材料力学--12截面的静矩和形心位置.ppt

o y z -1 截面的静矩和形心位置 一、 定义 dA y z 截面对 z , y 轴的静矩为： 静矩可正，可负，也可能等于零。 y z o dA y z 截面的形心 C 的坐标 公式为： y c 截面对形心轴的静矩等于零。 若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 二 、 组合截面 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 其中： Ai 第 i 个简单截面面积 第 i个简单截面的形心坐标 组合截面静矩的计算公式为 计算组合截面形心坐标的公式如下： 10 10 120 o 80 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 1 2 y x 例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。 10 10 120 o 80 1 2 y x 矩形 1 矩形 2 所以 10 10 120 o 80 1 2 y x -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 y z 0 dA y z 截面对 o 点的极惯性矩为 定义： 截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为 因为 Ip = Ix + Iy 所以 x y 0 dA x y 截面对 x , y 轴的惯性积为 惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。也可能等于零。 。 截面的对称轴，截面的对称轴， 若若 x , y x , y 两坐标轴中有一个为两坐标轴中有一个为 则截面对则截面对 x , y x , y 轴的轴的 惯性积一定等于零惯性积一定等于零 x y dxdx ydA 截面对 x , y 轴的惯性半俓为 例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 dA = b dy解： b h x y C y dy 例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为 y x d 所以 x y o C(a,b) b a 一、 平行移轴公式 xc , yc 过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴） （a , b ) _ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 yc xc x , y 任意一对坐标轴 C 截面形心 I xc ,I yc , I xc yc 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。 Ix , Iy , Ixy _ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。 x y o C(a,b) b a yc xc 则平行移轴公式为 二、组合截面的惯性矩 惯性积 I xi , Iyi , 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、 惯性积。 组合截面的惯性矩，惯性积 例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。 解：将截面分成两个矩形截面。 20 140 100 20 zc yc y 1 2 截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 记作 y 轴 。 于底边的轴作为参考轴， 所以截面的形心坐标为 20 140 100 20 zc yc y 1 2 20 140 100 20 y 1 2 zc yc 一、 转轴公式 顺時针转取为 号 -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩 xoy 为过截面上的任 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系 o x y x1 y1 逆時针转取为 + 号， 显然 上式称为转轴公式 o x y x1 y1 二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。 主惯性矩截面对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴 当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩 截面对形心主惯性轴的惯性矩。 由此 求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。 主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角， 则有 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有 一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中 的极值。即：Imax = Ix0 , Imin = Iy0 主惯性矩的计算公式 截面的对称轴一定是形心主惯性轴。 确定形心 的位置 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy 求形心主惯性矩的步骤 确定主惯性轴的位置 计算形心主惯性矩 y 20 c 10 10 120 70 80 例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。 解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。 过形心 c 选一对座标轴 X , y 轴， 计算其惯性矩（积）。 x y y 20 c 10