偏微分方程课程设计---单位圆上Poisson方程边值问题.doc

偏微分方程课程设计报告题 目：单位圆上poisson 方程边值问题 班 级： 专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师： 徐州师范大学数学科学学院偏微分方程数值解课程设计指导书一、课程设计的目的1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。3.锻炼编写程序代码的能力。二、设计名称利用matlab求解单位圆上poisson方程边值问题。三、设计要求1.要求写出求解的理论方法。2.要求编写matlab程序，画出函数图形。3.要求写出实验总结及心得体会。四、设计题目利用matlab求解单位圆上poisson方程边值问题： -u=1, =x，yx2+y21u|u=0五、设计细则方法：使用图形用户界面求解在matlab的工作窗口中键入pdetool，按回车键调出pde toolbox窗口。然后单击options菜单下的grid选项，使窗口出现坐标网格。第一步：画区域圆 单击工具，大致在（0，0）位置单击鼠标右键同时拖拉鼠标到适当位置松开，绘制圆。为了保证所绘制的圆是标准的单位圆，在所绘圆上双击，打开object dialog对话框，精确地输入圆心坐标x-center为0，y-center为0及半径radius为1，但后单击ok按钮，这样单位圆已画好。第二步：设置边界条件 单击工具，图形边界变红，逐段双击边界，打开boundary condition对话框，输入边界条件。对于同一类型的边界，可以按shift键，将多个边界同时选择，同意设置边界条件。本课程设计题目选择dirichlet条件，输入h为1，r为0，然后单击ok按钮。也可以单击boundary菜单中的specify boundary condition.选项，打开boundary condition对话框输入边界条件，如图1-1. 图1-1第三步：设置方程 单击pde菜单中pde specification选项，打开pde specification对话框，选择方程类型。本题单击elliptic，输入c为1，a为0，f为1，单击ok按钮，如图1-2所示。 图1-2第四步：网格剖分 单击工具，或者单击mesh菜单中的initialize mesh选项，可进行初始化网格剖分，这时在pde toolbox窗口下方的状态栏内显示出初始网格的节点数和三角形单元数。本课程设计题目节点数为144个，三角形单元数为254个。如果需要网格加密，再单击按键，或者单击mesh，或者单击mesh菜单中refine mesh选项，这时节点数变为541个，三角形单元数为1016个，如图1-3.如此还可以继续加密。 图1-3第五步：解方程 单击工具，或者单击solve菜单中solve pde选项，可显示方程色彩解。如果单击plot菜单中的parameters选项，出现plot selection对话框，如图1-4，从中可以选择color，contour，arrows，deformed mesh，height（3-d plot），还可以设置等值线的数目等。本题目选择color，contour，height（3-d plot）和show mesh四项，然后单击plot按钮，方程的图形解如图1-5所示。除了作定解问题的图形外，也可以做lgrad u|，lcgrad u|等图形。 图1-4 图1-5第六步：与精确解作比较 单击plot菜单中的parameters选项，打开plot selection对话框，在height （3-d plot）行的property下拉框中选user entry，且在该行的user entry输入u-1-x2-y2/4,单击plot按钮就可以看到解的绝对误差图形，如图1-6.可见在边界误差为0. 图1-6第七步：输入网格节点的编号，单元编号以及节点坐标 单击mesh菜单中show node labels选项，再单击工具，即可显示节点编号，如图1-7。若要输出节点坐标，只需单击mesh菜单中export mesh选项。这时打开的export对话框中的默认值为pet，这里p，e，t分别表示points，edges，triangles数据的变量，单击ok按钮。然后在matlab命令窗口键入p，按回车键确定，即可显示出将诶点按编号排列的坐标（二维数组）；键入e。按回车键，则显示边界线段数据矩阵（7维数组）；输入t，按回车键，则显示三角形单元数据矩阵（4维数组）。图1-7第八步：输出解的数值 单击solve菜单中export solution选项，在打开的export对话框中输入u，单击ok按钮确定。再在matlab命令窗口中输入u，按回车键确定，即显示节点编号排列的解的数值。七、设计结果与分析解的数值如下（按第一列到最后一列依次排列）：00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2498 0.1801 0.1899 0.1809 0.1850 0.1770 0.1580 0.1508 0.1519 0.1440 0.1509 0.10850.1000 0.1070 0.1166 0.0989 0.2225 0.2190 0.2197 0.2196 0.2220 0.1223 0.1198 0.0875 0.0986 0.1192 0.1184 0.0899 0.1138 0.0875 0.1189 0.0910 0.0824 0.0607 0.0560 0.0544 0.0600 0.0613 0.2304 0.1789 0.1768 0.2237 0.2364 0.2240 0.1588 0.1477 0.1472 0.2164 0.0826 0.1693 0.1712 0.0783 0.0783 0.1693 0.1706 0.18660.0802 0.0835 0.0894 0.0840 0.0866 0.0753 0.0745 0.0700 0.0771 0.0744 0.0779 0.0743 0.0613 0.0711 0.2413 0.2417 0.1440 0.1328 0.1512 0.1576 0.2410 0.2201 0.1300 0.2013 0.1945 0.1921 0.2428 0.2384 0.1310 0.0623 0.0609 0.2066 0.2142 0.1939 0.1956 0.2079 0.0554 0.0604 0.0602 0.1315 0.1349 0.1352 0.1957 0.20190.2166 0.1396 0.1976 0.1911 0.2044 0.1431 0.1345 0.1454 0.1301 0.1886 0.1557 0.1159 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.0465 0.0467 0.1220 0.1370 0.1374 0.0478 0.0482 0.1194 0.0466 0.0466 0.1226 0.1371 0.0484 0.0485 0.1266 0.0438 0.0435 0.1188 0.1030 0.0321 0.0319 0.0855 0.0297 0.0293 0.0788 0.0286 0.0287 0.0775 0.0318 0.0315 0.0844 0.0323 0.0323 0.0902 0.1704 0.1528 0.1694 0.2022 0.1504 0.2047 0.2239 0.2236 0.2457 0.23010.2316 0.2088 0.2232 0.1765 0.1535 0.1271 0.1667 0.1523 0.1201 0.1653 0.1513 0.1196 0.1998 0.2216 0.2211 0.0447 0.0434 0.1151 0.0921 0.0886 0.1748 0.1620 0.1458 0.1793 0.1640 0.1466 0.0420 0.0411 0.1170 0.0851 0.1007 0.0412 0.0419 0.1177 0.1003 0.0851 0.1771 0.1583 0.1755 0.1629 0.1465 0.1904 0.17060.2047 0.0424 0.0424 0.0958 0.1021 0.0721 0.0443 0.0442 0.1021 0.1051 0.0742 0.0480 0.0472 0.0997 0.0922 0.0762 0.1270 0.0442 0.0452 0.0935 0.0882 0.0714 0.1180 0.0465 0.0457 0.0990 0.0894 0.0751 0.1191 0.0396 0.0402 0.1006 0.0853 0.0392 0.0398 0.0990 0.0848 0.0369 0.0370 0.0863 0.0855 0.06450.0408 0.0407 0.0986 0.0995 0.0709 0.0391 0.0395 0.0882 0.0987 0.0660 0.0413 0.0411 0.0937 0.0970 0.0705 0.0390 0.0394 0.0881 0.0985 0.0660 0.0325 0.0322 0.0916 0.0737 0.0697 0.0376 0.0376 0.0934 0.0787 0.0762 0.2476 0.2322 0.2348 0.2346 0.2484 0.2324 0.2379 0.2353 0.2443 0.1691 0.1268 0.1300 0.1673 0.11270.1589 0.1176 0.1170 0.1525 0.1030 0.1674 0.1313 0.1376 0.1665 0.1180 0.1727 0.1389 0.1422 0.1708 0.1232 0.2476 0.2344 0.2335 0.2415 0.2307 0.2235 0.2266 0.2017 0.1453 0.1263 0.1123 0.1552 0.1037 0.1971 0.2118 0.2138 0.1817 0.1900 0.1756 0.2084 0.2114 0.1731 0.1877 0.1735 0.2088 0.1715 0.2060 0.24870.2351 0.2381 0.2445 0.2441 0.2334 0.2464 0.2304 0.2397 0.2327 0.2418 0.1458 0.1281 0.1128 0.1567 0.1046 0.0329 0.0328 0.0938 0.0748 0.0703 0.0321 0.0322 0.0918 0.0723 0.0692 0.1933 0.2143 0.2237 0.1895 0.2011 0.2185 0.2238 0.1947 0.2305 0.1741 0.2093 0.1835 0.1943 0.1755 0.2088 0.1849 0.19640.2063 0.1940 0.2167 0.2243 0.1908 0.2090 0.2023 0.0289 0.0295 0.0778 0.0704 0.0643 0.0317 0.0320 0.0908 0.0709 0.0704 0.0315 0.0320 0.0910 0.0708 0.0691 0.1251 0.1261 0.1526 0.1056 0.1574 0.1180 0.1288 0.1536 0.1063 0.1576 0.1182 0.1289 0.1545 0.1064 0.1366 0.1892 0.2109 0.1880 0.2075 0.17510.1931 0.2119 0.2145 0.1867 0.2048 0.2190 0.2214 0.2031 0.2290 0.1611 0.1249 0.1447 0.1147 0.1468 0.1793 0.2120 0.1900 0.1889 0.2103 0.1725 0.2063 0.1814 0.1903 0.2002 0.1959 0.2189 0.1938 0.1830 0.2139 0.2111 0.1682 0.1260 0.1526 0.1180 0.1449 0.1593 0.1180 0.1425 0.1108 0.1351 0.1494 0.1303 0.1673 0.14580.1382 0.1150 0.1079 0.1508 0.1328 0.1678 0.2055 0.1758 0.1803 0.1960 0.1966 0.1711 0.1372 0.1647 0.1580 0.1444 0.1346 0.1155 0.1005 0.0945 0.1313 八.设计体会与建议：经过一个学期对偏微分方程数值解法的学习，我学习到了基本的理论知识，了解到了偏微分的的基本思