矩阵的对角化及其应用毕业论.doc

学科分类号（二级）110.2110本科学生毕业论文（设计）题目 矩阵的对角化及其应用 姓名 江小敏 学号 084080217 院、系 数学学院专业数学与应用数学指导教师 王守峰 职称（学历） 讲师（博士） 矩阵的对角化及其应用摘要： 本文较为系统的总结了矩阵可对角化的若干条件和矩阵对角化的方法，同时考虑了矩阵对角化的一些应用，并以例题加以说明关键词：矩阵对角化；应用1. 引言及相关概念矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究其中王萼芳和石生明在参考文献1 中重点介绍了矩阵对角化的特征值特征向量法和矩阵可对角化的几个条件，如；A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的量李启文和谢季坚在参考文献2详细介绍了利用矩阵的初等变换将矩阵对角化和利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化两种比较常用方法还有徐仲在参考文献3 （第二版）中利用例题详细讲解了矩阵对角化的几种应用文献4-10也都涉及到了矩阵对角化及其应用的相关知识在归纳总结前人的基础之上，本文首先利用图示法给出了矩阵对角化的若干条件，然后介绍了矩阵对角化的三种方法：利用特征值和特征向量将矩阵对角化、利用用矩阵的初等变换将矩阵对角化、利用用矩阵的乘法运算将矩阵对角化并用这三种方法解同一道例题，从而比较出三种方法的优缺点，最后总结了矩阵对角化在由特征值和特征向量反求矩阵、求方阵的高次幂、求行列式的值、求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限和二次曲面上的一些应用下面列举本文需要的基本概念定义1.1 如下形式的nn矩阵A= 称为对角矩阵，简记为A=diag 定义1.2 设A、B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T,使得B=AT，则称A相似于B，记为AB定义1.3 如果在数域P上，对n级矩阵A存在一个可逆矩阵T，使得AT为对角矩阵，则称矩阵A在数域P上可对角化；当A可对角化时，我们说将A对角化，即指求可逆矩阵T使得AT为对角矩阵2. 矩阵可对角化的条件对于矩阵A=，我们可以找到一个可逆矩阵T=，使得AT=，而又是一个对角矩阵根据定义1.3知，矩阵A=可对角化但对于矩阵B= 而言，若存在可逆矩阵T= ，使得BT为对角矩阵，即 =，得到=则有，即要全为0但这与矩阵T可逆矛盾因此对于矩阵B=不存在可逆矩阵T，使得AT为对角矩阵我们知矩阵B=不可对角化由此我们知道不是任何矩阵都可以对角化，矩阵的对角化是有条件的现给出矩阵可对角化的若干条件如下图所示：矩阵A可对角化设A= ，则矩阵A有n个互异的特征值矩阵A有n个线性无关的特征向量矩阵A为实对称矩阵矩阵A的所有重特征值对应个线性无关的特征向量矩阵A正交相似于实对角矩阵3. 矩阵对角化的三种方法矩阵对角化最常见的方法是考察矩阵的特征值和特征向量的方法由于这种方法一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结解特征方程得特征值 矩阵A是否有重特征值否否是矩阵A不可对角化矩阵A的所有重特征值是否对应个线性无关的的特征向量是矩阵A可对角化求每个特征值对应的特征向量 取矩阵则有 AT=diag 矩阵对角化的第二种方法是利用矩阵的初等变换，其理论基础是下述定理定理3.14 如果，E经过初等变换化为D(),P(),其中表示特征矩阵的转置，D()为对角矩阵，则（1）矩阵A的特征值为D()对角线上元素的乘积所得到的关于多项式的根（2）对于A的每个特征值，其特征向量是P（）中与D（）的零行对应的行向量（3）矩阵A可对角化的充要条件是D（）中零行的数目等于的重数矩阵对角化还可以根据以下定理进行定理3.24 设是矩阵A在数域P上的全部互异的特征值， （1）若,则A可以对角化，反之，不可以对角化（2）设是r重根，则A的属于（=1，2, ）的特征向量是矩阵列向量中的前r列例1 判断矩阵A=可否对角化，若可以，求可逆矩阵T，使得AT为对角矩阵解法一：=,所以特征值是2（二重）和-4解齐次线性方程组，得一基础解系为和二重特征值2有2个线性无关的特征向量则矩阵A可对角化解齐次线性方程组,得一基础解系为取T=，则AT=说明：这种方法相对来说比较简单和基础，也是常用方法解法二：，E=故A的特征值是2（二重）和-4D（2），P（2）=，得和是A属于2的特征向量D（-4），P（-4）=，得是A属于-4的特征向量于是取T=，则AT=说明：对，E做初等变换使化为D(),P()的过程中，收到了特征值和特征向量同步求解的效果，而且可逆矩阵T和对角矩阵的求解可以分别从最终的-矩阵P（）和D（）“读”出来解法三：由上知2和-4是矩阵A的全部互异的特征值，我们可以计算得到，从而矩阵A可以对角化由于2是二重特征根，则矩阵A的属于2的特征向量是矩阵A+4E列向量组的前2列；矩阵A的属于-4的特征向量是矩阵A-2E列向量组的前一列由此可得到可逆矩阵T= ,使得AT=说明：相比起来这种方法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单，可以作为数学软件求解的理论依据例如在Matlab中求解特征值和矩阵相乘只分别需要eig（A）和C=A*B一行简单的代码即可完成上述三种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区分对待，灵活把握4. 矩阵对角化的应用本节探讨矩阵对角化在以下几个方面的应用4.1在反求矩阵方面的应用已知n级矩阵A的特征值和特征向量反求矩阵A时，若矩阵A可对角化，则有简单的方法事实上，当n级矩阵A可对角化时，存在由矩阵A的n个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵T，使得AT=B,其中B是由A的所有特征值组成的对角矩阵，则A=TB即为所求例2 设3阶实对称矩阵A的特征值为=-1，=1，=1对应于的特征向量为=,求矩阵A分析：由矩阵可对角化的条件知，实对称矩阵A是可对角化的，为了得到可逆矩阵P，还须求出对应于=1，=1的两个线性无关的特征向量，这还要利用到实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的这一性质解：设对应于=1，=1的特征向量为，它应与特征向量正交，即0+=0。得到基础解系为和，它们即是对应于=1，=1的线性无关的特征向量取P=(,)=,B=，则=B于是A=4.2 求方阵的高次幂求方阵的高次幂（k为正整数），若直接计算,按归纳法来寻求的规律有时是很困难的若矩阵A可对角化，计算矩阵A的高次幂就有简单的方法事实上，若有AT=B，其中B= =diag ，k有A= TB则有= =，而=diag。则有=T例3 设A=，求解：由=0得A得特征值为对于特征值解方程组,得到两个对应的线性无关的特征向量为对于，解方程组,得到对应的特征向量为令则,故=4.3 求行列式的值对于具体给出的行列式，我们常利用行列式的性质对行列式进行初等变换，将其化为三角行列式直写出其值，或者化为含0较多的行列式，进而按行（列）展开降低行列式的阶数求行列式的方法有很多，应针对不同的行列式类型采用最简便的方法而计算抽象方阵的行列式时，主要是利用行列式的性质及行列式的计算公式若抽象方阵可对角化，求其行列式有简单的方法例4 设A是n阶方阵，是A的n个特征值E是一个n阶单位方阵计算行列式的值解：已知n阶方阵A有n个互异的特征值，而由矩阵可对角化的条件知，n阶方阵A可对角化的故存在可逆矩阵T使得AT=B=diag于是 =4.4 求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限对于一类具有线性递推关系组的数列，可利用矩阵来表示出递推关系，然后利用矩阵对角化的方法，可得到数列的通项.若数列有极限，进而求出数列的极限例5 已知。证明及存在且相等，并求出极限证明：将递推关系化简为再改写为矩阵的形式： 记A=由求得矩阵A的特征值为分别对应的特征向量为,取则于是得到=故，于是=4.5 在二次曲面上的一些应用设是n元实二次型，那么=1或=0表示什么样的二次曲面呢？若把此二次曲面对应的矩阵化为对角矩阵，即作直角坐标变换使得这个二次曲面的方程在新坐标下不含有交叉项，就可看出它是什么二次曲面例6 设二次曲面在直角坐标系I的方程为试问：这是什么二次曲面？解：令，则对应的的矩阵A=。由得A的特征值,可求出对应的特征向量为将其正交化得,;再单位化得，又对应于的特征向量为，单位化得=故正交变换化二次曲面为，可知表示旋转单叶双曲面参考文献：1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数，第二版，北京：高等教育出版社，1988：278-323.2 李启文，谢季坚线性代数理论与解题方法，长沙：湖南大学出版社，2001：318-328. 3 徐仲线性代数典型题分析解集，第二版，西安：西北工业大学出版社，2000：158-1.4 冯莉. 矩阵对角化的若干方法J.赤峰学院学报, 2011，27（9）：9-11. 5 丘维声高等代数(上册)，北京：高等教育出版社，1999：247-2526 罗雪梅, 孟艳双, 郑艳琳. 浅析矩阵的秩J. 高等数学研究, 2003, 6 （2）：33-35.7 谢国瑞. 线性代数及其应用M. 北京：高等教育出版社, 2000.8 屠伯埙, 徐诚浩, 王芬. 高等代数M. 上海：上海科学技术出版社, 1987.9 李炯生, 查建国, 王新茂. 线性代数M. 安徽：中国科学技术大学出版社, 2010.10 Ranson Myser & Boris Worm ,A special decomposition for symmetric matrix,Journal of Math Research & Exposition ,Vol.13,No.4,Nov,1993.Diagonalization of matrixes and its applicationAbstract: In this paper, we summary some conditions of diagonalization of mat