2016年山东省潍坊市高考数学一模理科试卷含答案解析.doc

2016年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）a1b1c2d22已知集合p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，若m=pq，则m的子集个数为（）a5b4c3d23在abc中，pq分别是ab，bc的三等分点，且ap=ab，bq=bc，若=， =，则=（）a +b +c d 4已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数f（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）abcd5已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线c的离心率为（）abcd6已知p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，恒成立，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，以下四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn其中正确命题的个数是（）a4b3c2d18设函数y=f（x）（xr）为偶函数，且xr，满足f（x）=f（x+），当x2，3时，f（x）=x，则当x2，0时，f（x）=（）a|x+4|b|2x|c2+|x+1|d3|x+1|9执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数k的最大值是（）a18b50c78d30610已知函数f（x）=ax+lnx有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则（1）2（1）（1）的值为（）a1aba1c1d1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11观察式子，则可归纳出12已知abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且acosb+bcosa=3ccosc，则cosc=13如图，在边长为1的正方形oabc中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为14将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有种（用数字作答）15已知抛物线y2=2px的准线方程为x=1焦点为f，a，b，c为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点b在x轴下方，若，则直线ac的方程为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4sin（x）cosx在x=处取得最值，其中（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象若为锐角g（）=，求cos17如图所示的几何体中，四边形abcd和四边形bcef是全等的等腰梯形，且平面bcef平面abcd，abdc，cebf，ad=bc，ab=2cd，abc=cbf=60，g为线段ab的中点（1）求证：acbf；（2）求二面角dfgb（钝角）的余弦值18已知正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=a，数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1（）求数列an，bn的通项公式；（）记tn=anb2+an1b4+a1b2n，求tn19某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：a、b、c三级为合格等级，d为不合格等级百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级abcd为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（i）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从a、c两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为c等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望20已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点f且倾斜角为30的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1（i）求椭圆e的方程；（）若动直线l交椭圆e于不同两点m（x1，y1），n（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（bx2，ay2），o为坐标原点当以线段pq为直径的圆恰好过点o时，求证：mon的面积为定值，并求出该定值21函数f（x）=（xa）2（x+b）ex（a，br）（1）当a=0，b=3时求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时设x1，x2，x3（其中x1x2x3）是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在说明理由2016年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）a1b1c2d2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得a值【解答】解： =是纯虚数，a=2故选：d【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2已知集合p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，若m=pq，则m的子集个数为（）a5b4c3d2【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出p与q的交集确定出m，即可求出m子集的个数【解答】解：p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，m=pq=3，5，则m的子集个数为22=4故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3在abc中，pq分别是ab，bc的三等分点，且ap=ab，bq=bc，若=， =，则=（）a +b +c d 【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】利用平面向量的线性运算的几何意义，使用表示出【解答】解： =ap=ab，bq=bc， =， =故选：a【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题4已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数f（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）abcd【考点】函数的图象【专题】应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断【解答】解：f（x）=x2+2=f（x），g（x）=log2|x|=g（x），f（x）=f（x）g（x）=f（x）g（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，当x+时，f（x），g（x）+，当x+时，f（x），故选：b【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题5已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线c的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，设虚轴的一个端点m（0，b），结合焦点f1、f2的坐标和f1mf2=120，得到c=b，再用平方关系化简得c=a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点m（0，b），f1（c，0），f2（c，0），设f1mf2=120，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e=故选：b【点评】本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为120度，求双曲线的离心率着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题6已知p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，恒成立，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】对于命题p：利用二次函数的单调性可得：1a，p：a1对于命题q：由于x0，利用基本不等式的性质可得： =x+2，即可得出结论【解答】解：p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，1a，p：a1q：x0， =x+=2，当且仅当x=1时取等号，a2则p是q的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，以下四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn其中正确命题的个数是（）a4b3c2d1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在中，m与n平行或异面；在中，由直线与平面垂直的性质得mn；在中，m与n相交、平行或异面；在中，由面面垂直和线面垂直的性质得mn【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面，知：在中，若m，n，且，则m与n平行或异面，故错误；在中，若m，n，且，则由直线与平面垂直的性质得mn，故正确；在中，若m，n，且，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若m，n，且，则由面面垂直和线面垂直的性质得mn，故正确故选：c【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用8设函数y=f（x）（xr）为偶函数，且xr，满足f（x）=f（x+），当x2，3时，f（x）=x，则当x2，0时，f（x）=（）a|x+4|b|2x|c2+|x+1|d3|x+1|【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性条件推出函数是周期为2的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可【解答】解：xr，满足f（x）=f（x+），xr，满足f（x+）=f（x+），即f（x）=f（x+2），若x0，1时，则x+22，3，f（x）=f（x+2）=x+2，x0，1，若x1，0，则x0，1，函数y=f（x）（xr）为偶函数，f（x）=x+2=f（x），即f（x）=x+2，x1，0，若x2，1，则x+20，1，则f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x2，1，即f（x）=，故选：d【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键9执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数k的最大值是（）a18b50c78d306【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的整数k的最大值【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，s=0s=2，n=2不满足条件sk，s=6，n=3不满足条件sk，s=2，n=4不满足条件sk，s=18，n=5不满足条件sk，s=14，n=6不满足条件sk，s=78，n=7由题意，此时满足条件78k，退出循环，输出n的值为7则输入的整数k的最大值是78故选：c【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目10已知函数f（x）=ax+lnx有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则（1）2（1）（1）的值为（）a1aba1c1d1【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】先分离参数得到a=，令h（x）=求导后得其极值点，h（x）在（0，1），（e，+）上为减函数，在（1，e）上为增函数再令a=，转化为关于的方程后由根与系数关系得到1+2=1a0，12=1a0，再结合=的图象可得到（1）2（1）（1）的值【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=，令h（x）=，由h（x）=0，得x=1或x=e当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，e）时，h（x）0；当x（e，+）时，h（x）0即h（x）在（0，1），（e，+）上为减函数，在（1，e）上为增函数0x11x2ex3，a=，令=，则a=，即2+（a1）+1a=0，1+2=1a0，12=1a0，对于=，=则当0xe时，0；当xe时，0而当xe时，恒大于0画其简图，不妨设12，则1=，2=3，（1）2（1）（1）=（11）2（12）（13）=（11）（12）2=1（1a）+（1a）2=1故选：d【点评】本题考察了利用函数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强属于压轴题范畴二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11观察式子，则可归纳出（n1）【考点】归纳推理【专题】阅读型【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1不等号右边的分子是2n+1，1+（n1）故答案为：（n1）【点评】本题考查归纳推理归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12已知abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且acosb+bcosa=3ccosc，则cosc=【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】利用余弦定理化简已知可得a2+b2c2=，由余弦定理即可求得cosc的值【解答】解：acosb+bcosa=3ccosc，利用余弦定理可得：a+b=3c，整理可得：a2+b2c2=，由余弦定理可得：cosc=故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题13如图，在边长为1的正方形oabc中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为【考点】几何概型【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】根据题意，易得正方形oabc的面积，观察图形，由定积分公式计算阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案【解答】解：根据题意，正方形oabc的面积为11=1，由函数y=x与y=围成阴影部分的面积为01（x）dx=（）|01=，由于y=x2与y=互为反函数，所以阴影部分的面积为，则正方形oabc中任取一点p，点p取自阴影部分的概率为故答案为：【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积14将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有18种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合【分析】先把4个小球分为（2，1，1）一组，其中2个连号小球的种类有（1，2），（2，3），（3，4）为一组，再全排列即可，【解答】解：先把4个小球分为（2，1，1）一组，其中2个连号小球的种类有（1，2），（2，3），（3，4）为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有c31a33=18种，故答案为：18【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分组分配，属于基础题15已知抛物线y2=2px的准线方程为x=1焦点为f，a，b，c为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点b在x轴下方，若，则直线ac的方程为2xy1=0【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设a，b，c的坐标，根据成等差数列，且点b在x轴下方，若，求出x1+x3=2，x2=1，然后求出直线ac的斜率和a，c的中点坐标，进行求解即可【解答】解：抛物线的准线方程是x=1，p=2，即抛物线方程为y2=4x，f（1，0）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），|，|，|成等差数列，|+|=2|，即x1+1+x3+12（x2+1），即x1+x3=2x2，（x11+x21+x31，y1+y2+y3）=0，x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，则x1+x3=2，x2=1，由y22=4x2=4，则y2=2或2（舍），则y1+y3=2，则ac的中点坐标为（，），即（1，1），ac的斜率k=2，则直线ac的方程为y1=2（x1），即2xy1=0，故答案为：2xy1=0【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线ab的斜率和ab的中点坐标是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4sin（x）cosx在x=处取得最值，其中（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象若为锐角g（）=，求cos【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x），由函数的最值可得，再由周期公式可得；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x），可得sin（）=，进而可得cos（）=，整体代入cos=cos（）+=cos（）sin（）计算可得【解答】解：（1）化简可得f（x）=4sin（x）cosx=4（sinxsinx）cosx=2sinxcosx2cos2x=sin2xcos2x=2sin（2x），函数f（x）在x=处取得最值，2=k+，解得=2k+，kz，又（0，2），=，f（x）=2sin（3x），最小正周期t=；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin3（x+）=2sin（3x）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x）的图象为锐角，g（）=2sin（）=，sin（）=，cos（）=，cos=cos（）+=cos（）sin（）=【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题17如图所示的几何体中，四边形abcd和四边形bcef是全等的等腰梯形，且平面bcef平面abcd，abdc，cebf，ad=bc，ab=2cd，abc=cbf=60，g为线段ab的中点（1）求证：acbf；（2）求二面角dfgb（钝角）的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明ac平面bcef即可（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】解：（1）连接cf，四边形abcd和四边形bcef是全等的等腰梯形，abdc，cebf，ad=bc，ab=2cd，abc=cbf=60，g为线段ab的中点，dgbc，accb，同理cfbc，平面bcef平面abcd，acbc，ac平面bcef，bf平面bcef，acbf；（2）由（1）知cf平面abcd，建立以c为坐标原点，以ca，cb，cf分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：ad=bc，ab=2cd，abc=cbf=60，设bc=1，则ab=2，ac=cf=，则a（，0，0），b（0，1，0），f（0，0，），g（，0），则=（，），=（0，1，0），=（，0），设平面dfg的一个法向量为=（x，y，z），则，则y=0，令x=2，则z=1，即为=（2，0，1），设平面fgb的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则y=，z=1，即为=（1，1），则cos，=，二面角dfgb是钝二面角，二面角（钝角）的余弦值为【点评】本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键18已知正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=a，数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1（）求数列an，bn的通项公式；（）记tn=anb2+an1b4+a1b2n，求tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（i）正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=a，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1可得bnbn+1=3n，b2=3利用递推关系可得：bn+2=3bn可得数列bn的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3即可得出（ii）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（i）正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=a，当n2时，sn+sn1=，相减可得：an+1+an=a，an+1an=1，数列an是等差数列，首项为1，公差为1an=1+（n1）=n数列bn满足bnbn+1=3，且b1=1bnbn+1=3n，b2=3=3，bn+2=3bn数列bn的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3b2k1=3k1，b2k=3kbn=（kn*）（ii）tn=anb2+an1b4+a1b2n=3n+（n1）32+（n2）33+3n3tn=32n+（n1）33+23n+3n+1，2tn=3n32333n3n+1=3n=3n，tn=【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定：a、b、c三级为合格等级，d为不合格等级百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级abcd为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（i）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中，从a、c两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为c等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）由题意知，先求出样本容量，由此能求出n和频率分布直方图中的x，y的值（）成绩是合格等级人数为45人，从而得到从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，由此能求出至少有1人成绩是合格等级的概率（）由题意知c等级的学生人数为9人，a等级的人数为3人，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列及数学期望【解答】解：（）由题意知，样本容量n=，x=0.004，y=0.018，（）成绩是合格等级人数为：（10.1）50=45人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为a，则p（a）=1=（）由题意知c等级的学生人数为0.1850=9人，a等级的人数为3人，故的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列为： 0 1 23 pe=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用20已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点f且倾斜角为30的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1（i）求椭圆e的方程；（）若动直线l交椭圆e于不同两点m（x1，y1），n（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（bx2，ay2），o为坐标原点当以线段pq为直径的圆恰好过点o时，求证：mon的面积为定值，并求出该定值【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（i）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）讨论直线mn的斜率存在和不存在，以线段pq为直径的圆恰好过点o，可得，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值【解答】解：（i）由题意可得e=，过椭圆的左焦点f（c，0）且倾斜角为30的直线方程为：y=（x+c），由直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a2b2=c2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（）证明：（1）当mn的斜率不存在时，x1=x2，y1=y2，以线段pq为直径的圆恰好过点o，可得，即有=0，即有b2x1x2+a2y1y2=0，即有x1x2+4y1y2=0，即x124y12=0，又（x1，y1）在椭圆上，x12+4y12=4，可得x12=2，|y1|=，somn=|x1|y1y2|=1；（2）当mn的斜率存在，设mn的方程为y=kx+t，代入椭圆方程（1+4k2）x2+8ktx+4t24=0，=64k2t24（1+4k2）（4t24）=4k2t2+10，x1+x2=，x1x2=，又=0，即有x1x2+4y1y2=0，y1=kx1+t，y2=kx2+t，（1+k2）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，代入整理，可得2t2=1+4k2，即有|mn|=，又o到直线的距离为d=，somn=d|mn|=|t|=|t|=1故mon的面积为定值1【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题21函数f（x）=（xa）2（x+b）ex（a，br）（1）当a=0，b=3时求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时设x1，x2，x3（其中x1x2x3）是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在说明理由【考点】利用导数研究函数的极