高中数学 第三章 导数及其应用 3_1_1 函数的平均变化率教学案 新人教b版选修1-1

31.1函数的平均变化率学习目标1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义.2.会求函数f(x)在x0到x0x之间的平均变化率.3.掌握求函数f(x)在x0到x0x之间的平均变化率的方法与步骤知识链接很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)，(1)当V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为0.62(dm/L)(2)当V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了预习导引1函数的变化率的定义已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义，令xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)则当x0，比值叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率2平均变化率的计算过程函数值的改变量yy2y1f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)要点一平均变化率例1已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当x越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算自变量的改变量xx2x1；(2)再计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(3)得平均变化率.跟踪演练1求函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.要点二求物体运动的平均速度例2以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s(t)v0tgt2.(1)求物体从时刻t0到时刻t0t这段时间的平均速度；(2)求物体在t10s到10.4s这段时间的平均速度解(1)由t0到t0t，则改变量为t.ss(t0t)s(t0)v0(t0t)g(t0t)2v0t0gttv0gt0tg(t)2.v0gt0gt.(2)当t010s时，t0.4s，则物体在t10s到10.4s这段时间的平均速度v010gg0.4v010.2g.规律方法已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在t0，t0t内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在t0，t0t内的平均变化率跟踪演练2动点P沿x轴运动，运动方程为x10t5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20t20t时间段内动点的平均速度，其中(1)t1，(2)t0.1，(3)t0.01.解动点在20t20t时间段内的平均速度为5t210，(1)当t1时，51210215(m/s)(2)当t0.1时，50.1210210.5(m/s)(3)当t0.01时，50.01210210.05(m/s)要点三平均变化率的实际应用例3蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)求：(1)从t0min到t10min，蜥蜴的体温的平均变化率(2)体温T(t)对时间t的变化率解(1)1.6/min.从t0到t10min，蜥蜴的体温的平均变化率为1.6/min.(2)设时间的增量为t，则体温T(t)的改变量为TT(tt)T(t)1515，.故体温T(t)对时间t的变化率为.规律方法平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念跟踪演练3一正方形铁板在0时，边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t时，边长变为10(1at)cm，a为常数试求铁板面积对温度的膨胀率解设温度的增量为t，则铁板面积S的增量S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，200(aa2t)100a2t.故铁板面积对温度的膨胀率为200(aa2t)100a2t.1一质点运动的方程为s53t2，则在一段时间1,1t内相应的平均速度为()A3t6B3t6C3t6D3t6答案D解析s53(1t)2(5312)3(t)26t，3t6.2已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4B4xC42xD42(x)2答案C解析yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.3在曲线yx22的图象取一点(2,3)及邻近一点(2x,3y)，则为( )Ax4Bx4Cx4D4x答案C解析x4.4将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率为，则m的值为_答案2解析Vm313(m31)，.m2m17.m2或m3(舍)理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的