等比数列的概念及性质.doc

中国领先的中小学教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号11sh11sx00学员编号: 年 级： 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题等比数列的概念及性质授课日期及时段 教学目标1、理解并掌握等比数列的概念，等比中项的概念；2、掌握等比数列通项公式的求法；3、掌握等比数列前项和公式；4、掌握等比数列的几种等价形式；5、理解并掌握等比数列的重要性质。教学内容、知识点梳理一、等比数列（1）等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母表示.【注意】公比，也即等比数列中任意一项都不为0。（2）等比中项 与等差中项的概念类似，如果成等比数列，那么G叫做的等比中项. 等比中项的性质： 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的乘积. 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项. 以G为等比中项的三个数可表示为：，体现了和谐性与对称性。 例1、在数列中，如果数列为等比数列，求公比及，并用计算器计算、. 例2、在2与9之间插入两个数，使前三个数依次成等差数列，后三个成等比数列，试求出这个数列. 例3、有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数.【小结】合理利用等差中项与等比中项的性质，可使本题求四个量转化为求两个量.二、等比数列的通项公式，* （可用累乘法推导） 例4、一个等比数列第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项和第2项。 例5、己知、是项数相同的等比数列，且公比分别为 求证：.也是等比数列，并求它的公比三、等比数列的性质：由通项公可以推导出许多性质： 时递增;时递减;为常数列. 时, 是摆动数列； ； 若.则， 特别地：；若 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积； 项数成等差数列的项组成等比数列； 也是等比数列,公比均为； 、是项数相同的等比数列，且公比分别为，则.也是等比数列，并且它的公比=.【思考】 、是项数相同的等比数列，且公比分别为（1）为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为_；如果不是，请说明理由.（2）为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为_；如果不是，请说明理由. 例6、已知等比数列（1）若，求的值.（2）若求的值.（3）若，求的值. 例7、各项为正数的等比数列的公比且成等差数列,则的值是( ) A、 B、 C、 D、 例8、等比数列中, 则( ) A、 B、 C、 D、 例9、一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列,求其中最小的角的正弦值. 例10、如果数列an满足是首项为1，公比为2的等比数列，则等于 （ ） A、 B、 C、 D、四、等比数列的前项和公式若等比数列的公比为，它的前项和为，则（1）当时，=_（2）当时，=_ =_ （可用错位相减法推导）【注意】（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况. 例11、求等比数列的前8项的和. 例12、在等比数列中，（1），=_（2）, =_（3）等比数列1，2，4，8，从第5项到第10项的和为_五、等比数列每的和仍然是一个等比数列，即数列为等比数列假设等比数列的公比为,则等比数列每项的和组成的新数列的公比=_如果设等比数列的前项和为，则新数列可表示为所以有： 例13、已知等比数列的前项和为，若=10，=70，求。 例14、某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量达到30000台？（保留到个位） 例15、求和 （）.小练习： 求和 （）。【小结】 对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q1两种情况：例16、在等比数列an中，a1an=66，a2an1=128，且前n项和=126，求n及公比q 例17、在等比数列an中，已知对nN*，a1a2an2n1，求a12a22an2六、等比数列的几种等价形式为等比数列（常数）（p,q为常数）（m,q为常数m、q都不为0）课后练习： 1、若两数的等差中项是6,等比中项是5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) A、 B、 C、 D、 2、等比数列的前10项的和为32,前20项的和为56,那么前30项的和为 ( ) A、72 B、73 C、74 D、88 3、在各项为正数的等比数列中,则( ) A、8 B、10 C、12 D、 4、等比数列的前项和为,则公比 5、已知成等差数列, 成等比数列,则 6、设数列满足,且则= 7、设是公比为q的等比数列，是它的前n项和。若是等差数列，则q = _ 8、已知是等比数列，求的值. 9、数列an是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n 10、某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m2，求2000年底该市人均住房的面积数(已知1.0151.05，精确到0.01 m2) 11、已知数列满足a1=1，()（1）求证数列是等比数列；（2）求的通项公式。 1