向量组的线性相关性1.ppt

CH4 向量组的线性相关性 向量组的线性相关性 n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间 1 N维向量的概念 1 1、定义、定义个数 组成的有序数组 称为一个维向量，其中 称为第 个分量（坐标）. 维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 如： 记作,. 维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， 一、维向量一、维向量（Vector） 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2 2、几种特殊向量、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 4、对应分量相等的向量相等. 二、向量的运算二、向量的运算 1 1、加法、加法 2 2、数乘、数乘 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 3 3、运算律、运算律 （1） （交换律） （2） （结合律） （3） （4） (设,均是维向量,，为实数) （5） （6） （7） （8） . ,),( 21 T 21 维向量空间叫做 集合维向量的全体所组成的 n RxxxxxxXR n nn n = L L . ,),( 3 叫做三维向量空间 的集合三维向量的全体所组成 RzyxzyxrR T = 三、应用举例三、应用举例 例例1 1 设 求 解 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 即或 向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系 其第个列向量记作 个维行向量. 按行分块 按列分块 个维列向量. 其第个行向量记作 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清. 2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关性定义 线性相关 线性无关 的一个线性组合 则称 为向量 定义 2 使得一组实数 若存在设n维向量 , , 21 21 m m kkk aaa L L , m a L a 12 a 线性表示 或称 能由向量, m a L a 12 a )( 组成的集合叫做向量组. 所或同维数的行向量若干个同维数的列向量 16 定义3 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关. 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关 两个向量线性相关 它们对应分量成比例 17 i.e. 二、判别方法 1. 向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无) (没) (没) 18 19 2. 21 第i个分量 3. 22 从向量组中找尽量多的线性无关向量 例 2 解 例 3 证一 三、性质 28 整体无关部分无关 部分相关整体相关 30 定义 练习 设向量组 线性相关，则 . 4 向量组的秩 4 向量组的秩 向量组等价 极大线性无关组与向量组的秩 向量组的秩与矩阵秩的关系 矩阵的秩与矩阵的运算 1.定义4 一、向量组等价 2.性质 1）自反性 2）对称性 3）传递性 具有以上性质的关系称为等价关系 1 定义7 二、极大线性无关组与向量组的秩 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系 其第个列向量记作 个维行向量. 按行分块 按列分块 个维列向量. 其第个行向量记作 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清. 证 证明 设的某些列有关系 则相应的 具有相同的线性关系. 即 中列向量组与中列向量组 解： 总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的 方法 方法1：矩阵的初等行变换法 （1）以向量组中的向量为列向量作矩阵 （2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形） （3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求 方法2：录选法 （1）在向量组中选一个非零向量 （2）再选一个与的对应分量不成比例的向量 （3）再选一个不能由线性表出的向量线性表出的向量 四、矩阵的秩与矩阵的运算 例14. 练习. 证明: 5 向量空间 向量空间 概念 基与维数 向量的坐标 说明 一、向量空间的概念 定义1 设V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空 ， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 为向量空间 例2 例1 例3 例4 练习1 练习2 例5 那么，向量组 就称为向量 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间 二、向量空间的基与