北师大版八年级数学上册教案-pdf-01-第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组.pdf

第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组 目录目录 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 . 1 1.1 不等关系 . 1 1.2 不等式的基本性质 . 5 1.3 不等式的解集 . 10 1.4.1 一元一次不等式（一） . 13 1.4.2 一元一次不等式（二） . 18 1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） . 22 1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） . 27 1.6.1 一元一次不等式组（一） . 31 1.6.2 一元一次不等式组（二） . 35 1.6.3 一元一次不等式组（三） . 40 1.7 回顾与思考 . 45 课时安排 11课时 第一课时 课 题 1.1 不等关系不等关系 教学目标 （一）教学知识点 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. （二）能力训练要求 通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. （三）情感与价值观要求 通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用. 并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 教学重点 用不等关系解决实际问题. 教学难点 正确理解题意列出不等式. 教学方法 讨论探索法. 教具准备 2011-10-10 10:24:00 共 49 页 第 1 页 投影片两张 第一张（记作1.1 a） 第二张（记作1.1 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许 多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应 用. .新课讲授 师既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？ 生可以.比如我的身高比她的身高高 5 公分. 用天平称重量时，两个托盘不平衡等. 师很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题. 投影片（1.1 a） 如图 11，用两根长度均为 l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆. 图 11 （1）如果要使正方形的面积不大于 25 cm2， 那么绳长 l应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于 100 cm2,那么绳长 l应满足怎样的关系式？ （3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变 l的取值，再试一试. 师本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不 大于”“大于”等词的含意. 生正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是r2，其中 r是圆的半径. 两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. 师下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答. 生（1）因为绳长 l 为正方形的周长，所以正方形的边长为 4 l ，得面积为（ 4 l ）2，要使正方形 的面积不大于 25 cm2，就是 （ 4 l ）225. 即 16 2 l 25. （2）因为圆的周长为 l，所以圆的半径为 r= 2 l . 要使圆的面积不小于 100 cm2，就是 （ 2 l ）2100 即 4 2 l 100 （3）当 l=8 时，正方形的面积为 16 82 =4（cm2）. 2011-10-10 10:24:00 共 49 页 第 2 页 圆的面积为 4 82 5.1（cm2）. 45.1 此时圆的面积大. 当 l=12 时，正方形的面积为 16 122 =9（cm2）. 圆的面积为 4 122 11.5（cm2） 此时还是圆的面积大. （4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的 面积总大于正方形的面积，即 4 2 l 16 2 l . 因为分子都是 l 2相等、分母 416，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小， 因此不论 l取何值，都有 4 2 l 16 2 l . 做一做 投影片（1.1 b） 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干 离地面 1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为 5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵 树至少生长多少年其树围才能超过 2.4 m？（只列关系式）. 师请大家互相讨论后列出关系式. 生设这棵树至少生长 x 年其树围才能超过 2.4 m，得 3x+5240 议一议 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ 生由 16 2 l 25 4 2 l 100 4 2 l 16 2 l 3x+5240 得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知： 一般地，用符号“”（或“”）,“”（或“”）连接的式子叫做不等式（inequality）. 例题. 用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是负数； （3）a与 6的和小于 5； （4）x 与 2的差小于1； （5）x 的 4倍大于 7； （6）y 的一半小于 3. 生解：（1）a0;（2）a0; （3）a+65;（4）x21; （5）4x7;（6） 2 1 y3. 2011-10-10 10:24:00 共 49 页 第 3 页 .随堂练习 2.解：（1）a0; （2）ca 且 cb； （3）x+175x. 补充练习 当 x=2时，不等式 x+34成立吗？ 当 x=1.5 时，成立吗？ 当 x=1 呢？ 解：当 x=2时，x+3=2+3=54成立， 当 x=1.5 时，x+3=1.5+3=4.54成立； 当 x=1 时，x+3=1+3=24,不成立. .课时小结 能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念. .课后作业 习题 1.1 1.解：（1）3x+85x; （2）x20; （3）设海洋面积为 s海洋，陆地面积为 s陆地，则有 s海洋s陆地. （4）设老师的年龄为 x，你的年龄为 y,则有 x2y. （5）m铅球m篮球. 2.解：满足条件的数组有： 1，3；1，5；1，7；3，5. 3.解：所需甲种原料的质量为 x 千克，则所需乙种原料的质量为（10x）千克，得 600x+100（10x）4200. 4.解：8x+4（10x）72. .活动与探究 a,b两个实数在数轴上的对应点如图 12 所示： 图 12 用“”或“”号填空： （1）a_b;（2）|a|_|b|; （3）a+b_0;（4）ab_0; （5）a+b_ab;（6）ab_a. 解：由图可知：a0,b0,|a|b|. （1）ab;（2）|a|b|; （3）a+b0;（4）ab0; （5）a+bab;（6）aba. 板书设计 1.1 不等关系 一、1.投影片1.1 a（讨论长度均为 l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，比较它们的面积的大 小）. 2.做一做（投影片1.1 b） 根据已知条件列不等式 3.归纳不等式的定义 4.例题 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 2011-10-10 10:24:01 共 49 页 第 4 页 参考练习 用不等式表示： （1）x 的 3 2 与 5 的差小于 1； （2）x 与 6的和大于 9； （3）8与 y的 2倍的和是正数； （4）a的 3倍与 7的差是负数； （5）x 的 4倍大于 x的 3倍与 7 的差； （6）x 的 5 4 与 1 的和小于2； （7）x 与 8的差的 3 2 不大于 0. 参考答案： 解：（1） 3 2 x51; （2）x+69; （3）8+2y0; （4）3a70; （5）4x3x7; （6） 5 4 x+12; （7） 3 2 （x8）0. 第二课时 课 题 1.2 不等式的基本性质不等式的基本性质 教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. 教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. 教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. 教具准备 投影片两张 2011-10-10 10:24:01 共 49 页 第 5 页 第一张：（记作1.2 a） 第二张：（记作1.2 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 生记得. 等式的基本性质 1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质 2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为 0），所得的结果仍是等式. 师不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. .新课讲授 1.不等式基本性质的推导 师等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发 表自己的看法. 生35 3+25+2 3252 3+a5+a 3a5a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 师很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. 生35 3252 3 2 1 5 2 1 . 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. 生不对. 如 35 3（2）5（2） 所以上面的总结是错的. 师看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. 生如 34 3343 3 3 1 4 3 1 3（3）4（3） 3（ 3 1 ）4（ 3 1 ） 3（5）4（5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负 数时，不等号的方向改变. 师非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为 0），情况会怎样呢？请大家 用类似的方法进行推导. 生当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负 数时，不等号的方向改变. 师因此，大家可以总结得出性质 2和性质 3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释 4 2 l 16 2 l 的正确性 师在上节课中，我们知道周长为 l 的圆和正方形，它们的面积分别为 4 2 l 和 16 2 l ，且有 4 2 l 2011-10-10 10:24:02 共 49 页 第 6 页 16 2 l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ 生416 4 1 16 1 根据不等式的基本性质 2，两边都乘以 l 2得 4 2 l 16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式： （1）x51; （2）2x3; （3）3x9. 生（1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 5，得 x1+5 即 x4; （2）根据不等式的基本性质 3，两边都除以2，得 x 2 3 ; （3）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 3，得 x3. 说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时，要注意数的正、负，从而决定不 等号方向的改变与否. 4.议一议 投影片（1.2 a） 讨论下列式子的正确与错误. （1）如果 ab，那么 a+cb+c; （2）如果 ab，那么 acbc; （3）如果 ab,那么 acbc; （4）如果 ab,且 c0,那么 c a c b . 师在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个 数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先 要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负. 本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流. 生（1）正确 ab，在不等式两边都加上 c，得 a+cb+c; 结论正确. 同理可知（2）正确. （3）根据不等式的基本性质 2，两边都乘以 c，得 acbc, 所以正确. （4）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 c，得 c a c b 所以结论错误. 师大家同意这位同学的做法吗？ 生不同意. 2011-10-10 10:24:02 共 49 页 第 7 页 师能说出理由吗？ 生在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有 ab,两 边同时乘以 c 时，没有指明 c 的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改 变，若 c=0，则有 ac=bc,正是因为 c 的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等 号.而结论 acbc.只指出了其中一种情况，故结论错误. 在（4）中存在同样的问题，虽然 c0,但不知 c 是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否 改变，若 c0,则有 c a c b ,若 c0，则有 c a c b ,而他只说出了一种情况，所以结果错误. 师通过做这个题，大家能得到什么启示呢？ 生在利用不等式的性质 2 和性质 3 时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数， 从而确定不等号的改变与否. 师非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和 不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行. 生不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条. 区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时，所得结果仍是等式；在不等式的 两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负 数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以 （或除以，除数不为 0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质 1 和等式的基本性质 1 相类似. .课堂练习 1.将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式. （1）x12 （2）x 6 5 生解：（1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 1，得 x3 （2）根据不等式的基本性质 3，两边都乘以1，得 x 6 5 2.已知 xy,下列不等式一定成立吗？ （1）x6y6; （2）3x3y; （3）2x2y. 解：（1）xy,x6y6. 不等式不成立； （2）xy,3x3y 不等式不成立； （3）xy,2x2y 不等式一定成立. 投影片（1.2 b） 3.设 ab,用“”或“”号填空. （1）a+1 b+1;（2）a3 b3; （3）3a 3b;（4） 4 a 4 b ; （5） 7 a 7 b ;（6）a b. 分析：ab 根据不等式的基本性质 1，两边同时加上 1 或减去 3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号 的方向不变； 在（3）、（4）中根据不等式的基本性质 2，两边同时乘以 3 或除以 4，不等号的方向 不变； 2011-10-10 10:24:02 共 49 页 第 8 页 在（5）、（6）中根据不等式的基本性质 3，两边同时乘以 7 1 或1，不等号的方向 改变. 解：（1）a+1b+1;（2）a3b3; （3）3a3b;（4） 4 a 4 b ; （5） 7 a 7 b ;（6）ab. .课时小结 1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质. 2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空. .课后作业 习题 1.2 .活动与探究 1.比较 a与a 的大小. 解：当 a0时，aa; 当 a=0时，a=a; 当 a0时，aa. 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论. 2.有一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的数是 b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对 调，得到的两位数大于原来的两位数，那么 a 与 b哪个大哪个小？ 解：原来的两位数为 10b+a. 调换后的两位数为 10a+b. 根据题意得 10a+b10b+a. 根据不等式的基本性质 1，两边同时减去 a，得 9a+b10b 两边同时减去 b，得 9a9b 根据不等式的基本性质 2，两边同时除以 9，得 ab. 板书设计 1.2 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质的推导. 2.用不等式的基本性质解释 4 2 l 16 2 l . 3.例题讲解. 4.议一议 练习 小结 作业 备课资料 参考练习 1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“xa”或“xa”的形式： （1）x23;（2）6x5x1; （3） 2 1 x5;（4）4x3. 2.设 ab.用“”或“”号填空. （1）a3 b3;（2） 2 a 2 b ; （3）4a 4b;（4）5a 5b; （5）当 a0,b 0时，ab0; （6）当 a0,b 0时，ab0; 2011-10-10 10:24:03 共 49 页 第 9 页 （7）当 a0,b 0时，ab0; （8）当 a0,b 0时，ab0. 参考答案： 1.（1）x5;（2）x1; （3）x10;（4）x 4 3 . 2.（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）. 第三课时 课 题 1.3 不等式的解集不等式的解集 教学目标 （一）教学知识点 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义. 2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义. 3.会在数轴上表示不等式的解集. （二）能力训练要求 1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力. 2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识. （三）情感与价值观要求 从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通 过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造. 教学重点 1.理解不等式中的有关概念. 2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. 教学难点 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. 教学方法 引导学生探索学习法. 教具准备 投影片一张 记作（1.3 a） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点. 下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质. 生不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 师很好. 在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解 方程等概念，大家还记得这些概念吗？ 生记得. 能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解. 求方程的解的过程，叫做解方程. 2011-10-10 10:24:03 共 49 页 第 10 页 师非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不 能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？本节课我们就来试一试. .新课讲授 1.现实生活中的不等式. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的安全区域.已 知导火线的燃烧速度为以 0.02 m/s，人离开的速度为 4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？ 师分析：人转移到安全区域需要的时间最少为 4 10 秒，导火线燃烧的时间为 10002 . 0 x 秒，要 使人转移到安全地带，必须有： 10002 . 0 x 4 10 . 解：设导火线的长度应为 x cm，根据题意，得 10002 . 0 x 4 10 x5. 2.想一想 （1）x=5,6,8能使不等式 x5成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式 x5成立的 x 的值吗？ 生（1）x=5不能使 x5成立，x=6,8 能使不等式 x5 成立. （2）x=9,10,11等比 5大的数都能使不等式 x5成立. 师由此看来，6，7，8，9，10都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等 式的解呢？不等式的解唯一吗？ 生可以.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如 6、7、8都是 x5 的解.所以不等式 的解不唯一，有无数个解. 师正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 （solution set）. 请大家再类推出解不等式的概念. 生求不等式解集的过程叫解不等式. 3.议一议. 请你用自己的方式将不等式 x5 的解集和不等式 x51 的解集分别表示在数轴上，并与同伴 交流. 生不等式 x5 的解集可以用数轴上表示 5 的点的右边部分来表示（图 13），在数轴上表示 5 的点的位置上画空心圆圈，表示 5 不在这个解集内. 图 13 不等式 x51 的解集 x4 可以用数轴上表示 4 的点及其左边部分来表示（图 14），在数轴 上表示 4的点的位置上画实心圆点，表示 4在这个解集内. 图 14 师请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明. 生如 x3, 即为数轴上表示 3 的点的右边部分，在数轴上表示 3 的点的位置上画空心圆圈，表 示不包括这一点. x3，可以用数轴上表示 3 的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈. x3，可以用数轴上表示 3 的点和它的右边部分来表示，在表示 3 的点的位置上画实心圆点，表示 包括这一点. x3，可以用数轴上表示 3 的点和它的左边部分来表示，在表示 3 的点的位置上画实心圆点. 4.例题讲解 投影片（1.3 a） 根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. 2011-10-10 10:24:03 共 49 页 第 11 页 （1）x24;（2）2x8 （3）2x210 解：（1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 2，得 x2 在数轴上表示为： 图 15 （2）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 2，得 x4 在数轴上表示为： 图 16 （3）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 2，得2x8 根据不等式的基本性质 3，两边都除以2，得 x4 在数轴上表示为： 图 17 .课堂练习 1.判断正误： （1）不等式 x10 有无数个解； （2）不等式 2x30的解集为 x 3 2 . 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x4;（2）x1; （3）x2;（4）x6. 1.解：（1）x10,x1 x10 有无数个解.正确. （2）2x30,2x3, x 2 3 ,结论错误. 2.解： 图 18 .课时小结 本节课学习了以下内容 1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念. 2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. .课后作业 习题 1.3 .活动与探究 小于 2 的每一个数都是不等式 x+36的解，所以这个不等式的解集是 x2.这种解答正确吗？ 2011-10-10 10:24:04 共 49 页 第 12 页 解：不正确. 从解不等式的过程来看，根据不等式的基本性质 1，两边都减去 3，得 x3. 所以不等式 x+36 的解集为 x3,而不是 x2.当然小于 2 的值都在 x3 这个范围内，它只是解集 中的一部分，不是全部，所以不能以部分来代替全部. 因此说 x2 是不等式 x+36的解是错误的. 板书设计 1.3 不等式的解集 一、1.现实生活中的不等式（水费问题）； 2.想一想（类推不等式中的有关概念）； 3.议一议（如何把不等式的解集在数轴上表示出来）； 4.例题讲解. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 1.用不等式表示： （1）x 的 3倍大于或等于 1； （2）x 与 5的和不小于 0； （3）y 与 1的差不大于 6； （4）x 的 4 1 小于或等于 2. 2.不等式的解集 x3 与 x3 有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个 解集表示出来. 3.不等式 x+36的解集是什么？ 参考答案 1.（1）3x1;（2）x+50; （3）y16;（4） 4 1 x2. 2.x3 指小于 3 的所有数，x3 指小于 3 的所有数和 3；在数轴上表示它们时，x3 不包括 3，只 是 3左边的部分，x3 不仅包括 3左边的部分，而且还包括 3. 在数轴上表示略. 3.x3. 第四课时 课 题 1.4.1 一元一次不等式（一）一元一次不等式（一） 教学目标 （一）教学知识点 1.知道什么是一元一次不等式？ 2.会解一元一次不等式. （二）能力训练要求 1.归纳一元一次不等式的定义. 2.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤. （三）情感与价值观要求 2011-10-10 10:24:04 共 49 页 第 13 页 通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式 的基本步骤. 教学重点 1.一元一次不等式的概念及判断. 2.会解一元一次不等式. 教学难点 当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变. 教学方法 自觉发现归纳法 教师通过具体实例让学生观察、归纳、独立发现解一元一次不等式的步骤.并针对常见错误进行指 导，使他们在以后的解题中能引起注意，自觉改正错误. 教具准备 投影片两张 第一张：（记作1.4.1 a） 第二张：（记作1.4.1 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容.并且 知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“xa”或“xa”的形式.那么，什么样的不等式 才可以运用不等式的基本性质而被化成“xa”或“xa”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们 将进行这方面的研究. .讲授新课 1.一元一次不等式的定义. 师大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？ 生记得. 只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程. 师很好.我们知道一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此大家可以类 推出一元一次不等式的定义，可以吗？ 生只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式. 师好.下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论. 投影片（1.4.1 a） 下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x2.515;（2）5+3x240; （3）x4;（4） x 1 1. 生（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. 师（4）为什么不是呢？ 生因为 x在分母中， x 1 不是整式. 师好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数， 未知数的次数，且不等式的两边都是整式.请大家总结出一元一次不等式的定义. 生不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这样的不等式， 叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）. 2.一元一次不等式的解法. 师在前面我们接触过的不等式中，如 2x2.515,5+3x240 都可以通过不等式的基本性质化 成“xa”或“xa”的形式，请大家来试一试. 例 1解不等式 3x2x+6，并把它的解集表示在数轴上. 分析要化成“xa”或“xa”的形式，首先要把不等式两边的 x 或常数项转移到同一侧，变 成“axb”或“axb”的形式，再根据不等式的基本性质求得. 解两边都加上 x，得 2011-10-10 10:24:04 共 49 页 第 14 页 3x+x2x+6+x 合并同类项，得 33x+6 两边都加上6,得 363x+66 合并同类项，得 33x 两边都除以 3，得1x 即 x1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 图 19 师观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上 x，就相当于把左边的x 改变符号后移到了 右边，这种变形叫什么呢？ 生叫移项. 师由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上6，可以看作把 6 改变 符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除以 3，就是把 x 的系数化 成 1. 现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤. 生移项，得 362x+x 合并同类项，得 33x 两边都除以 3，得 1x 即 x1. 师从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么 关系？ 生有相似之处. 师大家还记得解一元一次方程的步骤吗？ 生记得.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成 1. 师下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. 例 2解不等式 2 2x 3 7x ，并把它的解集在数轴上表示出来. 生解：去分母，得 3（x2）2（7x） 去括号，得 3x6142x 移项，合并同类项，得 5x20 两边都除以 5，得 x4. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 图 110 师这位同学做得很好.看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家判断以 下解法是否正确.若不正确，请改正. 投影片（1.4.1 b） 解不等式： 3 12 + x 5 解：去分母，得2x+115 2011-10-10 10:24:05 共 49 页 第 15 页 移项、合并同类项，得2x16 两边同时除以2，得 x8. 生有两处错误. 第一，在去分母时，两边同时乘以3，根据不等式的基本性质 3，不等号的方向要改变，第二， 在最后一步，两边同时除以2 时，不等号的方向也应改变. 师回答非常精彩.这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误，希望大家要引起注意. 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. 师请大家讨论后发表小组的意见. 生联系：两种解法的步骤相似. 区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以 （或除以）同一个负数时，等号不变. （2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解. .课堂练习 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x10;（2）3x+120; （3） 2 1x 3 54 x ; （4） 2 7+x 1 2 23 +x . 解：（1）两边同时除以 5，得 x2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 图 111 （2）移项，得3x12, 两边都除以3，得 x4, 这个不等式的解集在数轴上表示为： 图 112 （3）去分母，得 3（x1）2（4x5）, 去括号，得 3x38x10, 移项、合并同类项，得 5x7, 两边都除以 5，得 x 5 7 , 不等式的解集在数轴上表示为： 图 113 （4）去分母，得 x+723x+2, 移项、合并同类项，得 2x3, 两边都除以 2，得 x 2 3 , 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 114 2011-10-10 10:24:05 共 49 页 第 16 页 .课时小结 本节课学习了如下内容： 1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. .课后作业 习题 1.4 .活动与探究 求下列不等式的正整数解： （1）4x12;（2）3x90. 解：（1）解不等式4x12,得 x3, 因为小于 3 的正整数有 1，2两个，所以不等式4x12 的正整数解是 1，2. （2）解不等式 3x90,得 x3. 因为不大于 3的正整数有 1，2，3三个，所以不等式 3x90 的正整数解是 1，2，3. 板书设计 1.4.1 一元一次不等式（一） 一、1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 例 1 例 2 判断题 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 同解不等式 看下面两个等式 x+36 （1） x+912 （2） 可以知道，不等式（1）的解集是 x3,不等式（2）的解集也是 x3，就是说，不等式（1）与 （2）的解集相同. 如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.从上面知道，（1）与（2）是同 解不等式. 因为不等式（2）实际上就是 x+3+66+6 所以不等式（1）的两边都加上 6，所得不等式（即不等式 x+912）与不等式（1）同解. 一般地，有 不等式同解原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不 等式是同解不等式. 不等式同解原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解 不等式. 不等式同解原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得 的不等式与原不等式是同解不等式. 我们在前面解不等式所作的变形都符合不等式的同解原理（特别要注意不等式两边都乘以或除以同 一个负数后，改变不等号的方向），这就保证最后得出的解集就是原不等式的 解集. 第五课时 课 题 2011-10-10 10:24:05 共 49 页 第 17 页 1.4.2 一元一次不等式（二）一元一次不等式（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.进一步巩固求一元一次不等式的解集. 2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. （二）能力训练要求 通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克 服困难的意志，增强自信心. 教学重点 1.求一元一次不等式的解集. 2.用数学知识去解决简单的实际问题. 教学难点 能结合具体问题发现并提出数学问题. 教学方法 在教师的引导下，学生探索的方法. 教具准备 投影片两张 第一张：（记作1.4.2 a） 第二张：（记作1.4.2 b） 教学过程 .提出问题，引入新课 师上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不等式，下面 大家先回忆一下. 生不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫 一元一次不等式. 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似，大致有：（1）去分母；（2）去 括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成 1. 师很好.在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？ 生有.在去分母和系数化成 1 这两步中，如果两边同时乘以或除以同一个负数，要注意改变不等 号的方向. 师非常棒.下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何. 1.解不等式： 5 1 （x+15） 2 1 3 1 （x7） 生解：去分母，得 6（x+15）1510（x7）, 去括号，得 6x+901510x+70, 移项、合并同类项，得 16x15， 两边同除以 16，得 x 16 15 . 师做得很好.请看第 2题. 2.判断下面解法的对错. 解不等式： 3 12 +x 6 15 x 2 解：去分母，得 2（2x+1）5x12, 去括号，得 4x+25x12 移项、合并同类项，得x1 2011-10-10 10:24:05 共 49 页 第 18 页 两边都乘以1，得 x1. 师请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来. 生第一，在去分母时，分子应作为一个整体，应加括号，是（5x1）,而非5x1，第二，整 数 2也应乘以公分母. 师这位同学的分析很精彩.请大家改正. 生解：去分母，得 2（2x+1）（5x1）12 去括号，得 4x+25x+112, 移项、合并同类项，得x9, 两边都乘以1，得 x9. 师刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固. .新课讲授 例 1解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （1） 2 x 3 x 1;（2） 5 x 3+ 2 2x . 师经过刚才的改错，我们现在不进行讲解，而是要大家自觉完成，再互相改正，注意一定不要 犯刚才的错误哟. 生解：（1）去分母，得 3x2x6, 合并同类项，得 x6, 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 115 （2）去分母，得 2x30+5（x2）, 去括号，得 2x30+5x10, 移项、合并同类项，得 3x20, 两边都除以 3，得 x 3 20 . 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 116 师这类题型我们掌握得已很好了，下面我们来学习有关不等式的应用题. 投影片（1.4.2 b） 例 2一次环保知识竞赛共有 25道题，规定答对一道题得 4分，答错或不答一道题扣 1分，在这 次竞赛中，小明被评为优秀（85 分或 85 分以上），小明至少答对了几道题？ 例 3小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本.已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.2 元，她买了 2 本笔记 本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？ 师解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行. 生先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方 程；最后写出答案. 师分析：总的题量有 25 题.答对一题得 4 分，答错或不答扣 1 分，最后得分在 85 分或 85 分以 上，所以关系式应为： 4答对题数1答错题数85 请大家自己写步骤. 生解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有（25x）道题，根据题意，得 4x1（25x）85 解这个不等式，得 x22. 所以，小明至少答对了 22道题，他可能答对了 22，23，24，25 道题. 师大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同， 并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流. 2011-10-10 10:24:05 共 49 页 第 19 页 生第一步：审题，找不等关系； 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根据实际情况写出答案. 师非常好.请大家按照刚才的步骤解答例 3. 生解：设她还可以买 n 支笔，根据题意得 3n+2.2221 解这个不等式，得 n 3 6 . 16 因为在这一问题中 n 只能取正整数， 所以，小颖还可以买 1支，2支，3 支，4 支或 5支笔. .课堂练习 1.解：（1）去分母，得 x+55x, 移项、合并同类项，得4x5, 两边都除以4，得 x 4 5 , 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 图 117 （2）去分母，得 x+37x35 移项、合并同类项，得 6x38 两边都除以 6，得 x 3 19 ， 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 118 （3）去分母，得 3x+122x6 移项、合并同类项，得 x18, 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 119 （4）去括号，得 6x63+4x 移项、合并同类项，得 2x9, 两边都除以 2，得 x 2 9 , 不等式的解集在数轴上表示如下： 图 120 2.解：设他还可以买 x根火腿肠，根据题意，得 2x+3526 解这个不等式，得 x5.5 所以小明还可以买 1 根，2根，3 根，4根或 5根火腿肠. 2011-10-10 10:24:06 共 49 页 第 20 页 .课时小结 根据前面我们做的练习和例题，我们来总结一下解不等式的一般步骤，理论依据及注意事项，和解 一元一次不等式应用题的一般步骤. 1.解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母 根据 等式性质 2或 3 注意：勿漏乘不含分母的项； 分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； 若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变. （1）去括号 根据 去括号法则和分配律 注意：勿漏乘括号内每一项； 括号前面是“”号，括号内各项要变号. （2）移项 根据 移项法则（不等式性质 1） 注意：移项要变号. （4）合并同类项 根据 合并同类项法则. （5）系数化成 1 根据 不等式基本性质 2或性质 3. 注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变 2.解一元一次不等式应用题的步骤： （1）审题，找不等关系； （2）设未知数； （3）列不等关系； （4）解不等式； （5）根据实际情况，写出全部答案. .课后作业 p17习题 1.5 .活动与探究 x 取什么值时，代数式 2x5的值： （1）大于 0？（2）不大于 0？ 解：（1）根据题意，得 2x50 解得 x 2 5 所以当 x 2 5 时，2x5 的值大于 0. （2）根据题意，得 2x50 解得 x 2 5 . 所以当 x 2 5 时，2x5 的值不大于 0. 板书设计 1.4.2 一元一次不等式（二） 一、例 1 解不等式 二、例 2，例 3，解不等式应用题 2011-10-10 10:24:06 共 49 页 第 21 页 三、课堂练习 四、课时小结：