高中数学 第2章 平面向量 2_4_2 数量积的坐标表示学案 苏教版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第2课时数量积的坐标表示1理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点)2能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式(重点)3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点、难点)基础初探教材整理1平面向量数量积的坐标运算阅读教材P86“思考”以上内容，完成下列问题若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和1已知a(1，1)，b(2,3)，则ab_.【解析】a(1，1)，b(2,3)，ab1231.【答案】12已知a(2，x)，b(0,1)，若ab3，则x_.【解析】a(2，x)，b(0,1)，abx3.【答案】3教材整理2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示阅读教材P86“思考”P87“例2”以上部分内容，完成下列问题1向量的模：设a(x，y)，则a2x2y2，即|a|.2向量的夹角公式：设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则cos .特别地，若ab，则x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则ab.1已知a(5,5)，b(0，3)，则|a|_，a与b的夹角为_【解析】ab15，|a|5，|b|3，cos ，又0，.【答案】52已知a(3,1)，b(x，5)，若ab，则x_.【解析】ab，ab0，3x50，x.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数量积的坐标运算已知a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c.【精彩点拨】先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解【自主解答】(1)ab123517.(2)ab(3,8)，2ab(4,11)，(ab)(2ab)1288100.(3)(ab)c17c(34,17)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.再练一题1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.【解】(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)向量的夹角已知A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值【精彩点拨】先求，再代入向量夹角公式求BAC的余弦值【自主解答】(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.再练一题2已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为_【解析】ab10，(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .又0，180，120.【答案】120探究共研型向量平行与垂直的综合应用探究1已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则其坐标间满足什么等量关系？ab呢？【提示】abx1y2x2y10；abx1x2y1y20.探究2在ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？【提示】设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及0可求点D的坐标，进而可求|.已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标 【导学号：06460063】【精彩点拨】设D(x，y)，由及0可求D，进而求|.【自主解答】设点D坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，即|，D(1,1)1向量的垂直问题主要借助于结论：abab0x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握2两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆再练一题3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小【解】(1)ab，3x360，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.构建体系1已知a(1,3)，b(2，1)，则a与b的夹角为_【解析】cos ，又0,2，.【答案】2已知a(4,7)，b(5，2)，则|ab|_.【解析】因为ab(9,9)，所以|ab|9.【答案】93向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，则x_.【解析】4(x5)x0，x4.【答案】44设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是_|a|b|；ab；ab与b垂直；ab.【解析】由题知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直【答案】5已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度 【导学号：06460064】【解】(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)则1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有即C点的坐标为(0,5)(4,2)，|2，即矩形ABCD的对角线的长度为2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十二)数量积的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1设a(1，2)，b(3,1)，c(1,1)，则(ab)(ac)等于_【解析】ab(4，1)，ac(2，3)，(ab)(ac)24(1)(3)11.【答案】112已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么ab的值为_【解析】依题意得ab(3，k2)，由ab与a共线，得3k1(k2)0，解得k1，所以ab22k4.【答案】43(2016南通高一检测)已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为_. 【导学号：06460065】【解析】a(2,3)，b(4,7)，ab2(4)3713，|a|，|b|，cos ，a在b上的射影为|a|cos .【答案】4已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为_【解析】由于2ab(4,2)，则b(4,2)2a(2,0)，则ab2，|a|，|b|2.设向量a，b的夹角为，则cos .又0，所以.【答案】5(2016南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量(1,2)，(3，m)若AOB是直角三角形，则m_.【解析】在RtAOB中，(4，m2)，若OAB为直角时，0，可得m4；若AOB为直角时，0，可得m；若OBA为直角时，无解【答案】或46设a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，则实数t的值为_【解析】atb(4，3)t(2,1)(42t，t3)，(atb)b(42t)2(t3)15t5.|atb|.由(atb)b|atb|b|cos 45，得5t5，即t22t30，t3或t1，经检验t3不合题意，舍去t1.【答案】17已知a(4,2)，则与a垂直的单位向量b_.【解析】设b(x，y)，则由得或【答案】或8(2016盐城高一检测)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.【解析】不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)又c(ab)，则有3mn0，m，n，c.【答案】二、解答题9已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值【解】(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.10已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角【解】设a与b的夹角为，|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，即ab0且a与b不反向由ab0，得120，故0且cos 1，即ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向，得2，所以的取值范围为(2，)能力提升1(2016泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】|a|b|1，a，b60，ab，|b|21，bctab(1t)b2t(1t)1t0，t2.【答案】22以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A90，则的坐标为_【解析】设(x，y)，由|，得.由，得5x2y0联立，解得x2，y5或x2，y5.故(2,5)或(2，5)【答案】(2,5)或(2，5)3如图243，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图243【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，x.又，x1，(1，2)，22.【答案】4已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对于(1)中求出的点C，求cosA