高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_4 对数学案 北师大版必修1

3.4 对数非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。核心必知1对数的概念与性质(1)定义：一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb.其中a叫作对数的底数，N叫作真数logaN读作以a为底N的对数(2)常用对数与自然对数：以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N.(3)基本性质：负数没有对数，即logaN中真数必须大于零；1的对数为0，即loga10；底数的对数为1，即logaa1；对数恒等式：alogaNN.2对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0，则：(1)积的对数：loga(MN)logaMlogaN；(2)商的对数：logalogaMlogaN；(3)幂的对数：logaMnnlogaM(nR)3对数的换底公式logbN(a，b0，a，b1，N0) 问题思考1指数式abN和对数式logaNb(a0且a1，N0)有什么关系？提示：关系如图示2如何用对数的定义证明alogaNN?提示：因为若abN，则blogaN(a0且a1)，所以由等量代换得alogaNN.3对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗？提示：不一定成立如lg (5)(3)有意义，而lg(5)、lg(3)无意义讲一讲1(1)将对数式log273化为指数式；(2)将指数式216化为对数式；(3)求式子log2(log5x)0中的x；(4)计算4(log29log25)尝试解答(1)因为log273，所以()327.(2)因为216，所以log162.(3)因为log2(log5x)0，所以log5x1，所以x5.(4)原式2log 29log 25.(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式abN等价于blogaN(a0且a1，N0)，要注意a、b、N的位置(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算(3)对于对数恒等式alogaNN要注意其结构特点：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数练一练1(1)将指数式10410 000和m5化为对数式；(2)将对数式log0.10.012和ln x化为指数式；(3)求式log3(lg x)1中的x；(4)计算71log75的值解：(1)lg 10 0004, mlog5.(2)0.120.01, ex.(3)log3(lg x)1，lg x3，x1031 000.(4)原式.讲一讲2计算下列各式的值(1)log2log212log242；(2)；(3)lg 52lg 8lg 5lg 20lg 22.尝试解答 (1)原式log2log2.(2)原式.(3)原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)lg 5lg 2(lg 5lg 2)2lg 5lg 2213.利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：把复杂的真数化简；正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值练一练2用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga； (2)loga.解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz.(2)logaloga(x2)logalogax2logaloga2logaxlogaylogaz.讲一讲3(1)计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)；(2)设3a4b36，求的值尝试解答(1)法一：原式log253log523log25log52log25(3log52)13log2513.法二：原式()()()()()(3)13.(2)法一：由3a4b36，得alog336，blog436，2log363log364log369log364log36361.法二：对已知条件取以6为底的对数，得alog632，blog621，log63，log62.于是log63log62log661.(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取练一练3(1)设log1227a，求证log616；(2)已知14a2，用a表示log7.解：(1)法一：log616，故原式得证法二：alog1227，log32，log6164log624.(2)14a2，log142a，log7.已知lg xlg y2lg(x2y)，求的值错解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.则1或4， 错因错解中忽略了lg xlg y2lg(x2y)成立的前提是即x2y0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根正解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.因为x0，y0，x2y0，所以xy应舍去则4，1下列各式中正确的个数是()lg(lg 10)0；lg(ln e)0；若10lg x，则x10；若log25x，则x5.A1个 B2个C3个 D4个解析：选Blg 101，lg(lg 10)lg 10，正确；ln e1.lg(ln e)lg 10，正确；若10lg x，则1010x，不正确；若log25x，则25x，x5，不正确故只有正确2下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x，y，z0)()Alg(x2y)(lg x)2lg yBlg(x2y)zlg x2lg y2lg zClg(x2y)2lg xlg y2lg zDlg(x2y)2lg xlg ylg z解析：选Dlg(x2y)lg x2lg ylg 2lg xlg ylg z.3(安徽高考)(log29)(log34)()A. B.C2 D4解析：选D(log29)(log34)4.4已知ln xa，ln yb，则ln2_.(用a，b表示)解析：由于ln ()2ln ln ()2ln x2ln ln x2ln y2ln ea2b2.答案：a2b25(四川高考)lg0.01log216的值是_解析：lg 0.01log216lglog224242.答案：26计算下列各式：(1)；(2)logalogaloga(a0且a1)解：(1)原式4lg 104.(2)法一：原式logaalogaanlogaalogaanlogaann.法二：原式logalogaann.一、选择题1已知log7log3(log2x)0，那么x等于()A. B.C. D.解析：选Clog7log3(log2x)0，log3(log2x)1，log2x3，即x238.x .2已知lg xlg ya，则lg3lg3()A3a B.aCa D.解析：选Alg 3lg 333(lg xlg 2)(lg ylg 2)3(lg xlg y)3a.3设函数f(x)则f(f(2)()A. B2e2C2e D2解析：选Af(2)log3log3311，f(f(2)f(1)2e2.4已知2m7np，4，则p的值是() 解析：选B2m7np，mlog2p，nlog7p.又logp2logp7logp4，p4.p二、填空题5(四川高考)lg lg的值是_解析：lglglg()lg 101.故填1.答案：16若a0，a，则_.解析：a0, ，loga，loga，3.答案：37已知2x3，log4y，则x2y_.解析：2x3，xlog23.log4y，ylog48log43log23，x2ylog2323.答案：38若102，lg 3，则_.解析：法一：102，lg 3，lg 2，2231.法二：102，lg 3，103，(10)2(10)12231.答案：三、解答题9(1)求值： (2)2013年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.080.033 4，精确到1年)解：(1)原式()292.(2)设经过x年后国民生产总值是2011年的两倍经过1年，生产总值为a(18%)，经过2年，生产总值为a(18%)2，经过x年，生产总值为a(18%)x.由题意得a(18%)x2a，即1.08x2.两边取常用对数，得lg 1.08xlg 2.故x9(年)答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍10若a，b是方程2(lg x)2lg x4