《几何与代数》PPT课件.ppt

6.2 空间的曲面与曲线 将空间曲线c 看成某两个曲面S1: F(x, y, z ) = 0 与 S2: G(x, y, z ) = 0的交线，则 若点P(x, y, z) 在曲面S 上 F(x, y, z) = 0，则称 F(x, y, z) = 0为曲面S的方程。 称为空间曲线c 的一般方程。 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 S S P(x, y, z) F(x, y, z) = 0 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 x = x(t) y = y(t) z = z(t) 曲面的一般方程: 曲线的一般方程: 曲线的参数方程: 一、常见曲面 基本问题： (1) 给出图形，建立曲面方程； (2)已知坐标满足的方程，研究其表示的曲面。 1. 球面 (1) 以点P0(x0, y0, z0)为球心，R为半径的球面方程 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = R2 (2) 球面方程的特点: 三元二次; 二次项x2, y2, z2前面的系数相同; 没有xy, yz, zx这类交错项。 (3) 由方程 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D = 0，配方得 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = k x y z O R ax2 + ay2 + az2 + bx + cy + dz + e = 0 (x )2 + (y )2 + (z )2 = k b 2a c 2a b 2a 当k 0时: 球面, 球心( , , ), b 2a c 2a b 2a 半径 k 当k = 0时: 点 当k 0) 令y = acost, z = asint, 代入x2 + z2 = b2得 x = b2 a2sin2t 由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x = b2 a2sin2t (0 t 0)的简图. 得z2 + z 20 = 0, 解: 由 x2+y2+z2 = 25 z = x2+y25 而z 0, 所以z = 4. 因而该曲线也可以看成柱面 x2+y2 = 9与平面z=4的交线，其 简图如右图所示。 O x y z 1. 椭球面 2. 单叶双曲面 3. 双叶双曲面 4. 二次锥面 5. 椭圆抛物面 6. 双曲抛物面(马鞍面) 一、二次曲面的标准方程 6.3 二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面 所谓二次曲面，就是由一个三元二次方程所表示 的曲面，可以利用二次型来研究它。 对于一般的二次曲面 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 其中x = (x1, x2, x3)T，A = (aij) 为3阶实对称矩阵， BT = (b1, b2, b3)。 由正交变换x = Qy化为 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 1. 当秩(A) = 3时，再配方为 h(z1, z2, z3) = 1z12 +2z22 +3z32 + c = 0 原点不动的坐标轴旋转 坐标轴平移 根据系数 1 , 2 , 3 和常数 c 取值 1. 椭球面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y ba c z O x y ba c z O 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 区 域: 截 面: 用z=h截得的截线: 为椭圆 用x=h, y=h截得的截线类似 2. 单叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 区 域: 截 面: 用z=h截得的截线 椭圆 用y=k截得的截线 无界 双曲线 双曲线 两直线 用x=l截得的截线与y=k类似 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 区 域: 截 面: 用z=h截得的截线 椭圆 用y=k截得的截线 双曲线 用x=l截得的截线与y=k类似 3. 双叶双曲面 x y z O z=c之上z=c之下 无交 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 截 面: 用z=h截得的截线 椭圆 用y=k截得的截线 用x=l截得的截线与y=k类似 4. 二次锥面 x y z O 双曲线 两直线 过原点沿 椭圆移动 2. 单叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 3. 双叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 4. 二次锥面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) x y z O 5. 椭圆抛物面 2. 当秩(A) = 2时, 再配方 h(z1, z2, z3) = 1z12 +2z22 + bz3 = 0 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 对称性: 关于yOz、 xOz 、z轴对称 区 域: 截 面: 椭圆 z0 抛物线 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 根据1 , 2 和 常数 b 取值 6. 双曲抛物面(马鞍面) x2 a2 y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 对称性: 关于yOz、 xOz 、z轴对称 区 域: 截 面: 无限伸展 抛物线开口向上 双曲线 双曲线 两直线 抛物线开口向下 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 x = Qy 保持原点不动的坐标轴旋转 坐标轴的平移 g(y) = yTy + BTy + c = 0 y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d 一般的二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面 条件方 程p,qd二次曲面 p=3,q=0 r(A)=3 b=0 椭球面 球面 p=2, q=1 d0 p=0,q=3 d0 d 0, 而1 = 2 0, 3 = |A| = 1k2/2. 由此可得, k 时, 原方程表示一个椭球 面. 22 x2 + y2 + z2 2xz + 4x + 2y 4z 5 = 0 例11. 试用直角坐标变换化简下面的方程. 解: 令A = 1 0 1 0 1 0 , 1 0 1 则原方程可写成 TA + = 5, = 4, 2, 4, = x y z , 先求得正交矩阵Q = , 21 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 使QTAQ = 1 0 0 0 2 0 . 0 0 0 但这里|Q| = 1. 可得x2 + 2z2 = 10, 这表示一个椭圆柱面. 令 = P, 其中 = u, v, wT, 则原方程化为 故取P = 21 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 , 则P也是正交矩阵, 且|P| = 1. 2(u+1)2 + 2(w+ )2 = 10, 2 u2 + 2w2 + 2u + 4 w 5 = 0 再令 x y z = + 2 1 0 u v w , x y z = 2 1 0 u v