随机信号分析与处理简明教程第二章习题答案.pdf

第 2 章习题解答 第 2 章习题解答 2.1 设有正弦波随机过程( )cosX tVt=，其中0 时， 1/cos0cos ( , ) 0 X txt fx t else 所以， zz R (0)R ( ) 2.8 设随机过程 X(t)的均值为( ) X mt，协方差函数为 12 ( , ) X Kt t，( ) t为普通确知函数。试 求随机过程( )( )( )Y tX tt=+的均值和协方差函数。 解: ( )( )( )( )( ) YX m tE X ttmtt=+=+， 121122 11112222 12 ( , ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( , ) YYY XX X Kt tE Y tm tY tm t EX ttmttX ttmtt Kt t = =+ = 2.9 设有复随机过程 1 ( ) k N jt K k Z tA e = =， 其中,1,2, k A kN=?分别服从 2 (0,) k N， 且相互 独立，(1,2,) k kN=?是常数，试求该过程的均值和相关函数。 解： 1 1 ( ) 0 k k N it Xk k N it k k mE Z tEA e E A e = = = = （和的期望等于期望的和） x 11 ()2 111 ( , )( )( ) km mkk NN isis Km km NNN itisis t kmk kmk R s tE X s X tEA eA e E A Aeee = = = = 注意： 2, 0 k km km E A A km = = 2.10 给定随机过程( )cossinX tAtBt=+，其中为常量，A 和 B 是两个独立的正态 随机变量，而且 0E AE B=， 222 E AE B=。试求随机过程 X(t)的均值和自 相关函数，并判断它的平稳性。 解：( )cossin cos sin0E X tE AtBtE AtE Bt=+=+= 由于 A 和 B 是互相独立的，且EA=EB=0 1212 1122 22 1212 2 12 ( , )( )( ) cossincossin coscossinsin cos() X Rt tE X t X t EAtBtAtBt E AttE Btt tt = =+ =+ = 所以 X(t)是广义平稳随机过程， 2 ( )cos X R=，( )( ) XX KR= 又 )sincos)(sincos)(sincos(),( 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttRX+= sincos)(sinsincossinsincoscoscos( 302010 2 201020102010 2 BtAttBttABttABttAE+= sin)sinsincossinsincoscoscos( cos)sinsincossinsincoscoscos( 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE + += sinsinsincoscoscos 302010 3 302010 3 tttBEtttAE+= 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 2.11 给定随机过程X(t)和常数a， 试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)=X(t+a)-X(t) 的自相关函数。 解: ( )2( )()() YXXX RRRaRa=+ 2.12 设随机过程( ),X tXYt tR=+而随机矢量 T ( , )X Y的协方差阵为 2 1 2 2 ， 试求随机过程 X(t)的协方差函数。 解：解： 22 1212 1 212 ( , )() X Kt tt ttt=+ 2.13 设有一脉冲串，其脉宽为 1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，幅值为1 或1；各脉冲 取1 或1 是相互独立的；脉冲的起始时间均匀分布于单位时间内。求此随机过程的相关 函数。此过程的一个样本函数见图 2.27 0 1 -1 t ( )x t 图2.27 样本函数示意图 0 1 -1 t ( )x t 图2.27 样本函数示意图 解：解：随机过程可以表示为 0000 ( ) ()(1),1 k X tA u tktu tkttkt kt=+，其中，,1,2, k A k =?是相 互独立同分布的随机变量， 0 1,0 110.5, ( ), 0,0 kk t p Ap Au tt t = = +， () 0000 ,( )( ) ()(1) ()(1) X kl Rt sE X t X s E A A u tktu tktu sltu slt = 当kl时，( , )0 X Rt s =；当kl=时，有 () 2 0000 2 0000 0000 0000 0 , ()(1) ()(1) ()(1) ()(1) ()(1) ()(1) 1,1 1 X k k Rt s E A u tktu tktu sktu skt E AE u tktu tktu sktu skt E u tktu tktu sktu skt kttktttkt tskt = = = + = 是在0 2 ,中均匀分布的随机变量，且与A统计独立，为常量。试问( )X t是否为平 稳随机过程？ 2.20 设( )X t为一平稳随机过程，若对应于某一个0T ，( )X t的自相关函数( ) X R满足 ( )(0) XX RTR=，证明( ) X R必为以 T 为周期的周期函数。 2.21 若 两 个 随 机 过 程( )X t、( )Y t均 不 是 平 稳 随 机 过 程 ， 且( )( )cosX tA tt=， ( )( )sinY tB tt=。式中随机过程( )A t、( )B t是相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同 的相关函数。证明： ( )( )( )Z tX tY t=+是广义平稳随机过程。 2.22 设)(tX和)(tY是两个联合平稳的随机过程，证明： (1) )0()0()( 2 YXXY RRR (2) )0()0()(2 YXXY RRR+ (3) 22 2 )( YXXY K 2.23 已知平稳随机过程的相关函数为 2| | ( ) XX Re = 和 2 ( )(1|) XX R =， 1/ 试求其相关时间 0。 解: (1) 0 1 , =(2) 0 1 2 = 2.24 设随机过程( )cos()X tAt=+，其中 A 和是常量，是在(0 2 ,)上均匀分布的 随机变量。试求该过程的时间自相关函数和集合自相关函数，二者是否相等？ 2.25 设随机过程( )( )cos( )sinZ tX ttY tt=，其中为常量，( )X t、( )Y t为平稳随 机过程。试求： (1) )(tZ的自相关函数 12 ( , ) Z Rt t； (2) 如果( ) X R=( ) Y R，( )0 XY R=，求 12 ( , ) Z Rt t。 解: (1) ()( )( ) ()() 21212121 212121 cossin,sincos, sinsincoscos, ttttRttttR ttRttRttR YXXY YXZ += (2) ( )( )cos XZ RR= 2.26 两个统计独立的平稳随机过程( )X t和( )Y t，其均值都为 0，自相关函数分别为 | | ( ) X Re = ，( )cos2 Y R=，试求： (1) )()()(tYtXtZ+=的自相关函数； (2) )()()(tYtXtW=的自相关函数； (3) 互相关函数)( ZW R。 解:（1）( ) 2cos+= eRZ （2）( )( ) ZW RR= （3）( ) 2cos= eRZW 2.27 设( )X t是雷达发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为 1 ()X t，其中 1 ， 1 是信号返回时间。由于接收到的信号总是伴随有噪声( )N t，于是接收到的信号 为 1 ( )()( )Y tX tN t= +。 (1)如)(tX和)(tY是联合平稳过程，求互相关函数( ) XY R； (2)在(1)的条件下，假如)(tN为零均值，且与)(tX统计独立，求( ) XY R。 解: （1） ( ) ()( ) 1 1 1 ( ) () ( )()() ( )()( )() XY XXN RE X t Y t E X t aX tN t E aX t X tE X t N t aRR =+ =+ =+ =+ （2） ( ) () 1 1 ( )()( )() XY X RE aX t X tE X t N t aR =+ = 2.28 证明相关函数具有非负定性，即对于任意 N 个复数 12 , N ?，有 * 11 ()0 NN ijXij ij Rtt = 式中的*号代表取复共轭。 2.29 证明严格循环平稳的定理 1。 2.30 证明广义循环平稳的定理 2。 2.31 已知平稳随机过程( )X t的功率谱密度为 2 42 ( ) 32 X G = + 试求)(tX的均方值。 解: 2 1 ( )(0)( 21) 2 x E XtR = = 2.32 已知平稳随机过程( )X t的自相关函数为 ( )4coscos3 X Re =+ 试求功率谱密度)( X G。 解：解：根据维纳辛钦定理，功率谱密度( ) X G就是自相关函数( ) X R的傅立叶变换。 | | 2 2 1 e + ，同时 000 1 ( )cos ()() 2 f ttFF+ 所以 | | 22 122 4cos4 2 1 ()1 () e + + | | 22 44 ( )4cos()() 1 ()1 () X Ge =+ + 2.33 设( ) X G是一个随机过程的功率谱密度函数， 证明 22 ( )/ X d Gd不可能是功率谱密 度函数。 2.34 随机序列 Xn的相关函数为 | | ( ),| 1 m X Rmaa=中，得 123 22222 132122313 2 2 ( )( ,) 11 exp(4)()4 ()8 2(8) 2 2 (8) XX ffx x x xxxx xx xx x = + x 2.