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基于学情分析的有效数学教学 浙江教育学院 吴卫东 电子邮件： 拿破仑不想过马路的鸡不是好鸡。 钱钟书马路那边的鸡想跑过来，马路这边的鸡想跑过去。 王朔无知的鸡无畏。 施耐庵许鸭那厮过马路，就不许俺鸡过？ 赫拉克利特 鸡不能两次走在同一条马路上。 任贤齐对面的母鸡看过来，看过来 古龙鸡。马路。悄无声息，那鸡竟已过去。果然！ 邓小平不管公鸡母鸡，过得了马路就是好鸡。 一个案例引发的思考（三次班会） 十二年前。我开了个精彩的主题班会。 “有个孩子到饭店，用父母的血汗钱点了一大桌子菜，可他 守着不吃不喝。服务员劝，父母劝，谁劝也不吃！饿着肚 子离去。请评议。” “傻瓜”学生们哄笑。 我不动声色：“这孩子买了车票，却不上车，跟着跑。” “傻瓜”学生们大笑。 我也笑了：“他买了新衣，撕成一条条扔掉。” “傻瓜”学生大乐。 一切尽在掌握之中，我做出沉痛状：“有个孩子，将父母辛 辛苦苦挣来的钱交了学费，买来书本，却整天胡打乱闹， 不好好学习，浪费时间。” “傻瓜！”同学们回答得很沉重。 我脸上“苦大仇深”，心里却乐开了花。 六年前。我踌躇满志地将这个主题班会搬进了三年级四班 。 “有个孩子点了一桌子菜，可守着不吃不喝，饿着肚 子离开。请评议。” “减肥呗”学生们不感兴趣。 我扶扶眼镜：“他买了车票，却不上车，跟着跑。” “锻炼呗”懒洋洋地回答。 我勉强笑笑：“买了新装，撕成一条条扔掉。” “烦呗”有气无力地回答。 我不再迂回，直奔主题：“交了学费，买来书本，不好好 学习，整天胡打乱闹。请评议。” “￥”似是而非的回答。 “什么意思？”我指名经常不交作业的张朋作答。 “可能想当大款，或歌手，嘿嘿。”张朋挠着头皮 今天，我怀着异样的心情，在三年级六班开了这 个班会。 “有个孩子点了一桌子菜，可守着不吃不喝，饿着 肚子离开。请评议。” “派儿”学生们兴奋起来。 我扶扶眼镜：“他买了车票，却不上车，跟着跑。” “帅呆”学生们手舞足蹈。 “买了名牌服装，撕成一条条扔掉。” “哇噻酷毙啦！”学生拍桌子擂杌子。 我晕。干脆直接点题：“交了学费，买来书本，不 好好学习，整天胡打乱闹” “耶新新人类！”异口同声的回答。 我的眼镜跌了下来。 为什么探讨有效教学？ 教学对学生的发展是把双刃剑 禁锢思维（女儿的暑假作业） 压抑个性（划正字的思考） 摧毁自信（你实在是太笨了） 学生的学 习起点 教学的终极目标 教学是一条折线，始终在寻找起点与目标之间的最短距离，每 一段过程都是师生选用一定的学习材料与学习形式，通过互动 、对话，从起点迈向终点的过程。 我们的理解：学生的发展是硬道理 有效教学的关键因素 基于学生的学习“三点” 选择有价值的学习材料 采用针对性的学习方式 运用发展性的即时评价 达成三位一体的教学目标 学生的学习起点 生活经验（角的初步认识） 直觉体验（四边形的认识） 学习积累（梯形的认识） 值得思考的问题 如何了解学生的学习起点？ 以哪些学生的起点为标准？ 如何利用学生的学习起点？ 学生的学习难点（通过错误表现） 与直觉经验不同之处（三角形的高） 容易混淆之处（角的周长） 负迁移之处（三角形的内角和） 求三个数的最小公倍数（魏巍） 前一天刚学完：“求两个数的最小公倍数”，全班45名学 生掌握情况挺好。今天将要研究“求三个数的最小公倍 数”，刚一说完课题，许多学生说：“噢，简单，不就是 在原来基础上加一个数吗？”“方法应该一样” 于是我在黑板上快速板书出三个数:12、8、16,要求学 生独立尝试解答。大约3分钟后，发现44名学生答案相 同：96。只有一名学生答案不同：48。 当看到这位同学的答案时，全班顿时炸开了锅：“我们 有44人答案一致，只有她不同，肯定她错了。”“她平时 数学成绩一般，我们班几个数学尖子生都不是这么做的 ，她肯定不对”“昨天学的方法中我们知道，要把两个公 有因数全部找出来，之后将公有因数、独有因数相乘， 乘积就是最小公倍数，那么今天也应该一样。而最后一 次寻找公因数中，2不是3、2、4的公有因数，所以不 应该取出来” 学习的差异点 起点差异 直觉差异 思维差异 吨的认识（江萍） 课开始导入部分，为了解学生的学习起点，老师与学生 进行了对话： 师：你们知道比“千克”更大的质量单位吗？ 吨；1吨=1000千克 师：生活中什么东西大约重“1吨”呢？ 生1：我们班的大胖子大概重约“1”吨；（全班大笑） 生2：我认为教室里一台电视机的重量大约是1吨； 生3：电视机太轻了，我认为一座泰山的重量差不多是1 吨； 生4：哇噻！不可能吧！ 生5：一头大象的质量差不多是“1吨”。 厘米的认识(俞正强) x x比x x长( )? 学生: x x比x x长一些; x x比x x长一点; x x比x x长半个头; x x比x x长一只手; x x比x x长1厘米; 请同学们给这些回答分分类？ 同学们喜欢哪一个回答为什么？ 是否有效很复杂，不同的价值取向、不同的发展 阶段都有差异。 有价值的学习材料 预设性与生成性两大类（性质） 文本材料与操作材料（形式） 例题与练习（方式） 值得思考的问题 如何理解有价值？（合理的、符合学生认知 水平的、符合教师教学风格的、具有数学结 构的、富有挑战性的变式的、思考性的练习、可进 行多次教学创作的学习材料） 如何处理生成性的学习材料？ 生成性的学习材料的功能具有两极性尴尬与精彩 原因是由于师生的思维落差造成的 层次不同：教师的狭隘与学生的创意 角度不同：数学思考与人文思考 如何利用错误资源？ 正确，有可能是一种模仿；错误却大凡是一种经历。 展示经历、争辩讨论、转化成学习材料 二百五的故事（张翼文） 多位数的读写引入片段： 师：同学们你能例举几个数让大家读一读吗？ 生1：310读作三百一十； 生2：452读作四百五十二； 生3：250读作二百五； 生哈哈大笑； 师：为什么笑呢？ 生：想到日常生活中骂人的话“二百五”； 全班哈哈大笑； 师：同学们，你知道日常“二百五”跟数学有什么联系吗？ 其实后面隐含着数学典故呢！ 值得思考的问题 如何理解针对性？如果把学习方式理解为一种学 习工具，那么每一种工具的使用都是有条件的，也是指 向目标的。 如何拒绝流于形式的学习方式？ 小组合作中的搭车现象 小组交流中的话语霸权现象 动手操作中的木偶现象 发展性的即时评价 错误评价、无效评价（重复学生的回答） 、低效评价（简单肯定与否定、指令性的 集体评价）、发展性评价 发展性即时评价：激励功能、概括功能、 导向功能 内容指向：类化思维成果、揭示思维过程、欣赏学习品质 表达形式：口头语言、体态语言 愿您成为优秀教师 优秀的教师善于把共性问题个性化处理； 平庸的教师把个性问题共性化处理。 针对性的学习方式 学习方式是多元的 接受式与探究式（结果与过程） 讲解式与体验式（理解与顿悟） 独立思考与合作交流（深刻性与广延性） 三位一体的教学目标（有效益） 知识与技能（德胜小学的可能性设计） 过程与方法 情感态度价值观 不同类型数学课的有效性思考 概念课 技能课 解决问题课 新授课 练习课 复习课 实践活动课 概念课的有效教学 获得数学概念的数学涵义与表达形式 通过概念的获得激活学生思考（数感、空间观 念、统计观念等） 体会该数学概念的价值所在（产生的必要性、 过程、与生活的关系、对学科的意义） 概念教学中存在的问题 没有沟通生活原型数学概念符号 表征三者的内在联系 没有把概念放在概念体系中加以把握 没有在概念教学中激活学生的数学思维 技能课的有效教学 凡是通过练习可获得的就是技能 计算技能（口算、笔算、计算器等） 操作技能（量、折、拼、搭等） 解决问题课的有效教学 数学解题是现实生活决策的重要手段 数学解题策略的多样性 数学解题的优化模型构建 数学解题策略与现实生活决策的差异性 招贴画的问题 为什么研究学情？ 研究什么学情？ 有哪些研究方法？ 课间作业： 请每未学员尽可能多地写出小学数学教师 的行话。 特级教师黄爱华执教“3位数乘1位数”一课时，让学生自编一道乘数中间有0的3位数乘1 位数算题进行计算，然后在组内交流的基础上每组推荐一位学生参与全班交流。其中， 一个小男孩被小组推荐作为代表汇报。 生：7045=3570。 教师同时板书7045的竖式，并反问：3570？ 其余学生帮助纠正。教师再引导：4乘5 生：20，写0进2。 师：然后呢？ 生：0乘以5等于0，加2等于2，写2。 师：你刚才算得3570，错在哪儿呢？ 小男孩有些不好意思：我刚才把0乘5算得5，再加2得7。 教师转而问他所在的小组：为什么推荐他作为代表到全班交流？ 学生的回答出乎意料：因为他最小，我们想给他一个机会。 师：哈哈，因为他最小，所以推荐让他交流。那么，我想这位同学是有意出错的，他 是为了提醒我们大家。 教师话锋一转，意图显而易见，给小男孩一个台阶，让他错得“体面”。但小男孩并没 有顺水推舟，领受老师的好意。他头一歪，很固执地强调：我不是有意出错的。 小男孩的回答，让全班学生和教师都哈哈大笑。 师：啊哦，那么，你现在再说说，可以提醒大家注意什么？ 生：大家在算的时候，不要把0乘5算得0，而要等于5。 全班学生和教师又一次哈哈大笑。学生自己纠正：0乘5要等于0，而不能等于5。学生 接着重述计算过程，教师再让该生用红粉笔重新板书乘积十位上的2。 师：这位同学帮助我们把思路理得更清楚了。谢谢！给他掌声。 在掌声中，小男孩高高兴兴地回到了自己的座位上。 小数的涵义 像3.24这样的不带分母、按照十进制的位 值原则写出来的十进分数，叫做十进小数 ，简称小数。（不包括循环小数） 小数的近代记号始于18世纪 从生活中来,元角分可以写成小数,那么时 分秒行吗?为什么 循环小数是对小数涵义的一次扩展与丰富 .(所有的分数都能改写成小数) 先有小数还是分数 数:科学的语言P70,早在公元8世纪就有分数了. “在一次打情骂俏中,将一串项链弄断了.三分之一的珠子 落在地上,五分之一撒在床上,女子寻得六分之一,她的情 人寻得十分之一;线上还剩下六粒.问原链共有若干珠子?” 自然之数P24,事实上,在出现诸如1,2,3之类符号之前许 久,计数就开始了,记数之后的另一个发现是分数. 怎样才算明确了概念？ 什么是概念？ 一类事物的特有属性反映在人们的思维中，就形成了关 于这类事物的概念。 属性：在客观世界中，每一个事物都有许多性质（如形 状、颜色等）一个事物和其他事物之间存在各种各样的 关系（如大小关系、位置关系）。性质和关系统称为属 性。 特有属性：一类事物都具有，而另一类事物都不具有的 属性称为这类事物的特有属性。一些不是这类事物都具 有的、而仅仅是某些事物所具有的属性称为偶有属性。 （四个角都是直角是平行四边形的偶有属性，是长方形 的特有属性） 概念的外延与内涵 概念在反映一类事物的本质属性时，也反映了具 有这些属性的事物。一个概念反映的是哪些事物 ，以及这些事物有哪些本质属性，这就是概念的 外延与内涵。 概念所反映的事物的集合叫做这个概念的外延； 概念所反映的一类事物的本质属性的集合叫做这 个概念的内涵。 如：“质数”的外延是自然数2，3，5，7，11组成的集合;内涵是以 下两项本质属性的集合: 1、是大于1的自然数； 2、只能被1和本身整除。 概念的构成要素与特性 一个概念由多种要素构成。 三角形 小数 要素有什么特点，要素与要素之间关系。 圆的认识 概念的划分 划分是从外延方面明确概念的逻辑方法。 当概念所反映的事物的很多时，为了明确 概念，往往需要按某种标准将这些事物分 为几类，这就是概念的划分。所谓“划分” 就是将一个属概念划分为几个种概念。（三 角形按所含最大的角分为三类） 概念的定义 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。所谓“定 义”就是用简明的语句揭示概念所反映的一 类事物的本质属性。 属差式定义：种差+属概念=被定义的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 发生式定义：用事物发生发展的过程定义 概念成为发生式定义。（分数、圆） 概念与词和符号（读与写） 词和符号是表示概念的语言形式，概念则 是词和符号的思想内容，它们之间的关系 是内容和形式的关系。 概念与词并不是一一对应的。有些概念可 以用不同的词表达（百分数、百分比、百分率） ；有时，同一个词可以表示不同的概念。 （分数） 概念间的关系 “明确概念”，不但要明确它的外延与内涵，还要 明确它和其它概念间的关系。 同一关系：如果两个概念的外延是同一集合，那 么这两个概念是同一关系。（矩形和长方形） 属种关系：如果一个概念的外延包含另一个概念 的外延但不等同，那么这两个概念间的关系叫做 属种关系。 交叉关系：如果两个概念中，每个概念的外延都 只有一部分元素属于另一个概念的外延，那么这 两个概念的关系叫交叉关系。 概念间的关系 矛盾关系：如果这两个概念的外延互相排斥，并 且它们的和就是邻近的属概念的外延，那么这两 个概念的关系叫做矛盾关系。 反对关系：如果这两个概念的外延互相排斥，并 且它们的和就是邻近的属概念外延的真子集，那 么这两个概念的关系叫做反对关系。 奇 数 偶数 整数 1 质数 合数 小学数学概念 小学数学概念的表示法 定义法：属差式、发生式 描述法：规定外延（深奥概念）、形象描述（原始概念 ） 小学数学概念的学习形式 概念形成（直观引入、经验引入）重在从丰富的 表象中不断抽象，去除非本质属性的过程。 概念同化（旧知引入）重在比较新旧概念的异同 ，通过迁移完成。 概念引入的教学方式 直观引入（教具、图片、图表） 经验引入（生活经验、活动经验如操作、游戏） 旧知引入 问题解决引入 美国有效教学的新标准 标准学习共同体：教师和学生共同参与创造性活动。教 师的使命在于构建教师与学生学习共同体，从而推进学生的学 习。教学最确切的内涵在于“提供支持”。教师在构建“学习共 同体”方面的具体指标表现为：（1）教师设计需要师生合作参 与的教学任务；（2）教师必须使得创造性活动与安排的时间相 一致；（3）教师编排好班级座位，以满足学生参加个体活动和 小组交流合作的需要；（4）教师应该积极参与学生的创造性活 动；（5）学生分组类型多样化，包括根据学生友谊、综合学习 能力、语言、学习目标、兴趣等，以促进师生良好互动；（6） 教师应与学生共同设计小组活动计划，并实现从一种活动向另 一种活动迁移；（7）教师对学生的管理以及教学材料和教学 技术的运用应利于师生共同体活动；（8）教师应以积极的方式 监控和支持学生的合作学习。 美国有效教学的标准 标准二语言发展：通过课程发展学生语言，提高学生的文化素 养在学校日常教育教学活动中，通过语言教学发展学生的学科教学 语言是重要的环节。在“语言发展”方面，教师在教学活动中的具 体指标是：（1）教师应该倾听学生谈论他们熟悉的话题，如家庭 和社区；（2）教师应该对学生的谈话和提问作出反应，做到不伤 害学生；（3）教师应该通过示范、探究、复述、澄 清、提问、赞 扬等方式帮助学生发展写作和口语；（4）教师应该在尊重学生选 择前提下与学生开展互动；（5）通过听、说、读、写活动把学生 的语言和学科教学联系在一 起；（6）鼓励学生运用书面语言表达 他们的理解；（7）教学活动过程中提供各种机会促进学生与学生 、学生与教师相互交流；（8）在教学活动中鼓励学生运用第一、 第二语言。 美国有效教学标准 标准三情境性学习：教学联系学生真正的生活，促进创造性学 习的理解学校教学、课程和技能学习应以学生的个人、家庭和社区 生活经验为基础。学校教育教学中学生的知识和技能背景和教育性 情境是学生获得新知的基础。教师在情境性学习方面的指标包括： （1）教师的教学应该以学生已有的家庭、社区和学校经验为基本 出发点；（2）教师根据学生所熟悉的地方用语和知识，设计有意 义的教学活动；（3）通过与学生、家长、社区成员交流以及阅读 相关文献了解地方用语和知识；（4）帮助学生将所学运用于家庭 和社区；（5）教师与学生共同设计以社区为基础的学习活动；（6 ）教师为家长提供机会，参与课堂教学活动；（7）教师应开展丰 富多彩的活动，包括学生集体合作活动以及学生个体竞争活动；（ 8）教师开展各种形式的交流与参与。 美国有效教学标准 标准四挑战性教学：教学应具有挑战性，发展学生 的认知思维。教师在提供真实的挑战性教学任务的同时 也要给予学生必要 的帮助。教师在挑战性教学方面的指 标包括：（1）教师要确保学生对于每一个教学主题都 具有整体认知；（2）教师对学生的学习成就要建立挑 战性标准；（3）教师设计的教学任务要使学生在复杂 水平上的理解；（4）教师要联系学生已有的成功，帮 助学生完成更为复杂的水平上的理解；（5）教师要与 挑战性标准进行比较，对于学生的学习给予直接的清晰 的反馈。 美国有效教学标准 标准五教育性对话：教师通过对话进行教学，特别是进行教育 性对话，对话与理解的教学意在促进学生思维能力的形成、表达和 交流思想能力的提高。在教育性对话过程中，教师的主要使命在于 倾听，并与学生进行交流，及时调节学生会话主题。教师的“教育 性对话”指标包括：（1）教师进行课堂组织，定期与学生小组对 话交流；（2）教师在指导与学生对话过程中应具有清晰的学术目 标；（3）教师应该确保学生在对话中有更多的发言机会；（4）教 师应指导学生如何对话，包括学生的观点、判断、文字表达以及推 理；（5）教师根据学生选择，确保所有的学生参与对话；（