初中数学专题辅导1

初中数学专题辅导 一 应用方程处理问题 在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是 一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加 重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。 在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发 展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解 应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数 式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。 【考点解析】 例. 张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的 50 吨面粉和第二 仓库的 70 吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收 40 吨面粉，乙厂接收 80 吨面 粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省， 如果 1 吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费 最低？ 工 厂 运 价 甲 乙 仓 库 第 一 仓 库 6元 8元 第 二 仓 库 4元 5元 表一 分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问 题转化为数学问题。 工 厂 运 货 量 甲 乙 仓 库 （ 40） （ 80） 第 一 仓 库 （ 50） x1 2 第 二 仓 库 （ 70） 3 4 表二 解：假设张清安排的运输方案如表二，那么 应满足下面的数量关系：xx1234、 、 、 xxx12342 123450738()() )()()其 中 、 、 、 非 负其 中 式 可 以 由 得 到 也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可 以把 分别用 表示出来。x234、 、 x1 如果设总运费为 N，那么有 xxx685043071323111()()()()由 和 非 负 可 得 ： 所以，只要 取最大值 40，总运费 N 取最小值 670，也就是说，由第一仓库给甲厂运x1 40 吨面粉，给乙厂运 10 吨面粉，再由第二仓库给乙厂运 70 吨面粉，即完成了给定任务， 还使总运费最省，共计 670 元。 点评：本题是 2001 年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。 本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把 分别用 表示出来，然后由x234、 、 x1 的取值范围确定运费 N 的最小值。x1 【例题分析】 例 1 一件工作，由甲单独作需要 24 个小时，由乙单独做需要 18 个小时，现在先由甲单 独作 6 个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？ 分析：若直接设元，则设完成这件工作需要 x 个小时，列方程解出 x 即可。若间接选 元则可以设甲、乙合作用了 x 个小时，则 x6 就是问题要求的未知量。 解法 1：(直接设元)设完成这件工作共需 x 个小时，由已知甲先工作了 6 个小时，则甲、 乙合作了(x6)个小时。设全部工作量为 1，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，12418 根据题意列方程： 6124612487135()()()xx即 ：解 得 ： 小 时 答：共需 小时完成全部工作。7 解法 2：(间接设元)设甲先工作 6 小时后，甲、乙又合作 x 个小时，由题意，得： 14618x) 整理得： 734 x5()小 时 答：完成这件工作需 小时。1357 小结：本题解法 1 和解法 2 表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时， 可以采用间接选元的方法。 例 2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的 2 倍大 1，个位上的数比十位上的数 的 3 倍小 1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比 原来的三位数大 99。求原来的三位数。 分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数 和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。 解：设原来的三位数的十位上的数为 x，则它的百位上的数为 2x1，个位上的数为 3x1，这个三位数表示为： 100(2x1)10x(3x 1) 把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到： 100(3x1)10x(2x 1) 根据题意，得方程： 100(3x1)10x(2x 1) 100(2x1)10x(3x 1)99 解这个方程，得： 99x19899 xx32178则 ， 答：原来这个三位数是 738。 例 3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过 2 号桥 20 分钟以后到达 A 处，发现在二号 桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距 2 公里，求水流 速度。 分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥 20 分钟和两桥间 相距 2 公里。如果只设水流速度为每分钟 x 公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助 未知数，以建立等量关系列出方程。 解：设船速为每分钟 a 公里，水流速度为每分钟 x 公里，依题意列方程： 20201205xxaxxx()()()./)即 公 里 分 经检验知 是原方程的解，并且符合题意。 答：水流速度为每分钟 0.05 公里。 例 4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为 3；第二次又加入 同样多的水后，盐水的浓度变为 2，求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。 解：本题需设辅助未知数。设原有盐水 a 升，每次加入水量是 b 升，且设第三次加入 水后，盐水浓度为 x，依题意列方程组： ()()%ababx32 化 简 得 ： 2132()()(ab 由(1)得： 34 得 ab 代入(2)得： 6x()a0 15. 答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为 1.5。 小结：例 3 和例 4 都要把辅助未知数消去，简称消去参数。 【模拟试题】 1. 一件工作甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成，现在甲先做 3 天，余下的工作由乙 继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 2. 甲乙两地相距 12 千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲 地，小王从乙地到甲地，在甲地停留 40 分钟后，又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从 甲、乙两地出发，经过 4 小时后，他们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小 时多走 1.5 千米，求两人的速度。 3. 有某种农药一桶，倒出 8 升后用水补满，然后又倒出 4 升，再用水补满，于是测得桶 中农药与水的比为 18：7，求桶的容积。 4. 小船航行于内河的 A、B 两个码头之间逆流而上需要航行 6 小时，已知小船在静水中 航行 AB 这段路程比顺流而下要多用 1 小时，求小船顺流而下航行所需时间。 5. 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲走 10 米后两人第一次相遇，然 后甲继续向前走到 B 处立即返回，乙继续向前走到 A 处立即返回，在距离 B 点 6 米处二 人第二次相遇，问 A、B 两地相距多少米？ 6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100 公里。团体中的一部分人乘车先行，余下 的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时 速 8 公里，汽车时速 40 公里。问要使大家在下午 4 点钟同时到达乙地，必须在什么时候出 发？ 7. 某县农机厂金工车间共 86 个工人，已知每个工人平均可加工甲种部件 15 个，或乙种 部件 12 个，或丙种部件 9 个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才 能使加工后的 3 个甲种部件、2 个乙种部件和 1 个丙种部件恰好配套。 8. 一支队伍以 a 公里/小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回 到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。 【疑难解答】 A. 教师自己设计问题： 1. 解答题的第 6 小题的问题实质是什么？ 2. 解答题的第 7 小题能不能用两种方法来解？ 3. 解答题的第 8 小题怎样设辅助未知数？ B. 对问题的解答： 1. 答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到 先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。 解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地 x 公里，这一部分人下车地点距另一部分人 的上车地点相距 y 公里。如图所示：(从甲地到乙地 100 公里) x公 里 甲 下 车 点 乙 上 车 点 y公 里 汽车走(xy)公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间 相等，列出方程为： xy8401() 先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另 一部分人到终点所用的时间，得出方程为： 18402xyx() 解方程组 xyyx84011得 从 甲 地 到 乙 地 共 用 小 时 。xyx75040185 答：要使大家下午 4 点钟同时到达目的地，必须在中午 11 点出发。 2. 答：本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需 x 人，乙种部件需 y 人，丙种部件需 z 人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组： xyzxyz86153923602解 得 设加工后的丙种部件有 x 个，那么甲种部件有 3x 个，乙种部件有 2x 个。根据题意列 方程： 31529861801392xxx解 得人 ， 人 ， 人 。 以上两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。 3. 答：分析：本题的已知量仅有 a 公里/ 小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未 知量，设队伍的长度为 公里，通讯员的速度为 x 公里/小时。l 根据题意得方程： xl 解得： a()/21公 里 小 时 试题答案 1. 设整个工作量是 1，乙还需 x 天完成。 列方程 9364x 2. 设小张速度是 x 千米/小时，小王速度是 y 千米/ 小时。 列方程组： ()(). .4 12365645 yx解 之 得 3. 设桶的容积为 x 升。 列方程 x()12387 答：x40 升。 4. 小船顺流而下需航行 x 小时，小船在静水中速度为 a 千米/小时，水流速度为 b 千米/ 小时。 列方程组 babx()()1 x123或 5. 设两地相距为 x 米 则 。 vx甲乙 解 得 米0424 6、7、8 题见疑难解答。 二 用辩证思维解题 数学世界丰富多彩，又充满矛盾，渗透着辩证法。解题时不妨进行辩证思维，这样可 以激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。 一、顺向与逆向 例 1. 求 的值。2222345678910 解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。 原式 ()10987 ()()22268763 二、常量与变量 例 2. 如图，已知正比例函数 和 的图像与反比例函数yx2a()0 的图像在第一象限内分别交于 A、B 两点，过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分ykx()0 别为 C、D。设 和 的面积分别为 和 ，则 与 的大小关系是（ AOBDS121S2 ） 不确定的ASBSCSD121212 y A O C D x B 解析：由 可得 。很显然，若点 是函数 图像上ykxykPy()0， kx()0 的任意一点，过 P 作 轴于 Q，则 的面积是一个常量，都等于 ，与点 P 在2 图像上的位置无关。所以 ，选 B 答案。S12 三、直接与间接 例 3. 有一片牧场，假设草每天都在匀速生长（草每天增长量相等） ，如果放牧 24 头牛， 则 6 天吃完牧草；若放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。 问： （1）要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？ （2）如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草？ 解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别 看作是水流速度和船速。由 ，可得草减少的速度。v逆 静 水 （1）设草的总量为 S，每天生长的速度为 ，每头牛每天吃草量为 ，则v1v2 6241821()()v 由(1)(2)得 ，即草的生长量等于 12 头牛每天的吃草量，所以最多放牧 12 头1 牛，使牧草永远吃不完。 （2）由（1）知 ，则Sv72721618v 故放牧 16 头牛 18 天可以吃完草。 四、整体与局部 例 4. 若 ，且有 及 ，则 的值是ab14209a204bab1 _。 解析：若按常规方法，先求出 a、b 的值，再求出 的值，则十分繁琐，而将ab1 化为 ，利用所给的两个方程，此题就迎刃而解了。ab1b 42091a() （显然 不是方程的解）94b0 122b() 故 a 与 都是方程 的根，但 ，由 ，得 a 与 是此方92xab101b 程的两相异实根，从而 ，即此题应填 。ab10455 五、一般与特殊 例 5. 在 中， 于 D， 于 F，AD 与 CF 相交于 G，且 ，ABCCABCAB 则 _度。 解析：本题看起来似乎无所下手，若将 “特殊”为 ，则 D、F 与 B 重合，Rt 这样问题就简单化了，可得 45 六、正面与反面 例 6. 老 师 在 黑 板 上 写 下 这 样 一 道 题 ： “已 知 的 面 积 ， 周 长 ， 求 它 的 内S18l2 切 圆 半 径 ”。 很 多 同 学 很 快 求 出 内 切 圆 的 半 径 为 3， 惟 独 小 明 认 为 该 题 的 已 知 条 件 不 合 时 ， 压 根 就 不 存 在 符 合 条 件 的 ， 你 认 为 小 明 的 想 法 正 确 吗 ？ABC 解析：当正面证明命题结论比较困难时，可从反面提出与题目结论相反的假设，得出 矛盾，从而肯定原来结论成立。 假设存在符合条件的 ，其内切圆半径为 r，则 Slr12 rSl2183 ，这是不可能的。因此小明的想法是正确的。SABC内 切 圆 9 综上六例，灵活进行辩证思维，可以收到化繁为简，化难为易，缜密思维的奇效。让 人萌生“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的感悟。 三一元二次方程的整数根 一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。本文举例说明与 一元二次方程整数根有关问题的解法。 例 1. 已知方程 的两根都是整数，试求整数 a 的值。xaa260()() 思路分析：当 a 取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。 究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。 解：设方程的两整数根为 、 ，根据根与系数关系得：x12 xa1261() （1）（2）得： x1226 所以 ()x7 或1212 或 或x127x127 所以 或 或 或x1206128x1260128 因为 ，所以a1 只有 或 符合题意，代入（2）得：x128x a116() 例 2. 已知方程 有两个不等的负整数根，则 a 的值是()axax25240 _。 思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根” ，这对系数 a 有了更多的限制。另外，本题的 a 没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根” 做文章。 解： 45124152()()()a 所以 xa1256() a222541() 依题意有： 、 均为负整数，符合此条件的仅有 。61 a2 例 3. 设 m 为自然数，且 ，若方程40m 的两根均为整数，则 m_。xmx223480() 思路分析：题目已给出 m 的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对 m 加以 限制，就不难求出符合条件的 m 值了。 解： 4234184212()()()mm 因为原方程的两根均为整数，所以 必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是 由 得 ，在此范围内的奇完全平方数只有 25 和 49。09 所以 或159 所以 或24 经检验， 、24 均符合题意。 误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为 整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分 条件。也就是说， 为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检 验。 四例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考 查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次 函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例 1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。ymx()328 解：由一次函数定义知 10 m3 ，故一次函数的解析式为yx3 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证kbk030 二. 点斜型 例 2. 已知一次函数 的图像过点（2，1） ，求这个函数的解析式。ykx3 解： 一次函数 的图像过点（2，1） ，即123k 故这个一次函数的解析式为 yx3 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y1，求这个函数的解析式。k2 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（2，0） 、 （0，4） ，则这个 函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 kb 由题意得 024b k 故这个一次函数的解析式为 yx24 四. 图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 y 2 O 1 x 解：设一次函数解析式为 ykxb 由图可知一次函数 的图像过点（1，0） 、 （0，2） 有02kb b 故这个一次函数的解析式为 yx2 五. 斜截型 例 5. 已知直线 与直线 平行，且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解kxb 析式为_。 解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时，l1y1l2ykxb2k12b12l12/ 直线 与直线 平行， 。ykxbyxk 又 直线 在 y 轴上的截距为 2，ykxbb 故直线的解析式为 2 六. 平移型 例 6. 把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为_。yx1 解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移 2 个单位得到的直线kbyx21 与直线 平行ykxbyx2 直线 在 y 轴上的截距为 ，故图像解析式为b12yx21 七. 实际应用型 例 7. 某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油 量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为_。 解：由题意得 ，即t20.Qt02. t1， 故所求函数的解析式为 （ ）t.1t 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例 8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为ykx4 _。 解：易求得直线与 x 轴交点为（ ，0） ，所以 ，所以 ，即k412|k|k2k2 故直线解析式为 或y24yx2 九. 对称型 若直线 与直线 关于lkxb （1）x 轴对称，则直线 l 的解析式为 ykxb （2）y 轴对称，则直线 l 的解析式为 （3）直线 yx 对称，则直线 l 的解析式为 ykx1 （4）直线 对称，则直线 l 的解析式为yxykxb1 （5）原点对称，则直线 l 的解析式为 例 9. 若直线 l 与直线 关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为_。yx21 解：由（2）得直线 l 的解析式为 x 十. 开放型 例 10. 已知函数的图像过点 A（1，4） ，B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个 不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过 A、B 两点的函数图像是直线，由两点式易得 yx26 （2）由于 A、B 两点的横、纵坐标的积都等于 4，所以经过 A、B 两点的函数图像还 可以是双曲线，解析式为 yx4 （3）其它（略） 十一. 几何型 例 11. 如图，在平面直角坐标系中， A、B 是 x 轴上的两点， ，ACB90 ，以 AO、BO 为直径的半圆分别交 AC、BC 于 E、F 两点，若 C 点的坐标为CAB0 （0，3） 。 （1）求图像过 A、 B、C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图 像过点 E、F 的一次函数的解析式。 解：（1）由直角三角形的知识易得点 A（ ，0） 、B（ ，0） ，由待定系数法33 可求得二次函数解析式为 ，对称轴是yx132x （2）连结 OE、OF，则 、 。过 E、F 分别作 x、y 轴的垂线，垂足OEC 为 M、N、P、G，易求得 E（ ， ） 、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函4934 数解析式为 yx32 十二. 方程型 例 12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点x2310、 P（ ， ）和 Q（ ， ）的一次函数图像的解析式212 解：由根与系数的关系得 ，31 ，2292() 31 21 点 P（11，3） 、Q（11，11） 设过点 P、Q 的一次函数的解析式为 ykxb 则有 1kb 解得 b 417 故这个一次函数的解析式为 yx417 十三. 综合型 例 13. 已知抛物线 的顶点 D 在双曲线 上，mm()()923yx5 直线 经过点 D 和点 C（a、b）且使 y 随 x 的增大而减小，a、b 满足方程组ykxc ，求这条直线的解析式。ab30241 解：由抛物线 的顶点 D（ymxxm()()923 ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：3032m， ，顶点 D1（1，5）及yx1274yx22718 顶点 D2（ ，15）3 解方程组得 ，ab1421 即 C1（1，4） ，C 2（2，1） 由题意知 C 点就是 C1（1，4） ，所以过 C1、D 1 的直线是 ；过yx129 C1、D 2 的直线是 yx39 五应用非负性质解题 在初中代数中出现的非负数主要有三类： 1. 绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即 。a0 2. 平方：任何一个实数的平方都是非负数，即 。2 3. 算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即 。a0() 解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下。 例 1. 已知 a、b 为实数，且满足 ，求 ab 的值。ab211 分析：解决本题只需从已知等式中求出 a、b 值即可。应用 中 的非负性质可a0 以立即求出 b 的值，从而进一步得到 a 的值。 解：由题意可知 且2102 ，此时1a b 例 2. 若 a、b、c 满足 ，求 的值。bcabc312402 acb 解：由非负数的性质可知 ，且 ，且a0240 abc38471， ， 例 3. 已知 ，求 的值。xy2xy 解：已知等式可化为 0 xyxyxy120024 六一些数学思想在解题中的应用 在直线，射线，线段这一部分内容中，渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明。 一. 数形结合思想 例 1. 同学们去公路旁植树，每隔 3m 植一棵树，问在