[小学教育]平面图形的几何性质.ppt

附录 截面的几何性质 其中面积A、极惯性矩IP均为和横截面的形状和尺 寸有关的几何量，称为截面的几何性质。 在计算梁的应力和位移时，还要用到另一些截 面的几何性质。这一章就将介绍这些几何性质和其 计算方法。 在计算拉压杆横截面上的应力为 ； 变形为 ； 圆杆扭转时横截面的切应力为 ； 扭转角为 。 .1 .1 截面的静面矩和形心位置截面的静面矩和形心位置 .2 .2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径 .4 .4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩 .3 .3 平行移轴公式平行移轴公式 目 录 一、静面矩 分别为图形对 z 轴和 y 轴的静矩。 说明： 1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的 位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。 2、静矩的数值可正可负，也可以为零。 3、静面矩的单位：mm3 或 m3 z y O dA z y 定义面积对轴的一次矩 .1 .1 截面的静面矩和形心位置截面的静面矩和形心位置 截面形心位置和均质薄板的重心 位置重和。设形心C的坐标为yC、zC， 利用合力矩定理得。 二、形心 即: 从而： 推论 1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零， 则该坐标轴必通过图形的形心。 2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零， 即：轴过形心 S该轴=0 z y O dA z y yC zC C 求所示图形对y、z轴的静矩以及形心位置 y z y O R y+dy 解法1： 例 1 解法2： z y O r 试想想还有没有其它方法？ z y O 2 1 y z 例2 试求1、2部分对z轴的静面积矩。 解： 1、2两部分的面积和形心沿y轴 的坐标分别为 因为整个矩形截面对z轴的静面矩衡等于零，即 三、组合图形的静矩和形心 1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即： 其中：Ai， yi， zi 分别代表第i个图形的面积和形心坐标 ， n为分割成的简单图形的个数。 2、组合图形的形心坐标 其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标， Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩, A为组合图形的总面积, 100 20 140 20 求所示图形的形心位置 例3 由于y轴是对称轴 解： .2 惯性矩、惯性积和惯性半径 一、惯性矩与惯性积 惯性矩定义 图形面积对某轴的二次矩 z y O dA z y 则分别定义为该截面对z轴和y轴得惯性矩 （3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图 形面积相对于坐标轴的分布情况有关.平面图形的面积相对坐 标轴越远,其惯性矩越大;反之,其惯性矩越小. 特点： （1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 、 cm4 、 mm4. （2）惯性矩恒为正值 惯性积定义图形对一对相互垂直的轴的矩 特点: (1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 、 cm4 、 mm4. (2)其值可正、可负，可为零。 (3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。 z y O dA z y 其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径。 （4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的 惯性矩之和: （5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平 方的乘积, 即 或 （2）即平面图行对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩 之和均相等, 并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩. 二、极惯性矩 定义图形面积对某点的二次矩： 特点： （1）具有惯性矩的特点 z y O dA z y 求所示图形对过形心 的z、y轴的惯性矩 例4 解： 求所示图形对过形心的z、y 轴的惯性矩 例5 解： 同理，对于空心圆： .3 平行移轴公式 一、惯性矩的平行移轴公式 C C为形心，为形心，y y、z z为原坐标轴，为原坐标轴，y y c c 、z z c c 为为 过形心过形心C C分别与分别与y y、 z z平行的坐标轴平行的坐标轴 y z O yc zc C y z O zc yc C 则有： (1)两平行轴中必须有一对轴为过形心的轴。 (2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯 性矩来换算。 (3)a、b的正负号由形心C在y、z坐标系中所在的的象限来决定 说明： 例6求所示图形对过形心的z、y轴的惯性矩。 解： （1）确定形心 由于y、 z为对称轴，故y、z的坐 标原点就是形心。 （2）计算三部分对z、y轴的惯性矩。 （3）计算图形的惯性矩。 例 7 求图示截面对水平z(过形心)轴的惯性矩。 解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩 减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。 形心坐标： 外面的大矩形对Z轴的惯性矩为： 利用平行移轴公式，可得 里面的小矩形对z轴的惯性矩为： 所以 练习求图示截面对水平z(过形心)轴的惯性矩。 解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减 去里面的小矩形对z轴的惯性矩。 形心坐标： 外面的大矩形对Z轴的惯性矩为： 利用平行移轴公式，可得 里面的小矩形对z轴的惯性矩为： 所以 例 8 求图示截面对于水平z轴的惯性矩。 解： 整个圆截面对z1轴的惯性矩为 ，则半圆对z1轴惯性矩为 虽然z轴与z1轴平行，但是它 不是半圆截面的形心轴，则 因此必须先确定半圆对过 其形心轴的惯性矩 4040 a100a100 例 8 求图示截面对于水平z轴的惯性矩。 解： (1) 计算半圆对z轴的惯性矩 而 4040 a100a100 y z 100mm100mm 100mm 100mm 练习求图示截面对水平轴zC的惯性矩。 .4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 一、惯性矩和惯性积的转轴公式 则截面对y1轴的惯性矩为 任意轴y、z的惯性矩和惯性积已 知，且规定a逆时针转时针转 向为为正 由上面公式易得 二、截面的主惯性轴和主惯性矩 当坐标轴转动90之后 由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然 会有一对坐标轴的惯性积 则y0、z0就称之为主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性 矩称之为主惯性矩。 由上式可以解出a0的值，就确定两 个主轴中y0的位置，此时的Iy0恒大于Iz0 值。 求惯性矩的极值 这说明1和0相等 故其中Iy0就是最大值，而Iz0就是最小值。 (4)形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩 几个主要定义 (1)主惯性轴：Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。 (2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩 (3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩 可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴 若截面有两个对称轴 ，这两个对称轴就是 截面的形心主轴。 90 90 10 10 200 20 20 C 例 9 求图示截面形心主惯性矩。 解：(1)由对称性易确定形心位置 (2)求图示截面对y、z轴惯性矩 矩形1 矩形2 矩形390 90 1