高中数学 第三章 三角恒等变形 疑难规律方法学案 北师大版必修4

第三章 三角恒等变形1同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用一、知一求二例1已知sin ，则tan _.解析由sin ，且sin2cos21得cos ，因为，可得cos ，所以tan 2.答案2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论二、“1”的妙用例2 证明：.证明因为sin2xcos2x1，所以1(sin2xcos2x)3,1(sin2xcos2x)2，所以.即原命题得证点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解三、齐次式型求值例3 已知tan 2，求值：(1)_；(2)2sin23cos2_.解析(1)因为cos 0，分子分母同除以cos ，得1.(2)2sin23cos2，因为cos20，分子分母同除以cos2，得1.答案(1)1(2)1点评这是一组在已知tan m的条件下，求关于sin 、cos 的齐次式值的问题解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin 、cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式(2)因为cos 0，所以分子、分母可同时除以cosn (nN)这样可以将所求式化为关于tan 的表达式，整体代入tan m的值求解.2三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变形离不开角之间的变换观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例1设、为锐角，且满足cos ，tan()，求cos 的值分析利用变换()沟通条件与欲求之间的关系解、为锐角，且tan()0，0.sin() ，cos()，sin .cos cos()cos cos()sin sin()().二、利用目标中的角表示条件中的角例2设为第四象限的角，若，则tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到，首先求出cos 2的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2.解析由2cos2cos 2，2cos2cos 212cos 2，cos 2.为第四象限的角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3已知sin，0x，求的值分析转化为已知一个角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数解原式2sin2cos，sin，且0x，x.cos ，原式2.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4求函数f(x)sin(x20)cos(x40)的最大值分析观察角(x40)(x20)60，可以把x40看成(x20)60后运用公式展开，再合并化简函数f(x)解f(x)sin(x20)cos(x20)60sin(x20)sin(x20)cos(x20)cos 60sin(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x65)，当x65k36090，即xk360155(kZ)时，f(x)有最大值.3三角函数化简求值的“主角”“变角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招单角化复角例1 已知sin ，是第二象限的角，且tan()，则tan 的值为_解析因为sin ，为第二象限的角，所以cos ，所以tan .所以tan tan().答案点评将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：()，()，(2)()，()()，()()等第二招复角化单角例2 化简：2cos()解原式.点评由于该式含有2和，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可第三招复角化复角例3 已知，0，cos()，sin()，求sin()的值解因为，所以sin() .又因为0，0，sin0，故原式 sin.点评一般地，在化简求值时，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常常化为平方式：2cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、灵活变角例3 已知sin()，则cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“”表示待求角“2”，善于发现前者和后者的一半互余四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan ，则的值是_解析3.答案3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin 和cos 的二次齐次弦式比五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5 求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解原式cos 20cos 40cos 80.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.5聚焦三角函数最值的求解策略一、化为yAsin(x)B的形式求解例1求函数f(x)的最值解原函数变形得：f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函数ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合解原函数化简得：ysin 2xcos 2x2sin2.当2x2k，kZ，即xk，kZ时，ymin2.此时x的集合为x|xk，kZ点评形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成yAsin(2x)B的形式求最值二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3求函数y的值域解原函数整理得sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.即函数的值域为3，)例4求函数y的值域解原函数整理得sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得：y.即值域为.点评对于形如y或y的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5设关于x的函数ycos 2x2acos x2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.当1，即a1，即a2时，f(a)ymin14a，此时cos x1.综上所述，f(a)点评形如yasin2xbsin xc的三角函数可转化为二次函数yat2btc在区间1,1上的最值问题解决例6试求函数ysin xcos x2sin xcos x2的最值解设sin xcos xt，t， ，则2sin xcos xt21，原函数变为yt2t1，t， ，当t时，ymin；当t时，ymax3.点评一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值注意以下结论的运用，设sin xcos xt，则sin xcos x(t21)；sin xcos xt，则sin xcos x(1t2)四、利用函数的单调性求解例7求函数y的最值解y(sin x2)，令tsin x2，则t1,3，yt.利用函数单调性的定义易证函数yt在1,3上为增函数故当t1即sin x1时，ymin0；当t3即sin x1时，ymax.例8在RtABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设ABa，ABC，ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值解ACatan ，PABACa2tan .设正方形边长为x，AGxcos ，BC.BC边上的高hasin ，即，x，Qx2.从而1.易知函数y在区间(0,1上是减少的，所以当sin 21时，min.点评一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决6三角恒等变形一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1已知sin ，sin ，和都是锐角，求的值错解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因为，则(0，)所以或.剖析由sin ，sin ，和都是锐角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的这是因为sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos()的值正解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因为，则(0，)，所以.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值错解由题意知tan 、tan 是方程x26x70的两根，由根与系数的关系得：tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0，角、都是钝角上述解法忽视了这一隐含条件正解由易知tan 0，tan 0.、(0，)，.0，B，且sin B.由sin A，得cos A，当cos A时，cos A.sin B，B，B.故当cos A时，AB，与A、B是ABC的内角矛盾cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和ABC180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止角的增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例4判断函数f(x)的奇偶性错解f(x)tan ，由此得f(x)tantan f(x)，因此函数f(x)为奇函数剖析运用公式后所得函数f(x)tan 的定义域为.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错正解事实上，由1sin xcos x0可得sin xcos x1，即sin1，从而sin，所以x2k且x2k(kZ)，故函数f(x)的定义域是，显然该定义域不关于原点对称所以函数f(x)为非奇非偶函数温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错五、误用公式asin xbcos xsin(x)而致错例5若函数f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函数，求的值错解f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos sin.f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，|f(0)|f(x)max.f(0)sin，sin1，k，kZ.即k，kZ.剖析因为x与x是不同的角，所以函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理正解因为f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，所以f(x)f(x)对一切xR恒成立即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0恒成立即2sin x(cos sin )0恒成立cos sin 0.cos sin sin0，k，即k，kZ.温馨点评注意公式asin xbcos xr(a2b2)sin(x)的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f(x)sin(x)r(3)cos(x)(xR)的最大值不是2.7平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a(2cos x2sin x,1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y关于x的函数，则f(x)的最小正周期为_解析由ab得2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，所以f(x)2sin(2x)1，所以函数f(x)的最小正周期T.答案点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，)，若ab，则cos(2)_.解析因为ab，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因为(0，)，所以cos .cos 212sin2，sin 22sin cos ，于是cos(2)cos 2cossin 2sin.答案点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m(sin ，1cos )(0)与向量n(2,0)的夹角为，则_.解析由条件得|m|，|n|2，mn2sin ，于是由平面向量的夹角公式得cos ，整理得2cos2cos 10，解得cos 或cos 1(舍去)因为0，所以.答案点评解答平面