2017年全国高考考前复习大串讲专题5.3高考中的概率与统计问题(含答案)

题型一 古典概型与几何概型 例 1 (1)(2015 陕西变式 )设复数 z (x 1) yi(x， y R)，若 |z|1 ，则 y x 的概率为 _ 【 答案 】 14 12 【 解析 】 由 |z|1 可得 (x 1)2 ，表示以 (1,0)为圆心，半径为 1 的圆及其内部，满足 y 几何概型概率公式可得所求概率为： P1412 12121 2 4 12 1412 . (2)有 9 张卡片分别写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片 (不放回 )，试求： 甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； 甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率 【 解析 】 【 思维升华 】 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏 【跟踪训练 1】 (1)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6 个班 (含甲、乙 )进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺序求： 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率； 决赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X，求 X 的概率分布和均值 【 解析 】 随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 13 415 15 215 115 因此， E(X) 0 13 1 415 2 15 3 215 4 115 43. (2)已知关于 x 的二次函数 f(x) 4a， b)是区域 x y 80 ，x0，y0内的一点，求函数 y f(x)在区间 1， ) 上是增函数的概率 解 函数 f(x) 41 的图象的对称轴为直线 x 2 要使 f(x) 41 在区间 1， ) 上为增函数， 当且仅当 a0 且 21 ，即 2b a. 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 a， b a b 80 ，a0，b0，构成所求事件的区域为三角形部分 (图略 ) 所求概率区间应满足 2b a. 由 a b 8 0，b 得交点坐标为 (163 ，83)， 故所求事件的概率为 P128831288 13. 题型二 求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2015 四川 )某市 A， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的概率分布和均值 【 解析 】 (2)根据题意， X 的可能取值为 1,2,3， P(X 1) 15， P(X 2) 35， P(X 3) 15， 所以 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 15 35 15 因此， X 的均值为 E(X) 1 15 2 35 3 15 2. 【 思维升华 】 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应 【跟踪训练 2】 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿 车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x (年 ) 02 02 轿车数量 (辆 ) 2 3 45 5 45 每辆利润 (万元 ) 1 2 3 频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 产一辆乙品牌轿车的利润为别求 (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 【解析】 (1)设 “ 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 ” 为事件 A，则 P(A) 2 350 110. (2)依题意得， 2 3 P 125 350 910 110 910 (3)由 (2)得 E( 1 125 2 350 3 910 14350 元 )， E( 110 910 元 ) 因为 E(E(所以应生产甲品牌轿车 题型三 概率与统计的综合应用 例 3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100 X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如：若需求量 X100,110) ，则取 X 105，且 X 105 的概率等于需求量落入 100,110)的频率 )，求 T 的均值 (2)由 (1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 X150. 由直方图知需求量 X120,150 的频率为 以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 (3)依题意可得 T 的概率分布为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 以 E(T) 45 000 53 000 61 000 65 000 59 400. 【 思维升华 】 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 【跟踪训练 3】 如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示 (1)如果 X 8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果 X 9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的概率分布和均值 (注：方差 1n(x )2 (x )2 (x )2，其中 x 为 ， 同理可得 P(