高考数学 玩转压轴题 专题7_3 临界知识问题1

专题7.3 临界知识问题一方法综述对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。二解题策略类型一 定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于()A 1 B 3 C 5 D 7【答案】B【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。【举一反三】设a，bR，定义运算“”和“”如下：ab，ab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则（ ）A ab2，cd2 B ab2，cd2 C ab2，cd2 D ab2，cd2【答案】C【解析】不妨设ab，cd，则abb，cdc若b2，则a2，ab2，则d2，cd4，与cd4矛盾，c2故cd2本题选择C选项类型二 高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sab|a，b为整数为封闭集；若S为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足STR的任意集合T也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】函数的图象向左平移n（n0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=k，kz，则n的最小值为，故选：D类型三 立体几何中的临界问题立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为_【答案】【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）A B C D 【答案】B【解析】依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B三强化训练1【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角若两个非零的平面向量和满足：；和的夹角；和的值都在集合中则的值为（ ）A B C D 【答案】B2【北京市西城区2017 2018第一学期期末】设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为， 的所有可能取值构成的集合为，则有（ ）A ， B ， C ， D ， 【答案】D【解析】当为面时，A,C, ,到面的距离相等，即，排除C;取E,F,G,H为， 的中点，记为时，点，六个点到面的距离相等，即，排除A,B故选D3【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：对任意，都有；对任意，都有；对任意，都有， ；对任意，都有其中所有真命题的序号是（ ）A B C D 【答案】D（x）0恒成立，对任意a，b（-，0），都有 ，故正确，故正确的命题是，故选D4【北京市朝阳区2018届第一学期期末】如图， 为等边三角形，四边形为正方形，平面平面若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为（ ） A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 一段圆弧 D 一条线段【答案】D【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段，选A5【湖南省株洲市2018届教学质量统一检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A B 3 C D 4【答案】C当时取等号故答案为故选C6【河北省衡水市阜城中学2017-2018上学期第五次月考】定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数， ，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）A B C D 【答案】C 7【吉林省实验中学2018届一模】在正四棱柱中, ，动点 分别在线段上，则线段 长度的最小值是（ ）A B C D 【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), 当且仅当时，PQ取最小值 ，选C8【陕西省西安市长安区一中2017-2018上学期期末】已知正四棱柱中， ， 为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）A 1 B C D 2【答案】A 9【河南省南阳市一中2017-2018上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列，定义向量， 下列命题中真命题是（ ）A 若总有成立，则数列是等比数列B 若总有成立，则数列是等比数列C 若总有成立，则数列是等差数列D 若总有成立，则数列是等差数列【答案】D 10【北京市海淀区2018届第一学期期末】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_【答案】【解析】 由题意得，过点作平面，垂足为， 在点在线段上，分别连接, 在直角中， ， 在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为， 又，当时，此时, 所以的最小值为11【广西桂林市、贺州市2018届上学期期末联考】把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是_四面体外接球的体积随的改变而改变；的长度随的增大而增大；当时， 长度最长；当时， 长度等于【答案】 12【山西省太原十二中2018届上学期1月月考】在四棱锥中， 底面，底面为正方形， ， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则_【答案】 13【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末考试】对于四面体，有以下命题：（1）若，则过向底面作垂线，垂足为底面的外心；（2）若， ，则过向底面作垂线，垂足为底面的内心；（3）四面体的四个面中，最多有四个直角三角形；（4）若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为其中正确的命题是_【答案】【解析】对于，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的外心，故正确；对于设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为ABCD，根据三垂线定理的逆定理可知：CDOB 同理可证BDOC，所以O是BCD的垂心，故不正确；对于：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4故正确； 14【湖南师范大学附属中学2018届上学期月考】如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱， 的中点，过， ， 三点作该正方体的截面，则截面的周长为_【答案】 15【河北衡水金卷2018届高考模拟一】如图，在直角梯形中， ， ， ，点是线段上异于点， 的动点， 于点，将沿折起到 的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为_【答案】【解析】， 平面，设，则 五棱锥的体积， ，得或（舍去），当时， 单调递增，故，即的取值范围是，故答案为16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1PA1Qx(0x1)设平面MEF平面MPQl，现有下列结论：l平面ABCD；lAC；直线l与平面BCC1B1不垂直；当x变化时，l不是定直线其中不成立的结论是_(写出所有不成立结论的序号)【答案】 17【山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017- 2018第三次阶段性质量检测】设平面平面，、，、，直线与CD交于点，且点位于平面，之间，则_【答案】9【解析】根据题意做出如下图形：AB，CD交于S点 三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交于AC，交于DB，平行，ACDB，ASCDSB，= ，AS=8，BS=6，CS=12，解得SD=9故答