布朗尼蛋糕盘设计数学建模二等奖论.doc

布朗尼蛋糕盘摘 要电烤箱由于其加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。在电烤箱中，烤盘的形状一般为矩形或圆形，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。那么，如何才能够设计一种烤盘，既能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果？在假定烤箱的面积为，宽长比为变量，单个烤盘的面积为,同一烤制过程中烤盘的大小形状都完全相同的情况下，建立数学模型求解了三种问题：即烤盘数量最多的最大空间利用问题，烤盘平均热量分布最大的烤制最佳质量问题，空间利用与烤制质量综合考虑的双目标最优化最大的问题。具体为：首先：为了解决烤箱空间的利用率最大，即烤盘的数量最多的问题，我们建立了单元正规密铺模型，并证明了只有正三角形，正方形，正六边形能够达到无缝隙密铺。并依据已知条件建立了正方形、正六边形的密铺单元个数的上下取整模型，给出了三种情况下的单元个数，得到了正方形单元密铺时，个数最多，并通过实际尺寸为的电烤箱， 的烤盘进行了验证，解得，检验了模型的正确性。然后：为了解决烤制质量，即烤盘的平均热量分布最大的问题，我们将温度场的尖端热效应现象类比于电场的尖端热效应现象，建立了温度分布函数的尖端热效应模型，从理论上推导出了温度分布函数、平均热量分布函数与尖端距离、半顶角之间的关系式，分析了其单调关系，得出了当半顶角时，即烤盘为圆形时，曲率最小，最大。通过Matlab对该模型进行了仿真，通过三维仿真温度分布图得知，曲率最大，即圆形密铺时最大，与理论推导结果一致。并通过利用已有的辐射传热模型对尖端热效应模型进行了进一步的验证，证明了该模型的合理性。最后：为了综合考虑烤箱的空间利用率和烤制质量，在宽长比的范围内，引入权重，基于经济学中的埃奇沃思框图理论，考虑效应函数最大，建立了双目标规划最优模型，通过双目标规划模型和蛛网模型两种方法进行求解，均得出当时，正六边形密铺时为最优结果。两种方法求解结果的相同性，达到了验证模型可靠性的目的。并考虑正六边形的尖端圆角化对密铺进行改造，对模型进行了推广，增加烤制质量的同时，还提高了烤制蛋糕的美观性。总之，本文在合理假设的前提下，建立模型对以上三个问题进行了研究，并通过Matlab仿真、实证研究、一题多解等手段对模型进行了验证，最终给出了满足烤箱空间利用率、烤制质量等要求的结果，最终为蛋糕盘的设计奠定了理论基础。1 序言家用电烤箱由于其使用价值被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。近年来，新型电烤箱的技术含量增加，普遍采用远红外加热技术，具有加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，深受广大用户的欢迎。从理论上讲，利用红外线加热物体，就是利用辐射波长与物体接收波长一致时，物体吸收大量的红外能，从而加剧物体内部的分子运动，使之加热升温，最终达到烤制的目标。在电烤箱中，一般采用铝制的烤盘作为工具和介质来进行烤制，烤盘的形状依据烤箱内箱的形状来确定，大多数为矩形烤盘。但是，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。这给烤箱的使用者造成了很大困扰。如何能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果，成为一个值得研究的问题。2.烤箱内的热传导分析与基本知识2.1 烤箱内的热传导分析解决烤箱内烤盘边缘的热量分布问题之前，首先需要了解烤箱的加热原理。通过烤箱的使用说明书可知其加热原理为：电阻丝通电变热，期间使电能转化为热能，箱体内的温度随之提高，继而对食物进行烘烤至熟。这个过程是由外至里的，通俗的理解，烤箱就像一个封闭的炉子，其内部主要是靠热辐射来达到热量传递。观察烤箱的内部结构不难发现，烤箱内部一般装有风扇或留有进、出风口，这样就会使烤箱内部由于对流传热而达到一个温度均匀的状态。那么是什么因素导致有的蛋糕会烤焦呢？为解决这个疑问，分析烤箱的内部机理，可以得知：热传递过程往往是传导、对流与辐射同时进行或至少其中两种同时进行，而由烤箱热源发出的辐射热混合对流过程后，烤箱内部整个空间的空气的温度都是均匀的，也就是说，烤盘边缘温度分布与热传导过程有关。接下来要具体分析一下这个结论的正确性。热传导实质是由大量物质的粒子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在低温部分，微粒振动动能较小。因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。在固体中热的传导，就是能量的迁移。在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。自由电子剧烈运动会向尖端聚集，从而使尖端的内能相对更大，产生尖端热效应现象。可以通过建立温度场场强与几何图形半顶角的关系方程得到烤盘边缘热量分布。2.2 基本假设(1)假设烤箱的宽长比为一个变量,并设定烤箱的面积为，每个烤盘的面积为，简化在排列烤盘过程中的一些不确定因素，使排列过程能够进行。(2) 假设烤箱内烤架既贴近实际，又能做到分层空间均等的，以保证烤箱内部温度场均匀，上下两层烤盘互不影响。(3)假设烤箱内空气流通，所研究物体是各向同性的连续介质（空隙大小物体几何尺寸），同一烤制过程中烤盘具有规则的形状，并且各个烤盘的大小、形状完全相同。2.3 基本概念(1)热传导：在物体内部或相互接触的物体表面之间，由于分子、原子、及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。既可发生在固体内部，也可发生在静止的液体和气体之中。(2)热辐射：由于物体内部微观粒子的热运动而使物体向外发射辐射能的现象。(3)尖端效应：热能在独立物体中会向尖端（几何形状的末梢）推移集中的物理现象，其中包含尖端热效应现象。(4)温度梯度：等温面沿法向方向的方向导数叫温度梯度。(5)密铺：指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。3 基于烤盘数量最大的密铺模型3.1 密铺的定义及分类密铺，也就是某形状的铺物被用来不交叠亦无缝隙的铺满整个平面。即：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌1-2,在一种密铺的图案里如果基本元素图案只有一种，称之为单元密铺，否则称为多元密铺。在单元密铺里，如果基本元素是正多边形(正三边形，正方形，正五边形，正六边形等等)，这种密铺便称为(单元)正规密铺. 若在密铺时各个基本元素图案的边与边完全吻合，则称这种密铺为棱对棱密铺，如图1，图2所示。若同时满足正规性和棱对棱性，则称为单元正规棱对棱密铺。图1 棱对棱密铺图2 非棱对棱密铺3.2 基于烤盘问题的单元正规密铺模型为使烤箱容纳烤盘数最多，在选择烤盘形状时，应首先考虑烤盘的相同性，规则性，然后应考虑使烤盘在不重叠的前提下覆盖面积达到最大。基于以上思考，建立单元正规密铺模型。具体推导如下3：在密铺过程中，正边形的每一个内角为要实现密铺，首先要保证顶点汇集处，整数个内角之和为，若设某固定点的顶角个数为,则有整理得到所以 也就是说，在正多边形中，能够无缝隙密铺的只有正三角形、正方形和正六边形密铺效果图如下：图3矩形区域的正三角形单元的密铺效果图4矩形区域的正方形单元的密铺效果图5矩形区域的正六边形单元的密铺效果由于在本题中图形从矩形过渡到圆形，因此，正三角形不必考虑。矩形在进行密铺时，在与烤箱边界接触时能无缝隙的重合，而正六边形在边界处是一定存在缝隙的，其它过渡图形如正五边形、正八边形、圆形等，在密铺的过程中，不仅在边界处有缝隙，而且图形之间也存在缝隙，下面给出正方形和正六边形密铺状态下、圆形非密铺状态下的单元的个数，并进行比较。首先假设在理想状态下，即烤箱内壁与烤盘能完全对接的情况下，密铺单元的个数为但是实际情况中，并不是总能铺满烤箱，边界上留下的缝隙距离不足以重新密铺一个新的单元时，求出的单元个数实际个数，边界上的缝隙会造成很大的误差。因此，可以利用上下取整模型对密铺模型进行改进，进一步求得烤箱长、宽和烤盘单元的个数之间的关系。（1）正方形单元：（2）正六边形单元：（3）圆形单元：其中分别表示上取整和下取整函数。结合实际情况，参考家用电烤箱的实际尺寸为，烤盘的面积为，代入上式，计算得到矩形的个数为25，正六边形个数为18，圆形个数为16。据此得出结论，矩形是最佳选择。4 基于平均热量分布最大的尖端热效应模型温度场和电场有许多类似的物理量，如等温线与等势线、等温面与等势面、温度梯度与场强梯度等。通过查阅资料得知，在电场中存在尖端效应4-5，在温度场中存在尖端热效应6-8，两种效应有许多相似的特征，所以可以把温度场中的尖端热效应类比于电场中的尖端效应。4.1 尖端热效应模型首先以一个简单的尖顶形状为例进行分析，如下图所示：图6 尖顶图形其表面的温度场函数为 （1） （2） （3）将（1）、（2）代入（3）中，可得温度分布函数为 （4）其中为距离尖端顶点的距离，分别为半顶角的弧度值和角度值，平均热量分布函数 (5)为简化计算，该强度是在假设尖端温度为0的条件下得到的，为待定常量。考虑本文研究的是尖端，所以认为，即。根据式（4）得到尖端温度场与半顶角（用弧度表示）之间的关系，由关系式可得当固定时，时，固定时，时，当时，并且其中为常数，且。从上式可以得出，当，远离常数0时，温度趋于平稳，因此平均热量分布函数的大小主要取决于，在取0时附近的温度值。在总热量保持恒定的前提下，可以得出：（1）当时，温度值时，总体平均热量分布。（2）在尖端附近，如果半顶角，曲率，变化缓慢，。综上可得，当半顶角，也就是取圆形时，曲率最小，平均热量分布函数取最大。4.2 尖端热效应模型的Matlab仿真通过Matlab仿真9-10实现了半顶角固定，温度与距离间的变化过程，见图4(a)。实现了距离固定，温度与半顶角间的变化过程，见图4(b)。实现了温度与半顶角和距离两个因素间的变化过程，见图4(c)。图7(a) 尖端温度场随到角端距离的变化图7(b) 尖端温度场随着半顶角的变化图7(c) 尖端温度场温度分布图根据图7(a)可知：随着到尖端的距离的增大，温度的变化趋于平稳，即温度分布相对均匀，也就是说，在尖端附近，温度的变化比较剧烈，温度分布不均匀。根据图7(b)可知：随着尖端角度的增大，曲率减小，温度的变化趋于平稳，即温度分布相对均匀，也就是说，在尖端角度越小时，曲率越大，温度的变化比较剧烈，温度分布不均匀。综上可知，距离尖端越近，角度越小即曲率越大时，温度分布越不均匀，反之，距离尖端较远，角度越大即曲率越小时，温度分布越均匀，如图7(c)所示。因此可以得知：由矩形到圆形过渡的图形中，圆形的曲率最小，所以圆形烤盘边缘平均热量分布最均匀，与理论推导结果一致。4.3 辐射传热模型验证结果为了验证尖端热效应模型的合理性和正确性，用常规的辐射传热模型来考虑平均热量分布问题。电烤箱的工作原理是由于电烤箱的电阻元件发热以辐射热的方式给电烤箱内的物体加热。由辐射热的传热量公式11其中:为辐射传热量，为辐射传热系数，为温度差，为传热方向上的导热面积。我们可以看出电烤箱内物体所吸收的热量与传热接触面积有关，且当传热接触面积增大时，烤盘的吸热量也会增大。当烤盘形状从矩形到圆形变化，在烤盘面积一定的情况下，,，。所以对于矩形烤盘和圆形烤盘，烤盘高度相同，矩形的吸热量大于圆形烤盘的吸热量（）所以在相同时间内（将面包烤熟），矩形烤盘内部温度较高，在边缘和边角处容易烤焦。所得结论能够解释问题中的现象，同时与尖端热效应模型结论一致，说明上述将温度场类比于电场，并设计的尖端热效应模型是可行的。5 基于烤盘数量与热量分布的双目标规划模型在选择烤盘形状时要考虑两方面因素：图形密铺效果和烤盘边缘热量分布。当选取与烤箱边长比一致的矩形烤盘时，存在烤盘完全密铺烤箱的情况，能够充分利用烤箱空间。这样，在面积A相等的情况下，烤盘为矩形时，箱内所能容纳的烤盘数量最多。但是，由尖端热效应模型可知，烤盘边角越尖，曲率越小，即角度越小，其温度梯度变化越大，温度分布越不均匀。同时由于边角处温度场叠加，使得温度升高，导致边角处食物越容易变焦。图8矩形热量分布图由尖端热模型求解结果分析，圆形的曲率最大，温度梯度变化平稳，温度分布均匀，所以圆形烤盘边缘热量分布最均匀，食物不易烤糊。从这个角度考虑，选择圆形烤盘。然而，圆形的密铺效果相对来说比较差，烤盘之间缝隙大，造成烤箱空间的浪费。图9圆形热量分布图显然，综合考虑时，矩形和圆形都不是最佳的选择。5.1 双目标规划模型在考虑烤箱的外观的美观性的前提下，依据黄金分割理论，假定烤箱的宽长比为定值，即使有变化也变化不大，也就是不会出现狭长形状的烤箱这种情况。根据题意要求，建立双目标规划的埃奇沃思模型12，构造关于烤盘个数、平均热量分布函数两个目标因素的效用函数的方程为：其中：式中，为效用函数，为权重，为烤盘单元数量，为平均热量分布函数，为正多边形的边数。埃奇沃思框图如下：图10 埃奇沃思盒图其中为烤箱内烤盘单元的最大数量、为平均热量分布。红色的曲线为烤箱内烤盘单元的最大数量，其原点在左下角。说明忽略热量分布的情况下，烤盘边数越少，越趋近于矩形，烤箱内所能容纳的烤盘数越多，也就是效应越大，无差异曲线离原点越远效应越大；蓝色的曲线为平均热量分布，其原点在右上角，说明在不考虑烤盘数量的前提下，随着边数越来越多，热量分布越来越均匀，效应越大。在图10中找到一点，使得烤盘数量的效应和烤盘边缘热量分布的效应综合达到最大，即图中的点。显然可见，当时，为烤盘数量最多的密铺模型，其结果为正方形密铺；当时，为平均热量分布函数最大的尖端热效应模型，其结果为圆形（正多边形，其中）。因此考虑当需要烤盘数量相对较多，但平均热量分布也相对较大的情况下，去权重为。则令带入公式可得解之得即选择正六边形的烤盘能同时满足数量最多，受热最均匀。5.2 蛛网模型由于在烘烤过程中，如果烤盘为矩形，热量主要集中在四个角，成品的角处会易焦。在圆形烤盘内，热量平均分布在外部边缘，最后的成品边缘不会烤焦。由问题一、二分析可知，烤盘的形状应该为正多边形，并且随着边数的增加，会使烤盘浪费的空隙增大，烤箱容纳的烤盘数会减小。由此我们建立了蛛网模型13-14，令表示烤盘为正多边形的边数，表示烤箱容纳效用（烤箱容纳效用即为使用者对烤箱容纳烤盘数的满意度）根据文献15得到烤箱容纳效用与烤盘边数的关系式： （1）其中，当时，此时的多边形为圆。以表示烤盘的平均热量分布效用，即使用者对蛋糕质量的满意程度，根据文献15得到烤盘的平均热量分布效用与烤盘边数的关系为： （2）用matlab做函数（1）、（2）的图像为：图11 烤箱容纳效用函数和平均热量分布效用函数对应的程序为：x=5:0.0001:7;g=-x.*x+10*x-22;h=x.*sin(x-5).*sin(x-5)-5* sin(x-5).*sin(x-5);plot(x,g)hold onplot(x,h)从图像显示随着角数的增加，烤箱容纳效用是减少的，烤箱的平均热量分布效用是增加的。当烤箱容纳效用增加时，烤箱的平均热量分布效用减小；当烤箱的平均热量分布效用增加时，烤箱容纳效用减小，此模型即为蛛网模型。由蛛网模型定理可知，函数与的交点即是系统稳定点，即。由于为正多边形的边数，则为所求结果，说明正六多边形比较满足问题3的要求,但此时仍存在着尖端热效应所造成的温度集中现象，我们可将正六边形边角弧度化，这样就大大减弱了由于边角温度集中而造成的烧焦现象。由此，我们给出了在权重不同，即顾客对烤出的蛋糕要求不同时，选择烤盘形状的流程图，如下图所示：In p是否P是否在00.3P是否在0.40.6P是否在0.71输出圆形输出正六边形形输出矩形是是否图12 选择烤盘形状流程图 观察上图，根据不同P值对应的不同结果，我们给出如下建议：当对蛋糕数量要求较高时，选择矩形烤盘；当质量成为第一考虑要素时，选择圆形烤盘，如一些品牌蛋糕店；当对两者没有特殊要求时，或希望两者综合考虑效果最好时，选择正六边形烤盘。六、模型评价与改进评价：本文通过分析得知，温度场和电场有许多相似的性质，把温度场类比于电场，建立尖端热效应模型，此模型想法独特，通过类比对尖端热效应进行深一步的理解和探讨，同时本模型也为温度场中尖端热效应问题的研究开拓了一个新方向，避开了在求解二维、三维导热微分方程中遇到的困难。并且又利用辐射传热传热量的计算公式进行推导，进一步验证了模型的准确性。在设计方案使满足烤盘数较多和烤盘平均热量分布较大时，我们联想到了生活中的蜂窝形状（正六边形），利用自然现象，解决实际问题，更贴近生活，有实用价值。在模型的建立与求解过程中,我们假定烤箱的宽长比为定值,而实际情况下,烤箱的宽长比在一个范围内波动,因此模型求解结果存在一定误差。七、参考文献1 Charles Duyckaerts, Gilles Godefroy, Jean-Jacques Hauw ,Evaluation of neuronal numerical density by Dirichlet tessellation Original Research Article ,Journal of Neuroscience Methods ,1994 ,51(1) :47-692 Jonathan Quinn, Feng Sun, Frank C. Langbein, Yu-Kun Lai, Wenping Wang, Ralph R. Martin ,Improved initialisation for centroidal Voronoi tessellation and optimal Delaunay triangulation Original Research ArticleComputer-Aided Design ,2012 ,44(11) :1062-1071 3 Zhang Wei, Tesselation of Plane Regular Polygons, Chongqing Institute of Education Journal, 17（3）：13-14，20044 Liu Dingxing and Hu Xianquan, Study on electrostatic field near by the sharp-point conductor surface, Electronic Engineering, 22（3）：104-106，20065 Zhu Changchun and Wang Huanbao, A approximate description of edge effect, Anhui Normal University Journal, 20（4）：326-328，19976 Luo Enze, Application of Point Effect Formula, Yunnan University Journal, 14：128-134，19927 yuchm2010 ,What is the State-of-the-art Thermal effect? /question/289290276.html，2013/2/48 N. Ranc, T. Palin-Luc, P.C. Paris ,Thermal effect of plastic dissipation at the crack tip on the stress intensity factor under cyclic loading Original Research Article ,Engineering Fracture Mechanics ,2011,78(6) :961-972 9 Dogan thrahim ,Engineering simulation with MATLAB improving teaching and learning effectiveness ,Procedia computer science ,2011 ,3 :853-85810 Lonescu Florin ,George Constantin ,Vladimir Platagea ,Some examples of comparative of nonlinear solid body systems with MATLAB and SDS simulation programs Original Research Article ,Nonlinear Analysis Theory ,1997 ,30(4) :1969-197611 Shigeru Okamoto , Hisataka Kitora , Hiromasa Yamaguchi , Tatsuo Oka ,A simplified calculation method for estimatin