毕业设计（论文）-等价无穷小量的性质及推广应用.doc

1 各专业完整优秀毕业论文设计图纸 等价无穷小量的性质及推广应用等价无穷小量的性质及推广应用 摘摘 要要 等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是 在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到洛比达法则所不能取代 的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的 一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无 穷小量. 关键词：关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性 2 目目 录录 1 引言 3 2 文献综述 3 2.1 国内外研究现状 3 2.2 国内外研究现状评价 3 2.3 提出问题 3 3 等价无穷小量的概念及其重要性质.3 3.1 等价无穷小量的概念 4 3.2 等价无穷小量的重要性质.5 3.3 等价无穷小量性质的推广.5 4 等价无穷小量的应用 9 4.1 求函数的极限.9 4.2 等价无穷小量在近似计算中的应用10 4.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限10 4.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 .11 5 等价无穷小量的优势12 5.1 运用等价无穷小量求函数极限的优势12 5.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 .14 6 结论 .15 6.1 主要发现15 6.2 启示15 6.3 局限性16 6.4 努力方向16 参 考 文 献 17 3 1 1 引言引言 等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷 小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断 广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握 并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则 会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深 刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的. 2 2 文献综述文献综述 2.12.1 国内外研究现状国内外研究现状 现查阅到的国内外参考文献115中，作者们都不同程度地探讨了等价无穷小的概 念及其重要性质和应用。文献1同济大学应用数学系主编.高等数学.杨文泰 的文献 2都从不同程度上讲解了 等价无穷小的概念。彭康青,马振民的文献5，尤晓琳,吴 振芬的文献4屈红萍,赵文燕的文献8都对等价无穷小求极限进行了讲解研究并得出 一些方法；文献3王斌对用罗比塔法则求未定式极限的局限性进行了探讨。冯录祥， 段丽凌,杨贺菊，王强，龚萍，张云霞，陈大桥，张高明，李权，蹇小平， 殷君芳等 分别在文献6，7,9-15中对等价无穷小进行了一定的讲解与探究，提出了一些合理的 应用方法和推广实例，但存在一定的极限. 2.22.2 国内外研究现状评价国内外研究现状评价 在查阅到的国内外参考文献1-15中，对等价无穷小作了一定的研究，给出了一 些建议与方法，但系统性不强，比较零散，但在数学中，等价无穷小的应用是很重要 的。 2.32.3 提出问题提出问题 本文在查阅到的相关参考文献的基础上，对等价无穷小的应用，提出了开门见山 直接导入，并通过相关例题说明其概念，性质及其应用。 3 3 等价无穷小量的概念及其重要性质等价无穷小量的概念及其重要性质 4 无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当 xx0 时(或 x)时，limf(x)=0， 则称函数 f(x)当 xx0 时(或 x)时为无穷小。 当 lim=1，就说 与 是等价无穷小。 常见性质有： 设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， 若 ,， 且 lim存在，则 lim=lim 若 ，则 性质表明等价无穷小量的商的极限求法。性质表明等价无穷小的传递性若能 运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论： 若 ,， 且 lim=c(-1)，则 + 证明： lim+=lim1+=lim1+c1+ =lim1+c1+c=1 + 而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件，千篇一 律认为“,，则有 + 若 ,， 且 limabcd存在，则当 abcd0 且 limabcd 存在，有 limabcd=limabcd 此性质的证明见文献2 ，性质、在加减法运算的求极限中就使等价无穷小 的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“lim=c(-1)” ， “abcd0”的使用。 3.13.1 等价无穷小量的概念等价无穷小量的概念 定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程 中的无穷小量. 如函数, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当 x0 时的无穷小量.对于 2 x 数列只有一种情形, 即 n, 如数列 为 n时的无穷小量或称为无穷小数列. 1 n 注意： 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近 5 于 0 而又不等于 0. 2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当x 时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量. 1 x 3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 3.1.13.1.1 无穷小量的比较无穷小量的比较 1) 若存在正数k和l,使得在某上有,则称与为当时 0 () o ux ( ) ( ) f x kl g x fg 0 xx 的同阶无穷小量.特别当 则称与是同阶无穷小. 0 ( ) lim(0) ( ) xx f x c c g x ( )f x( )g x 2) 若=1, 则称与是等价无穷小量, 记为. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( )g x 3) 若= 0, 则称是高阶无穷小, 记作=. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( ( )o g x 注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x0 时,与 都是无穷小量, 但它 1 sinx x 2 x 们不能进行阶的比较. 3.2 等价无穷小量的重要性质 设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小, 若 , 且 lim 存在,则 lim=lim （） 11111 11111 limlim(.lim.lim.limlim ） 若 ,则 . 性质表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质表明等价无穷小量的传递性. 3.3 等价无穷小量性质的推广 6 , 且 lim=c(-1),则 +. 1 证明证明 因为 lim= 11 1 limlim() 11 1 11 limlim 11 cc 1 lim1 1 c c 所以 +. 而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件,千篇一律认为 “,则有 + 在同一变化过程中, ,且存在,则 2( )f x( )x( )g x( )x 1 ( ) lim(1( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) g x f x 1 ( ) lim(1( ) x x 证明证明 因为 1 ( ) ln(1( ) lim(1( )exp(lim) ( ) g x f x f x g x = ln(1( ) ( )1 exp(limln(1( ) ln(1( ) ( )( ) f xx x x g xx = ln(1( ) exp(lim) ( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) x x 故结论得证. 若 , 且 lim存在,则当0 且 lim存在,有 3 ab cd ab cd ab cd 7 lim=lim. ab cd ab cd 证明证明 因为 , 11 1 aa abbb aa ab bb 又 ,于是, , limlim1 aa bb lim(1)lim(1)0 aa bb 从而 =1, ab ab 即 abab 同理可证 .cdcd 故命题得证. (4) 设在自变量的某一变化过程中, 、及、都是无 ( )f x( )g x( )h x 1( ) f x 1( ) g x 1( ) h x 穷小量. 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x( )h x 1( ) h x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x 8 . 11 1 lim fgfg hh 证明证明 因为 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因为 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 因为 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因为 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 要证成立,只需证,因为 11 1 lim fgfg hh 1 11 lim1 hfg hfg ,fg 11 fg( )h x 1( ) h x 所以结论得证. 性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简 化了计算.但要注意条件“lim =c(-1)”,“ 0”的使用. ab cd 注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某 一项做替换,和差的替换是不行的. 9 2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与 差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函 数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义. 4 等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用 等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量代换的一个注记、王斌老 师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨、华东师范大学数学系的数学分析 、盛祥耀老师的高等数学、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、 shivakumar n, g.molina h. scam: a copy detection mechanism for digital documents a. the 2nd international conference in theory and practice of digital librariesc. usa austin texas: s. n以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析 与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例 题写出来的.请看下面的内容： 4.14.1求函数的极限求函数的极限 在求极限中经常用到的等价无穷小量有xsin xarcsin xtan xtanarcx -1, , ,( 0).ln(1)x x e1 cosx 21 2 x 1 x a lnxax 例例 1 求. 2 0 2tan lim 1 cos x x x 解解 当当0 时,.x1 cosx 21 2 x 2tan x2x 原式= 2 0 2 4 1 2 lim x x x = 8 例例 2 求. 3 0 tansin lim x xx x 10 解解 原式= 3 0 sin1 cos lim cos x xx xx = (,) 2 3 0 1 2 lim cos x xx xx sin xx1 cosx 2 1 2 x = . 1 2 此题也可用洛必达法则做,但不能用性质做. 所以,=0,不满足性质的条件,否则得出错误结论 0. 3 0 tansin lim x xx x 3 0 lim x xx x 4.2等价无穷小量在近似计算中的应用 如：利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果， 例例 3 3 6 65 64 求的近似值 解解 因为时,0x .11 n x x n 所以 . 66 651 12.005208 6464 故 6 65 62.005175 64的准确值，保留小数点后位可得为 2.0052082.005175)/ 2.0051750.000016相对误差为（这说明计算精度已经很高 4.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 例例 4 求极限 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 解解 由于函数的分母中（0）,因此只需将函数分子中的与分母 2 sin x 2 xx 2 1x 中的 cosx 和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即： 2 x e , 2244 11 11() 28 xxxo x 11 , 22 1 cos1( 2 xxo x ） . 2 22 e1o() x xx 所以 . 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 4444 2 00 44 2 2 11 ()() 88 limlim 3 3o() () 1x 2 2 xx xo xxo x x xo x x 1 12 例例 5 由拉格朗日中值定理,对任意的-1,存在,使得x(0,1) .证明.ln(1)ln(1)ln(1 0) 1 x xx x 0 1 lim( ) 2 x x 解解 因 2 2 ln(1)(), 2 x xxo x , 1 1( ) 1 xo x x 所以,根据题设所给条件有 2 2 ( ) ()1 2 xo x xo xx x 即 , 2 22 () 2 x xo x 所以, . 2 2 00 1()1 lim( )lim 22 xx o x x x 以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能 更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用. 4.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小 的一个应用.比较审敛法的极限形式：设和 都是正项级数, 1 n n u 1 n n v 12 如果=l(0l0 或 l=+,且级数发散,则级数发散.lim n n n u v lim n n n u v 1 n n v 1 n n u 当=1 时,就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,与同敛 n u n v n u n v 散性,只要已知,中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性. n u n v 例例 6 n 1 1 sec( ) 1 n 判定的敛散性 解解 . 2 n 22 11 sec( ) 1 1 2 limlim 11 2 n nn nn 2 111 (,0,sec( ) 1) 2 n nnn 此时 ,所以,收敛. 2 n 1 1 n 又收敛 n 1 1 sec( ) 1 n 例例 7 研究的敛散性 1 1 ln(1) n n 解解 = =1 1 ln(1) lim 1 n n n lim ln(1) n n n 而发散, 1 n 发散. 1 1 ln(1) n n 从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在 很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知 识,才能达到简化运算的目的. 5 等价无穷小量的优势 这一部分的内容是我在听了郑老师和郭老师的数学分析课以后,由于他们教学方法 的鲜明对比而深受启发,在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时,我也希望自己能 13 找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析,因此我选择 了这一部分内容.请看下面的内容： 5.1 运用等价无穷小量求函数极限的优势 例例8 求 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 解解 解法一（等价无穷小量替换）： ,由无穷小替换定理有：=由于l n(1+3x)等价于3x, si n3x等价于 3x, 则 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x . 0 3x lim1 3 x x 解法二（两个重要极限）：由于 , 1 3 00 sin3 limln(1 3 )1,lim1 3 x xx x x x 所以有 =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 1 3 00 ln(1 3 ) ln(1 3 ) 3 limlim1 sin3sin3 33 x xx x x x xx xx 解法三（洛必达法则）： =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 00 3 1 1 3 limlim1 3cos3cos3 (1 3 ) xx x xxx 由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法则、 两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全方位、 多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进行比较,我们 很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限. 例例 9 9 求 ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 解法一（等价无穷小量替换）：由于当x- 时,有,20,30 xx ,则由无穷小替换定理有 x ln(12 )2 ,ln(1 3 )3 xxx 等价于等价于 14 ：=. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ）2 lim 3 x x x 解法二（洛必达法则）： =. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 2 ln21 3 ln2 1212 limlim 3 ln3ln3 3 1 3 2 xx xx xx xx x 我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时,大家总是习惯使用洛必达法则.但是 由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意 的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把写到分母上,而是继续使用洛必达法 2 3 x x 则,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能体现等价无穷小量替换的重要性. 同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷 小量替换. 5.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 如果直接使用洛比达法则,而 22 0 11 lim() sin x xx 22 22 0 xsin lim, sin x x xx 上式可化为 ,分母上的求导运算不用“ 等价无穷小替换” ，那么在四次使用洛比达法则的过程中 将越来越复杂.若对上式中分母上的无穷小量用等价无穷小量来替换,便可将上sin xx 式化为较为简单的式子,虽然让使用洛比达法则,但是其运算过程就变的 22 4 0 xsin lim x x x 很简单了.请看下面的例题： 例例 10 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 解解 原式= （用罗比塔法则） 2 2 0 sec (sin )cos lim cos(tan )sec x xx xx =（分离非零极限乘积因子并算出非零极限） 0 sin(tan ) lim tan(sin ) x x x 15 = （用罗比塔法则） 2 2 0 cos(tan )sec lim sec (sin )cos x xx xx = . 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 出现循环,此时用罗比塔法则求不出结果.怎么办？用等价无穷小量代换. 因为 xsinxtanx(x0) 所以,原式= =1 而得解. 0 lim x x x 例例 11 求 2 2 0 1 lim(cot) x x x 解解 原式= 22 22 0 tan lim tan x xx xx 4 0 (tan)(tan) lim x xxxx x 4 0 2 (tan) lim x xxx x 3 0 2(tan) lim x xx x 22 22 00 2(sec1)2tan limlim 33 xx xx xx （）. 2 3 tan xx 若使用洛必达法则可知原式=继续运用 22 22 0 tan lim tan x xx xx 222 0 2(sec tan) lim 2 tan2tan sec x xxx xxxxx 洛必达法则会将上式越变越复杂,难于求出最后的结果.而通过运用无穷小的等价替换,将 分母替换成,又将分子分解因式后进行等价替换,从而很快地求出正确结果, 22 tanxx 4 x 由此可以看出单单运用洛必达法则有时并不能达到较好的效果,适时地运用等价替换可 以简化替换. 通过上面的两个例子可看到洛必达法则并不是万能的,也不一定是最佳的,它的使 用具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的 4 条性质就不难求出正确的结论. 6 6 结论结论 6.16.1 主要发现主要发现 极限计算是微积分理论中的一个重要内容,等价无穷小量代换又是极限运算中 的一个重要的方法.利用等价无穷小量代换计算极限,主要是指在求解有关无穷小的极 16 限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法,通常与 洛必达法则一起使用,目的是使解题步骤简化,减少运算错误.进行等价无穷小量代换的 原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母 同时进行代换,也可以只对分子（或分母）进行代换.当分子或分母为和式时,通常不能 将和式中的某一项以等价无穷小量替换,而应将和式作为一个整体、一个因子进行代换,即 必须是整体代换；当分子或分母为几个因子相乘积时,则可以只对其中某些因子进行等 价无穷小量代换简言之,只有因子才可以进行等价无穷小量替换. 6.26.2 启示启示 等价无穷小量的性质掌握好了有利于我们方便快捷简单的解得答案，不一定要用 洛必达法则，而且洛必达法则不是每个题都适用的，.所以我们求解一道题时要进行全 方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法。同时让我们知道数学是一个永 无止境的领域，我们只有多学习，多研究，探讨，争论，掌握更多的知识才能用快而 且好的方法来解决问题。 6.36.3 局限性局限性 有关等价无穷小量优越性和等价无穷小量的性质及性质的推广应用的例题还有很 多，本文探讨了重要的一些例子，对于什么时候用等价无穷小量的性质，什么时候用 洛必达法则，什么时候有等价无穷小量和洛必达法则一起使用就没有一一举例了。 6.46.4 努力方向努力方向 无穷小时数学分析的基础概念，贯穿于数学分析的始