲面积分181 第一类曲线积分对弧长的曲线积分182 第一类曲面积分183 第二类曲线积分194 格林公式195 第二类曲面积分206 Gauss定理及散度217 Stokes定理即旋度Green定理的推广218 保守场22九、 无穷级数231 无穷级数基本性质232 正项级数及其审敛法233 级数收敛的一般判别法244 绝对收敛与条件收敛245 幂级数及其收敛性246 傅里叶级数25十、 常微分方程261 一阶微分方程262 二阶线性齐次方程解的结构263 二阶线性非齐次方程解的结构274 用常数变易法求非齐次的特解常用来由齐次推非齐次、由线性推非线性275 二阶常系数线性齐次方程271、 空间解析几何1 向量代数l 向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1)交换律a+b=b+a; 2)结合律(a+b)+c=a+(b+c). 实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； 2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. l 空间直角坐标系 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)，则有1）a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz). 2）a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz). 3）la=(lax, lay, laz). 4）b/a b=la (bx, by, bz)=l(ax, ay, az) . 5）向量模： 6）两点间的距离：7）方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的方向角 方向余弦： , , . l 向量的数量积：ab=|a| |b| cosq几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积。1）aa = |a| 2. 2）ab ab =03）交换律: ab = ba; 4）分配律: (a+b)c=ac+bc . 5） (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m为数. 6）ab=axbx+ayby+azbz . l 向量的向量积：c = abc的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.几何意义：以a与b为两邻边的有向面积。1）aa = 0 ; 2）a/b ab = 03）交换律ab = -ba; 4）分配律: (a+b)c = ac + bc. 5）(la)b = a(lb) = l(ab) 6）l 混合积，共面2 曲面及其方程旋转面方程母线柱面方程，母线平行于轴的柱面方程，母线平行于轴的柱面方程椭球面方程，当或或时为旋转椭球面，当时，为球面方程。双曲面方程 锥面方程抛物面方程其中3 空间曲线及其方程空间曲线的一般方程： （两个曲面方程的交线）空间曲线的参数方程： 空间曲线 关于坐标面的投影柱面方程为消去得到的方程，在坐标面上的投影曲线方程为 4 平面及其方程l 平面方程一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一个法线向量n为 n=(A, B, C)】点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【通过点M0(x0, y0, z0)】截距式方程： 【a、b、c依次为平面在x、y、z轴上的截距】l 两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 平面P 1和P 2平行或重合. l 点P0(x0, y0, z0)到平面的距离 5 空间直线及其方程l 直线方程 一般方程： （两平面的交线）点向式方程.： 【过点M0(x0, y0, x0)】参数方程： 【且方向向量为s = (m, n, p)】两点式： 【过点M1(x1, y1, x1)】l 两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)1）L 1L 2m1m2+n1n2+p1p2=0; 2） L1 / L2. l 直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角1）LP ; 2） L / P Am+Bn+Cp=0. l 平面束：通过定直线的所有平面的全体称为平面束过直线的平面束方程为 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=02、 极限和连续1 数列极限数列极限：若数列及常数 ，当时，有，则称该数列的极限为，记作或。此时也称数列收敛 ，否则称数列发散。（学会用定义证明数列极限，关键在于如何求得N）数列极限的四则运算：若则有a.； b.； c. 夹逼准则：设，当时，有，则2 函数极限 ，当时，有 ，当时，有左极限 右极限 3 几个重要极限1） 2） 3） 4）5） 6） 7）4 无穷小量无穷小量：若，则称函数是当时的无穷小量。等价无穷小定理：设且存在，则熟记的等价无穷小：时，5 连续函数函数在处连续 =间断点：a. 第一类间断点：及均存在，若称为可去间断点；若称为跳跃间断点；b. 第二类间断点：及中至少一个不存在，若其中一个为，称为无穷间断点；若其中一个为振荡，称为振荡间断点。闭区间上连续函数的性质：1） 零点定理：设，且 则必有使得2） 介质定理：设，则上能取到；3） 最大值最小值定理：设，则上能取到最大值和最小值；3、 一元函数的微分学1 导数的定义设函数，在的某邻域内有定义，若存在，则称函数在点处可导。并称此极限为在处的导数，记做；。几何意义：曲线在处的斜率，。 可导性与连续性的关系： （连续未必可导）2 导数运算四则运算：1） 2） 3） 复合函数求导法则： 参数方程求导法：对参数方程， ，有 3 常数和基本初等函数的导数： 4 微分概念及其运算法则微分定义：若函数在点的增量可表示为，为不依赖于的常数，则称函数在点处可微，记。 定理：在点处可微即微分运算法则：1）；2）；3） ； 4）微分形式不变性：设，分别可微，则复合函数的微分5 Lagrange中值定理费马(Fermat)引理：设是的极值点，在可微，则。罗尔(Rolle)定理：满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导3) 在(a , b)内至少存在一点，使得。拉格朗日中值定理：满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导 在(a , b)内至少存在一点，使得推论：若函数在区间I上满足，则在I上必为常数.6 函数的单调性与曲线的凹凸性单调性的判定法：设函数在开区间I上可导，若，则在I内递增（递减）。7 函数的极值与最大值最小值极值可疑点：使导数为0 或不存在的点极值第一判别法：设函数在的某领域内连续，且在空心领域内有导数，当由小到大通过时， 1）“左正右负”，则在取极大值； 2）“左负右正”，则在取极小值。极值第二判别法：设函数在处具有二阶导数，且，1）若，则在取极大值；2）若，则在取极小值。最值判定：设函数在闭区间a , b上连续，则其最值只能在极值点或端点处达到。8 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：及满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导3) 在区间 (a , b) 内 在(a , b)内至少存在一点，使得。9 法则：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 )洛必达法则：；（或）2）与在可导，且；存在（或为） 10 泰勒 ( Taylor )公式用多项式近似表示函数设函数在包含的某开区间(a,b)处具有直到阶的导数，则当(a,b)时，有 其中 （在与之间） 特例：1）当时，泰勒公式变为拉格朗日中值定理；2） 在泰勒公式中若取则有麦克劳林（Maclaurin）公式：4、 多元微分学1 极限与连续性平面上的点列的极限：设为平面点列，若，则称是收敛点列，是点列的极限，记做（）。极限：设元函数，是的聚点，若存在常数，对，对一切，有，则称常数为函数当时的极限，记做（也叫重极限）。 PS：多元函数极限要求自变量沿任何方向、任何路径趋于，若找到其两个不同路径上极限不同，则判断多元函数极限不存在。二元函数的极限可写作：。连续性：为的聚点时，；或为的孤立点时，也是连续点。2 微分和偏导数 微分： 。偏导数：设在点的某邻域中有极限（将当做常数）存在，则称此极限为函数在点对的偏导数，即 设在处可微，。二元函数偏导数的几何意义：是曲线在点处的切线对轴的斜率是曲线在点处的切线对轴的斜率高阶偏导数：设在域内存在连续的偏导数和，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是的二阶偏导数。按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数：，定理：若和都连续，则=。（否则不一定成立）3 复合函数的微分法复合函数求导的链式法则：若函数可微，有一阶偏导数，则对和有偏导数，并有： (口诀：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导) 微分中值定理：若函数在区域可微，连接和的线段全在内，则必有，使得定理：若在区域中，则。全微分的不变性：设函数，都可微，则复合函数的全微分为 即无论是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样, 叫做全微分形式不变性。4 方向导数和梯度方向导数：若函数在点处沿方向（方向角为）存在极限：（）则称为函数在点处沿方向的方向导数。定理：则函数在该点沿任意方向的方向导数存在，且有： 由，故当方向一致时，方向导数取最大值，。梯度：定义向量为函数在点处的梯度，记做，即PS：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影。梯度的几何意义：沿梯度正向，方向导数最大，即函数值增长最快，其增长率为；而沿梯度负向，方向导数最小，即函数值减小最快，其减小率为。5 空间曲线的切线与法平面参数形式 切线向量 两柱面交线 切线向量 两曲面交线 切线向量6 曲面的切平面与法线方程 法线向量 （梯度方向） 7 Taylor公式Taylor定理：，的某一邻域内有直到阶连续偏导数，为此邻域内任一点，则有其中，（拉格朗日余项）。8 多变量函数的极值定理：（必要条件）存在且在该点取得极值，则有PS：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。定理：（充分条件）若的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令，则有：1） 当时，具有极值。且时取极大值；时取极小值；2） 当时，没有极值。3） 当时，不能确定，需另行讨论。最值可疑点：驻点，不可偏导点，边界上的最值点。PS：当区域内部最值存在, 且只有一个极值点时，则该极值点即为最值点。条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制的极值问题。（约束极值问题）条件极值的求法:：1）代入法：求的无条件极值问题2） 拉格朗日乘数法：求函数在条件和下的极值。构造辅助函数F（Lagrange函数），引入拉格朗日乘数，令 （可推广） 解方程组 ， 可得到条件极值的可疑点 5、 一元函数的不定积分1 不定积分原函数：若在区间I上满足，则称F (x)为f (x)在区间I上的一个原函数。定理1：存在原函数。定理2：原函数都在函数族内。不定积分：f (x)在区间I上的全体原函数称为不定积分，记做=2 基本积分表（求导的逆运算） 3 不定积分的性质1) 2）4 换元法 第一类换元法（也称配元法凑微分法）：则有换元公式目的：凑已知的积分公式； 关键：凑微分。第二类换元法：设是单调可导函数，且，具有原函数，则 。目的：去根号等。5 分部积分法由导数公式 积分得： 或 ：1) v容易求得；容易计算。6、 定积分1 定积分定义 （分割，近似，求和，取极限 ），任一种分法，令，任取，总趋于确定的极限，则称此极限为函数在区间上的定积分，记作，即 定积分的几何意义：曲边梯形的有向面积。2 牛顿莱布尼兹公式设在上可积, 并有原函数，则 3 定积分的性质（设所列定积分都存在）1） 2） 3） 4）5）4 广义积分无穷限的广义积分（第一类反常积分）：设，取，若存在，记广义积分 。无界函数的广义积分（瑕积分或第二类广义积分）：设，而在点的右邻域内无界，取，若存在，则记广义积分 。7、 多变量函数的重积分多元函数积分学：重积分、曲线积分、曲面积分1 二重积分“分割，近似，求和，取极限”二重积分存在定理：若有界函数在有界闭区域上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则在上可积。定理：若两个二元有界函数在有界闭区域上除去有限个点或有限个光滑曲线外都相等，则二者可积性相同，若可积，其积分相等。二重积分的性质：设和在上可积，1）2） 若在上，则 3） 设在上可积，则 4） 在上也可积5） ，则 6） （微分中值定理）设函数在闭域上连续，为的面积 ,则至少存在一点，使得 2 二重积分的累次积分a. 型积分：积分区域 b. 型积分：积分区域 PS：若积分区域既是型区域又是型区域，PS：若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域，则3 二重积分换元法面积元素变换： 雅克比行列式：3） 对变换有 特别地，直角坐标转化为极坐标时，故 4 三重积分累次积分：三种方法（12种形式）各有特点，应根据被积函数及积分域的特点灵活选择 1）投影法“先一后二”； （细长柱体）2）截面法“先二后一”；3）“三次积分法” 变量代换：体积元素变换： 特别地：1）柱坐标计算： 2）球坐标计算： 积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域区间域平面域空间域曲线域曲面域8、 曲线积分与曲面积分1 第一类曲线积分对弧长的曲线积分定义：设是空间中一条有限长的光滑曲线，是定义在上的一个有界函数，若通过对的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”存在，则称此极限为函数在曲线上第一类曲线积分，或对弧长的曲线积分。PS：对弧长的曲线积分要求，但定积分中可能为负。曲线积分的性质：（与其他积分性质类似 ） 1） （为曲线弧的长度）2） 线性性质：3） 可加性：曲线积分的计算：（转化为求定积分）设是定义在光滑曲线的连续函数，若的参数方程可表示为：，则PS：1）上述公式可看做“换元法”，因为2）如果曲线的方程为，则3） 在极坐标下2 第一类曲面积分定义：设是空间中一光滑曲面，是定义在上的一个有界函数，若通过对的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”存在，则称此极限为函数在曲面上第一类曲面积分，或对面积的曲面积分。第一类曲面积分的性质：与第一类曲线积分类似，线性性质和可加性。第一类曲面积分的计算方法：设有光滑曲面：，（或，）在上连续，则曲面积分存在，且有= （转化二重积分）推导：用和两簇曲线分割曲面，则面积微元特别地：若，则，故3 第二类曲线积分定义：设为平面内从到的一条有向光滑弧，在上定义了一个向量函数，若通过对的任意分割和对局部的任意取点，“乘积和式极限”存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分。PS：若为空间曲线： 性质：1）2） （必须注意积分弧段的方向!）PS：定积分是第二类曲线积分的特例。第二类曲线积分的计算：在有向光滑弧上有定义且连续，的参数方程为：，则曲线积分存在，且有特别地，：则两类曲线积分之间的联系：切向量的方向余弦为，故令，为在上投影，则4 格林公式GREEN：设区域是由分段光滑正向曲线围成，函数 在上具有连续一阶偏导数，则有 （将区域分割为既是X型区域，又是Y型区域） PS：域边界的正向：域的内部靠左。PS：X型区域： Y型区域：推论：正向闭曲线所围区域的面积为 平面上曲线积分与路径无关的等价条件：设是单连通域，在上具有连续一阶偏导数，则以下四个条件等价：1） 沿中任意光滑闭曲线， 2） 在内每一点都有 3） 中任一分段光滑曲线， 与路径无关，只与起止点有关 4） 在内是某一函数的全微分，即 PS：1）计算曲线积分时, 若在某区域内，可选择方便的积分路径；2） 求曲线积分时，可利用格林公式简化计算，若积分路径不是闭曲线，可添加辅助线；3） 可用积分法求在域内的原函数：取定点及动点，则原函数为5 第二类曲面积分双侧曲面及其定向：指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封闭曲面侧的规定 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧外侧 0 为后侧 0 为左侧 0 为下侧内侧PS：设为有向曲面，其面元在面上的投影记为，的面积为，则规定 类似规定PS：光滑参数曲面：，的两个法向量为 （PS：非单位法向量）显式曲面：，的法向量 定义：设在光滑的有向曲面上定义向量场，则称为向量场在曲面上第二类曲面积分。在直角坐标系下，可表示为性质：1）对场的线性，即若，则 2）若由协调拼接而成，则 = ； 3）两类曲面积分的关系： 第二类曲面积分的计算法： （单位法向量 面元）PS：1）如果是显式曲面，则 （计算时注意轮转对称性） 2） （上正下负） （前正后负） （右正左负）6 Gauss定理及散度高斯定理：设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成。若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则向量场的通量：，向量场通过的通量为，如果为双侧封闭曲面， 如果，说明内部有产生向量的能力，即为有“源”的；如果，说明向量在内流失，即为有“汇”或“漏”。向量场的散度： 故高斯定理又可以写成向量形式： 散度的性质：1）=+ 2）=+7 Stokes定理即旋度Green定理的推广Stokes定理：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线。若函数在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则 （其中的法向与的方向满足右手法则确定）或 旋度：向量场沿有向曲线的积分定义为环量，定义向量场的旋度为 （代表流场的涡旋特性）故Stokes定理可以写成：8 保守场保守场：设是区域中的连续向量场，如果沿任何铸锻光滑的闭路，都有，则称是中的一个保守场。恰当微分形式和有势场：函数在上连续，若，则称是一个恰当微分或全微分。若，则，则称是有势场，是的一个势函数，同时，也是的势函数。全微分的积分：设是内的一个全微分，则光滑曲线上 （与路径无关）定理：下面三个等价命题1）是有势场 （即 恰当微分 ）2） 与路径无关3）沿任何中的闭路 （即是保守场）4） （即是无旋场） 9、 无穷级数 1 无穷级数基本性质无穷级数：；部分和：。若存在，则称无穷级数收敛，并记级数的和。定理：若收敛级数，则各项乘以常数所得级数也收敛，其和为。定理：设两个收敛级数和则级数也收敛，其和为。定理：在级数前面加上、去掉或改变有限项, 不会影响级数的敛散性。定理：收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。定理：设收敛级数，则必有。2 正项级数及其审敛法定义：若，则称为正项级数。定理：正项级数收敛 部分和序列有界。定理(比较审敛法)：设，是两个正项级数，且存在，对一切，有（常数），则有：1）若强级数收敛，则弱级数也收敛；2）若弱级数发散，则强级数也发散。定理（柯西积分判别法）： 设为定义于上的非负单调递减函数，则与同时收敛或同时发散。定理(比较审敛法的极限形式)：设，是两个正项级数，且满足。则有：1）当时，两个级数同时收敛或发散；2）当时，收敛，也收敛；3）当时，发散，也发散。定理（比值审敛法/Dalembert 判别法）：设为正项级数，且，则：1）当1或时，级数发散。定理（根值审敛法/ Cauchy判别法）：设为正项级数，且，则：1）当1或时，级数发散；3）=1时，级数可能收敛，也可能发散。3 级数收敛的一般判别法Cauchy收敛原理：级数收敛的充分必要条件是：对任意给定的0，存在正整数N，使得下式对一切与一切正整数p成立： Leibnitz判别法：设单调趋于零，则级数收敛。4 绝对收敛与条件收敛定义：对任意项级数，若收敛，则称原级数绝对收敛。若原级数收敛, 但发散, 则称原级数条件收敛。定理3：设收敛，则也收敛。定理6.14：若级数绝对收敛，则它的更序级数也绝对收敛，且和不变，即= 推论：1）绝对收敛的充分必要条件是和都收敛；2）条件收敛则和都发散。5 幂级数及其收敛性定义：形如的函数项级数称为幂级数，其中数列称为幂级数的系数。后面着重讨论的情形，即Abel定理：若幂级数在点收敛，则对满足不等式的的一切幂级数都绝对收敛。反之，若当点发散，则对满足不等式的的一切幂级数都发散。由Abel定理可以看出，的收敛域是以原点为中心的区间。用表示幂级数收敛与发散的分界点。称为收敛半径，称为收敛区间，加上收敛的端点称为收敛域。定理：若的系数满足，则：1）当时，；2）当时，；3）当时，。 (比值审敛法) （即 ）定理：若的系数满足，则收敛半径。 (Cauchy判别法)6 傅里叶级数定理：（三角函数正交性）组成三角级数的函数系在上正交，即其中任意两个不同的函数之积在上的积分等于0。定理：设是周期为的周期函数，且 右端级数可逐项积分，则有 狄利克雷(Dirichlet)条件：1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期内只有有限个极值点。