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第3章 离散系统的数学描述 第3章离散系统的数学描述 为了研究离散系统的性能，需要给出离散系统的数学模 型。离散系统的数学模型主要有差分方程、脉冲传递函数和 离散状态空间表达式三种。这些描述方法虽然形式不同，但 在描述同一系统时却是等价的，并且可以相互换算，离散系 统的每一种数学描述相对连续系统均有类似的方法与之对应 。例如数字控制系统的时间脉冲序列对应于连续系统的时间 脉冲响应；差分方程对应于微分方程；脉冲传递函数对应于 传递函数；离散状态空间表达式对应于连续状态空间表达式 等等。 1 第3章 离散系统的数学描述 3.1 线性差分方程 3.2 脉冲传递函数 第3章 离散系统的数学描述 2 第3章 离散系统的数学描述 3.1 线性差分方程 1离散系统的定义 一、离散系统的数学定义一、离散系统的数学定义 将输入序列 ，变换为输出序列 c(n)的一种变换关系，称为离散系统，记作 （3-1） 式中：r(n)和c(n)可以理解为t=nT时,系统的输入序列 r(nT)和输出序列c(nT) ，T为采样周期。 说明：1）讨论离散系统时, 仅关注采样时刻上各信号间的关系; 2）离散系统反映的是输入序列与输出序列之间的一种 变换关系，或者称映射关系。 3 第3章 离散系统的数学描述 2线性离散系统的定义 若 , 且有 ,其 中a，b为任意常数，则： 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统， 即有如下关系式： 3线性定常离散系统的定义 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统， 称为线性定常离散系统，也称作线性时不变离散系统。 4 第3章 离散系统的数学描述 二、线性常系数差分方程及其解法二、线性常系数差分方程及其解法 1线性常系数差分方程 线性定常离散系统可用n阶后向差分方程来描述： 即： 式中： 和 为常系数， ，上式 称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定 常离散系统。 （3-2） 说明：1）上式所描述的系统实际上是一个因果系统； 2）差分方程中序号的最大差值称为方程的阶。 5 第3章 离散系统的数学描述 线性定常离散系统也可用n阶前向差分方程来描述 ： 说明： 1）后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序； 2）前向差分方程：便于讨论系统阶次，从而便于使 用Z变换法计算线性常系数差分方程的解。 即 （3-3） 6 第3章 离散系统的数学描述 2线性常系数差分方程的解法 经典法 迭代法 Z变换法 线性常系数差分方程的求解方法 后向差分方程或前向差分方程都可以使用迭代法 求解。若已知差分方程（3-2）或（3-3），并且给定 输出序列的初值和输入序列，则可以利用递推关系， 在计算机上一步一步地算出输出序列。 1）迭代法（递推法） 7 第3章 离散系统的数学描述 例4（P301例7-16）：已知差分方程 c(k) = r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) 输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法 求输出序列c(k)，k=0,1,2,10. 解：根据初始条件及递推关系，得： c(0)=0 c(1)=1 说明：用递推法求解差分方程，计算过于烦琐，不易得 到输出序列c(k)的通项表达式。 8 第3章 离散系统的数学描述 2） Z变换法（） 主要思路：在已知输出c(k)的初始值和输入序列 r(k)的情况下，对差分方程两端取Z变换，并利用 Z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方 程，计算出代数方程的解C(z)，再对C(z)取Z反变 换，求出输出序列c(k)。 具体步骤： 根据Z变换实数位移定理对差分方程逐项取Z 变换； 求差分方程解的Z变换表达式C(z)； 通过Z反变换求差分方程的时域解c(k)。 9 第3章 离散系统的数学描述 说明：使用Z变换法时，应采用前向差分方程，利 用超前定理将其转换成以z为变量的代数方程。若 给出的描述系统的差分方程是后向差分方程的话 ，应该先将其转换成前向差分方程，再利用超前 定理将其转换成以z为变量的代数方程。否则的话 ，若直接利用滞后定理将后向差分方程转换为以z 为变量的代数方程的话，计算得到的代数方程的 解C(z)形式通常比较复杂，难以进行Z反变换。 10 第3章 离散系统的数学描述 注意：在应用Z变换法求差分方程的解之前，必须先判断 以下两个问题：1）判断差分方程的类型：若是前向差分 方程，只需直接应用超前定理进行Z变换；若是后向差分 方程，通常需先将其转换成前向差分方程，再利用超前定 理进行Z变换。2）判断差分方程的阶数，确定计算中所需 的的初值个数：由于应用Z变换法计算差分方程的解时， 计算中所需的的初值个数等于差分方程的阶数，所以需要 判断差分方程的阶数。例如一个二阶差分方程，需已知两 个初值c(0)，c(1)才能进行后续计算。若题目中所给的已知 的初值条件不足，必须先设法计算出所需的全部初值，才 能进行后续计算。 11 第3章 离散系统的数学描述 例6（P301例7-17）：用Z变换法解下列差分方程 设初始条件为c(0)=0，c(1)=1。 例7（P347 习题7-8 (1)）：用Z变换法求解下列差分方程 已知 12 第3章 离散系统的数学描述 例9：已知某离散系统的运动方程由下列差分方程描 述： 其中： 试求系统的响应c (kT)。 例8：已知差分方程 输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用 Z变换法计算输出序列c(k) （k0）。 思考题： 13 第3章 离散系统的数学描述 3.2 脉冲传递函数（） 一、 脉冲传递函数定义 图3-1 开环离散系统 脉冲传递函数定义(P302) （） ：在零初始条件下，系 统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比（ 在输入端必须有采样开关），即 图3-2 实际的开环离散系统 14 第3章 离散系统的数学描述 二、脉冲传递函数的物理意义 1. 脉冲传递函数的含义是(P303)：系统脉冲传递函数G(z) ，就等于单位脉冲响应序列K(nT)的Z变换，即 2. 脉冲传递函数G(z)与差分方程的关系: Z变换 15 第3章 离散系统的数学描述 三、脉冲传递函数求法 1. 连续系统的脉冲传递函数G(z)，可以通过其传递函数G(s) 来求取，具体步骤是： 2) 将K(t)按采样周期离散化，得K(nT); 1)用拉氏反变换求脉冲响应K(t)，即 3) 应用Z变换定义求脉冲传递函数G(z) ，即： 2. 根据Z变换表，可以直接从G(s)得到G(z) ，而不必逐步 推导，即定义G(s)的Z变换： 16 第3章 离散系统的数学描述 例11（P305 例7-19）：设图3 -2中所示开环系统中的 图3-2 实际的开环离散系统 试求相应的脉冲传递函数G(z)。 解：将G(s)展成部分分式 查Z变换表得 17 第3章 离散系统的数学描述 例12： 已知系统差分方程如下，计算G(z)。 解：对差分方程两边取Z变换，应用滞后定理得： 整理得： 所以系统脉冲传递函数为： 18 第3章 离散系统的数学描述 四、 开环系统脉冲传递函数 注意：在研究系统的脉冲传递函数时，要特别关注 采样开关的数目和位置，它们直接影响着脉冲传递 函数的形式。 从以下几个方面讨论： 1）有串联环节时的开环系统脉冲传递函数； 2）（）有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数。 3）有并联环节时的开环系统脉冲传递函数（补充）； 19 第3章 离散系统的数学描述 1采样拉氏变换的两个重要性质 （1） 采样函数的拉氏变换具有周期性，即 （2）（）(P305)若采样函数的拉氏变换E*(s)与连 续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化，则E*(s)可 以从离散符号中提出来，即 20 第3章 离散系统的数学描述 2有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 当开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传 递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即使两 个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采样 开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数 也会截然不同。因此计算时要特别注意：环节之间 有无采样开关及开关位置。考虑由两个串联环节构 成的开环离散系统，有两种不同的情况： （1）串联环节之间有采样开关; （2）串联环节之间无采样开关。 21 第3章 离散系统的数学描述 （1）串联环节之间有采样开关 图3-3 串联环节之间有采样开关 开环系统脉冲传递函数： 即有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉 冲传递函数，等于这两个环节各自脉冲传递函数之积。 图3-4 图3-3的等效离散系统方框图 22 第3章 离散系统的数学描述 （2）串联环节之间无采样开关 图3-5串联环节之间无采样开关 开环系统脉冲传递函数为： 没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲 传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应Z变换。 图3-6 图3-5的等效离散系统方框图 23 第3章 离散系统的数学描述 例13（P307例7-20）：设开环离散系统如图3-3和图3-5所示 ，其中： ， ，输入信号 ，试求两 个系统的脉冲传递函数G(z)和输出的Z变换C(z)。 解： 图3-3:有采样开关隔开 图3-5：无采样开关隔开 在串联环节之间有无同步采样开关隔离时， 其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不同的。 但是，不同之处仅表现在其零点不同， 极点仍然一样，这也是离散系统的特有的现象。 24 第3章 离散系统的数学描述 3有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数（） 图3-7 零阶保持器的开环离散系统 图3-8 图3-7的等效开环系统 （） 25 第3章 离散系统的数学描述 例14（P308例7-21）：设离散系统如图3-7所示， 已知： 求系统的脉冲传递函数 G(z)。 解： 结论:零阶保持器不影响离 散系统脉冲传递函数的极点 26 第3章 离散系统的数学描述 例15：（Z变换测试题）已知: 采样周期T = 1秒，计算 。 解： 27 第3章 离散系统的数学描述 4有并联环节时的开环系统脉冲传递函数（补充） 图3-9 并联环节的开环离散系统 并联环节的开环系统脉冲传函为: 即：输入端具有采样开关的并联环节的脉冲传递函 数等于各环节的脉冲传递函数之和 。 图3-10 图3-9的等效离散系统方框图 28 第3章 离散系统的数学描述 五、闭环系统脉冲传递函数（） 对于线性离散控制系统，由于采样开关的数 目和位置不同，使得闭环脉冲传递函数不像连续 系统那样具有统一的形式。因此，在求离散控制 系统的闭环脉冲传递函数时，要根据采样开关的 实际情况进行具体分析。 对偏差信号进行采样的系统 不对偏差信号进行采样的系统 29 第3章 离散系统的数学描述 （a）系统框图 Y(z) - R(z)C(z)E(z) G(z) GH(z) 1对偏差信号进行采样的系统 （b）等效离散系统框图 图3-12 对误差进行采样的闭环离散系统结构图 误差脉冲传递函数 ： 脉冲传递函数： 闭环离散系统的特征方程 ： - 30 第3章 离散系统的数学描述 注意1：对偏差信号进行采样的离散系统其闭环脉冲传 递函数与连续系统的闭环传递函数形式上很相似，但要 注意：由于采样开关在闭环系统中有多种配置形式，所 以 决不能对 取Z变换得来，即 注意2：P312表7-3给出了采样开关在闭环系统中具有 各种配置的闭环离散系统结构图，及其输出采样信号 的Z变换函数C(z)，显然表中1，3，4，7，8项是对偏 差进行采样的系统框图。 31 第3章 离散系统的数学描述 例17（P310例7-22）：设闭环离散系统结构图如下图所示 试证其闭环脉冲传递函数为： 图3-13(a) - r*(t) y*(t) y(t) c*(t) 32 第3章 离散系统的数学描述 解：由图3-13(a)可见，每两个采样开关之间有如下关系式： 图3-13(b) 与图3-13(a)等效的离散系统框图 33 第3章 离散系统的数学描述 2不对偏差信号进行采样的系统 (a) 系统框图 （b）系统的等效框图 图3-14 不对偏差信号采样的闭环离散系统结构图 RG1*(s) Y*(s) Y(s) 34 第3章 离散系统的数学描述 由3-14（b）可得： 式中： 图3-14(c) 与图3-14(b)等效的离散系统框图 35 第3章 离散系统的数学描述 注意1：由于不对偏差信号进行采样，使得R(z)不 能独立出来，此时不可能求出闭环离散系统对于 输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信 号的Z变换函数C(z), 但这并不妨碍对C*(t)的研究. 注意2：P312表7-3中2，5，6项是不对偏差进行采 样的系统框图。 36 第3章 离散系统的数学描述 例18（P311例7-23）：设闭环离散系统结构图如图3-15 所示，试证其输出采样信号的Z变换函数 图3-15(a) 37 第3章 离散系统的数学描述 解：法1（教材P311） 法2： 图3-15(b) 图3-15(a)的等效框图 图3-15(c) 图3-15(b)的等效离散系统框图 38 第3章 离散系统的数学描述 例19（P347 习题7-10（a） 求下列闭环离散系统的脉冲传递函数。 解：虚设采样开关，各信号之间的Z变换关系式为： 39 第3章 离散系统的数学描述 (2)、(3)代入(4)得： (5)代入(1)得： (5) 图3-16(b) 图3-16(a)的等效离散系统框图40 第3章 离散系统的数学描述 六、Z变换法的局限性及修正Z变换（简介） 1Z变换法的局限性（P313） （1）Z变换的推导是建立在假定采样信号可以用 理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的 面积，就等于采样瞬时上的时间函数。这种假定 ，只有当采样持续时间与系统的最大时间常数相 比是很小的时候，才能成