中考专题复习之全等三角形

1 中考专题复习之全等三角形 知识考点： 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形 全等。 精典例题： 【例 1】如图，已知 ABBC，DCBC，E 在 BC 上，AEAD ，ABBC 。求证：CECD。 分析：作 AFCD 的延长线（证明略） 评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅 助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线 段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。 例 1图 F E D CB A 例 2图 21 E D CB A 问 题 一 图 P E 43 21 CB A 【例 2】如图，已知在ABC 中，C2B ，12，求证：ABACCD。 分析：采用截长补短法，延长 AC 至 E，使 AEAB，连结 DE；也可在 AB 上截取 AEAC，再证明 EBCD （证明略）。 探索与创新： 【问题一】阅读下题：如图，P 是ABC 中 BC 边上一点，E 是 AP 上的一点，若 EBEC，12，求证： AP BC。 证明：在ABE 和ACE 中，EB EC ，AEAE ，12 ABEACE（第一步） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一） 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认 为正确的证明过程。 略解：不正确，错在第一步。 正确证法为： BECE EBC ECB 又12 ABCACB，ABAC ABEACE（SAS） 34 又ABAC APBC 评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力， 证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。 【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件， 使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三 角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三 角形全等。 2 评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。 （5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握 情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设 计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若ABCEFG ，且B60 0，FGEE56 0，则 A 度。 2、如图，ABEFDC ，ABC90 0，ABDC，那么图中有全等三角形 对。 3、如图，在ABC 中，C90 0，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB35，则点 D 到 AB 的距离是 。 第 2题 图 F E D CB A 第 3题 图 DC B A 第 4题 图 HE D CB A 4、如图，在ABC 中，ADBC，CEAB ，垂足分别为 D、E，AD 、CE 交于点 H，请你添加一个适当的条件： ，使AEH CEB。 5、如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 O，写出一组相等的线段 （不包括 ABCD 和 ADBC）。 6、如图，EF90 0，BC ，AE AF。给出下列结论： 12；BE CF；ACN ABM；CD DN。其中正确的结论是 （填序号）。 二、选择题： 1、如图，ADAB，EAAC，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（ ） A、ADFAEG B、 ABEACD C、BMFCNG D、ADC ABE 填 空 第 5题 图 O E D CB A 填 空 第 6题 图 2 1 F N M E D C BA 选 择 第 1题 图 M GF ED CB A 2、如图，AEAF，ABAC，EC 与 BF 交于点 O，A60 0，B25 0，则EOB 的度数为（ ） A、60 0 B、70 0 C、75 0 D、85 0 3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等 选 择 第 2题 图 O F E C B A 选 择 第 4题 图 P DCB A 4、如图，在ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PB ，PC ，AB ，AC ，则 与 的大小关系是（ ）mncb)(nm)(cb A、 B、 b 3 C、 D、无法确定nmcb 三、解答题： 1、如图，12，34，EC AD 。求证：ABE 和BDC 是等腰三角形。 解 答 题 第 1题 图 D 4 3 21 E C BA 解 答 题 第 2题 图 DF E C B A 2、如图，ABAE，ABCAED，BCED，点 F 是 CD 的中点。 （1）求证：AFCD ； （2）在你连结 BE 后，还能得出什么新结论？请再写出两个。 3、（1）已知，在ABC 和DEF 中，ABDE ，BCEF ，BACEDF100 0，求证：ABCDEF； （2）上问中，若将条件改为 ABDE，BCEF，BACEDF70 0，结论是否还成立，为什么？ 4、如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 ABCD，P 为MON 的平分线上 一点。问： （1）ABP 与 PCD 是否全等？请说明理由。 （2）ABP 与 PCD 的面积是否相等？请说明理由。 解 答 题 第 4题 图 DP N M O C B A 解 答 题 第 5题 图 D E F C B A 5、如图，已知 CEAB，DFAB，点 E、F 分别为垂足，且 ACBD。 （1）根据所给条件，指出ACE 和BDF 具有什么关系？请你对结论予以证明。 （2）若ACE 和BDF 不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。 参考答案 一、填空题： 1、32；2、3；3、15；4、AHBC 或 EAEC 或 EHEB 等； 5、DCDE 或 BCBE 或 OAOE 等；6、 二、选择题：BBDA 三、解答题： 1、略； 2、（1）略；（2）AFBE， AF 平分 BE 等； 3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明； 4、（1）不一定全等，因ABP 与PCD 中，只有 ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故