导数与微分在经济学中的简单应用(讲课).ppt

导数与微分在经济学中的简单应用 一 . 边际 二. 弹性 要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释； 1 一 .边际分析 在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一 个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种 经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 2 1.总成本、平均成本、边际成本 “总成本”是生产一定量的产品所需要的成本 总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成 ，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表 示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。 3 “平均成本”是生产每个单位产品的成本， 若产量由 变化到则： 称为C（x)在内的平均成本，它表示 成本C（x）在 内的平均变化率。 把 称为“平均成本函数”，表示产量 为x时平均单位产品的成本。 4 例1： 设某种商品的成本函数为 其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量 为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400 吨时的总成本及平均成本分别为： 5 如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平 均变化率为： 它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每 吨增加成本13.728元。 6 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增 加的成本。 当产量为400吨时再减少1吨，即 类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即 表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减 少的成本。7 在经济学中，边际成本定义为产量增加或 减少一个单位时所增加或减少的总成本。即 有如下定义： 设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变， 产量为x0 时，增加（减少）1个单位所增加（ 减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本，即 ： 8 定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称 为产量是 时的边际成本。 其经济意义是： 若成本函数 在区间I内可导，则称 为 在区间I内的边际成本函数。 9 例2：已知某商品的成本函数为： 求（1）当Q=10时的平均成本； （2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。 解（1）平均成本函数为 当Q=10时： 10 （2）由得边际成本函数为： 当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义 为：当产量为10时，若增加（减少）一个单位 产品，总成本将近似增加（减少）5个单位。 11 2.总收益、平均收益、边际收益 “总收益”是生产者出售一定量产品所得到的 全部收入，表示为R(x)，其中x表示为销售量 （在以下的讨论中，我们总是假定销售量、产 量、需求量均相等） 称为平均收益函数，表示销售量为 x时“平均收益” 。 在经济学中，“边际收益”指生产者每增加(减少) 销售一个单位产品所增加(减少)的销售收入。 按照如上边际成本的讨论，可得如下定义：12 定义：设收益函数 R(x)为一可导函数，称 其经济意义是： 为边际收益函数（x在某区间取值）。 为销售量量是 时的边际收益。 13 例3.设某产品的需求函数为其中P为 价格，x为需求量，求边际收益函数以及x=20 、50、70时的边际收益，并解释所得结果的 经济意义。 解：由题设有： 总收益函数为 于是边际收益函数为： 14 经济意义：当销售量为20个单位时，在增 加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产 品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个 单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位 的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为 70单位时，在多销售一个单位产品，反而使总 收益约减少8个单位，或者说，再少销售一个单 位产品，将使总收益少损失8个单位。 15 3.总利润、平均利润、边际利润 “总利润”是指销售x单位产品所得到的全部 净收入，即总收益与总成本之差，记为L（x） 为总利润，则 L（x）=R（x）- C（x） 为“平均利润函数” 定义：设利润函数L（x）为一可导函数，称 为销售量是 时的“边际利润”。 16 其经济意义是： 17 例4.设某工厂每月生产产品的固定成本为1000元 .生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元),如 果每单位产品的售价30元,试求:边际成本,利润 函数,边际利润为零时的产量. 解 C(x)= 0.01x2+10x+1000 所以,边际成本函数为 总收入函数为 总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+20x-1000 于是,边际利润函数为L(x)=0.02(1000-x) C (x)=0.02x+10 R(x)=px=30x L(x)=0.02(1000-x)=0 x=1000 18 可见,当月产量为1000个单位时,边际利润 为零,说明当月产量为1000个单位时,再多生 产一个单位产品也不会增加利润. 19 前面所谈到的函数改变量与函数变化率是绝 对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的绝 对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品甲 每单位价格10元,涨价1元;商品乙每单位价格 1000元,也涨价1元.两种商品价格的绝对改变量 都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比 却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了 0.1%.因此我们还有必要研究函数的相对改变量 与相对变化率. 二.弹性 1.点弹性与弧弹性 20 例如 y=x2 ,当x 由10改变到12时,y由100改变 到144,此时自变量与因变量的绝对改变量分别 为x=2, y=44而 这表示当x=10改变到X=12,x产生了20%的改变 , y产生了44%的改变.这就是相对改变量. 这表示在(10,12)内,从x=10,x改变1%时,y平 均改变2.2%,我们称它为从x=10到x=12,函数 y=x2的平均相对变化率. 21 定义设函数y=f(x)在点x=x0 称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+x两点间的平均 相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹性 ”. 的某邻域内有定义， 且 ，如果极限 存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 处的点弹性， 记为 而称比值 表示f(x)在x=x0处的相对变化率 22 由定义可知 如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称 为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为 弹性函数。 相对变化率 平均相对变化率 23 由定义可知，函数的弹性是一个与度量 单位无关的量，这使得弹性概念在经济学中 得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变 量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品 的弹性时不受计量单位的限制。 弹性的经济意义： 1%的改变时, :表示在点x=x0处,当x产生 f(x)近似地改变 24 2.需求对价格的弹性 定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P， 需求函数为Q=Q(P)可导，则称 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性， 通常记为 25 需求弹性 表示某商品需求量对价格p变动 反应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动 ，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负 值，即 0，因此需求价格弹性表明当商品的价 格上涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加） 约 在经济学中，为了便于比较弹性的大小， 通常取 的绝对值 并根据 的大小，将 需求弹性划分为以下几个范围： 26 （1）当 时,称为单位弹性，这时当商品 价格增加(减少)1%时，需求量相应地减少(增加 )1%，即需求量与价格变动的百分比相等。 （2）当 时,称为高弹性,这时当商品价格增 加(减少)1%时，需求量相应地减少(增加) %,即 需求量变动的百分比大于1%，价格变动对需求量 的影响较大。 （3）当 时，称为低弹性，这时当商品价格增 加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %, 即 需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量的 影响不大。 27 在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性 的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间 的关系。 事实上,由于 可见价格P的微小变化 引起的销售收益 R=PQ的改变量的近似值为 28 即 当 时，当价格发生1% 的改变时，对收 益没有明显的影响； 当 时，需求量增加(减少)的百分比大 于价格下降(上浮)的百分比,降低价格 会使消费者用于购买商品的支出增加，这时销 售者的收益增加 可以采取薄利多销多收 益的经济策略； 29 当 时，需求量增加(减少)的百分比 小于价格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使消费者用于购买商品的支出减少，这时销 售者的收益减少 ,提高价格会使总收益 增加。 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约， 高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性 商品采取提高价格增加经济收益的策略。 30 例1 设某商品的需求函数为Q=400-100p,求p=1,2,3 时的需求价格弹性,