高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第30课 平面向量基本定理及坐标表示教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第30课 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲内容要求ABC平面向量的坐标表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|_.因为ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.(7，4)(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)4(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其应用如图301，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，. 【导学号：62172161】图301解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组变式训练1(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(填序号)e1与e1e2；e12e2与e12e2；e1e2与e1e2；e13e2与6e22e1.(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.(1)(2)(1)中，设e1e2e1，则无解；中，设e12e2(e12e2)，则无解；中，设e1e2(e1e2)，则无解；中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.平面向量的坐标运算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标. 【导学号：62172162】解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)规律方法1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练2(2017苏州模拟)设向量(5cos ，4sin )，(2,0)，则|的取值范围是_4,6(3cos ，4sin )|(其中tan )|，即|4,6平面向量共线的坐标表示(1)已知向量a(1,1)，b(3，m)，若a(ab)，则m_.(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(1)3(2)(2,4)(1)由题意可知ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3(1)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又为锐角，所以.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a1e12e2的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若a与b不共线，ab0，则0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形致误3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.课时分层训练(三十)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1如图302，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：图302与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是_(填序号)中，不共线；中，不共线2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于_(用a，b表示) 【导学号：62172163】ab设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.3已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_3manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.4(2017苏州模拟)设xR，向量a(x,1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.1a(x,1)，b(2，y)，a2b(x4,12y)，即xy1.5(2017南京模拟)已知向量a(1,2)，b(m,4)，且a(2ab)，则实数m的值为_2a(1,2)，b(m,4)，2ab(2m,8)又a(2ab)，故842m，即m2.6(2017无锡期中)如图303，在ABC中，若，则_.图303，.()又，.7.如图304，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，则_，_，_(用向量a，b表示)图304babaabbabba，bba，bab.8在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.(6,21)Q是AC的中点，()，2(2,10)(4,3)(2,7)又2(4,14)，(4,14)(2,7)(6,21)9(2017南京模拟)如图305，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_. 【导学号：62172164】图305设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.10已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是_8ab，2x3(y1)0，化简得2x3y3.又x，y均为正数，(2x3y)8，当且仅当时，等号成立，的最小值是8.二、解答题11已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标. 【导学号：62172165】解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)12平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.B组能力提升(建议用时：15分钟)1向量a，b，c在正方形网格中的位置如图306所示，若cab(，R)，则_.图3064以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得4.2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图307所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_图3072以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.3已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线解(1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a,0)(2,2b)，解得故a2，b2