【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案72 数系的扩充与复数的引入

学案 72 数系的扩充与复数的引入 导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示 法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几 何意义 自主梳理 1数系的扩充 数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为 _，实际上前者是后者的真子集 2复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 abi (a，bR)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的_和_若 _，则 abi 为实数，若 _，则 abi 为虚数，若 _，则 abi 为纯虚数 (2)复数相等：abi c di_( a，b，c，d R) (3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭_( a，b，c，dR ) (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚 轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都 表示_ 复数集 C 和复平面内_ 组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以 _为起点的向量组成的集合也是一一对应的 (5)复数的模 向量 的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作_或_，即OZ |z| |a bi|_. 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)，则 加法：z 1z 2(abi)(c di)_； 减法：z 1z 2(abi)(c di)_； 乘法：z 1z2(abi)(cdi)_； 除法： z1z2 a bic di a bic dic dic di _(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z 2、z 3C，有 z1z 2_ ，(z 1z 2)z 3_. 自我检测 1(2011山东)复数 z (i 为虚数单位) 在复平面内对应的点所在象限为( ) 2 i2 i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2(2011广东)设复数 z 满足 (1i)z2，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( ) A1i B1i C22i D22i 3(2011大纲全国)复数 z1 i ， 为 z 的共轭复数，则 z z1 等于( )z z A2i Bi Ci D2i 4(2011重庆)复数 等于( ) i2 i3 i41 i A i B i 12 12 12 12 C. i D. i 12 12 12 12 5(2011江苏)设复数 z 满足 i(z1)32i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是_. 探究点一 复数的基本概念 例 1 设 m R，复数 z(2i)m 23(1i)m2(1i) (1)若 z 为实数，则 m_； (2)若 z 为纯虚数，则 m_. 变式迁移 1 已知复数 z (a 25a6)i (aR) ，试求实数 a 分别取什么值 a2 7a 6a2 1 时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚数 探究点二 复数的四则运算 例 2 (2010全国)复数 2 等于( )( 3 i1 i) A34i B34i C34i D34i 变式迁移 2 计算： (1) ； 1 i2 ii3 (2) ； 1 2i2 31 i2 i (3) . 1 3i 3 i2 第 3 页 共 9 页 例 3 (2011唐山模拟)计算： 2 012 . 23 i1 23i ( 21 i) 4 8i2 4 8i211 7i 变式迁移 3 (1)(2010四川)i 是虚数单位，计算 ii 2i 3 等于( ) A1 B1 Ci Di (2)(2010福建)i 是虚数单位，( )4 等于( ) 1 i1 i Ai Bi C1 D1 (3)i 是虚数单位， 等于( ) 1 i1 i2 1 i1 i2 Ai Bi C1 D1 探究点三 复数的点坐标表示 例 4 如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A ，C 分别表示 0，32i，24i， 试求： (1) 所表示的复数， 所表示的复数；AO BC (2)对角线 所表示的复数；CA (3)求 B 点对应的复数 变式迁移 4 (2011江苏苏北四市期末) 复数 z134i ，z 20，z 3c(2 c6)i 在复平 面内对应的点分别为 A，B，C ，若BAC 是钝角，则实数 c 的取值范围为 _ Error!1.复 数 a bi 2乘法法则：(abi)( cdi) (acbd) (adbc)i；除法法 则： a bic di a bic dic2 d2 i(cdi0)特别地：(abi) 2a 22abib 2a 2b 22abi，(abi)(abi) ac bdc2 d2 bc adc2 d2 a 2b 2. 3进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程： (1)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i， ini n1 i n2 i n3 0 (nN)； (2)(1i) 22i，(1i) 22i， i， i. 1 i1 i 1 i1 i (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011江西)若 z ，则复数 等于( ) 1 2ii z A2i B2i C2i D2i 2(2010北京)在复平面内，复数 65i ，23i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( ) A48i B82i C24i D4i 3(2011平顶山调研)若 ( ， )，则复数(cos sin )(sin cos )i 在复平面 34 54 内所对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4(2011课标全国)复数 的共轭复数是( ) 2 i1 2i A i B. i 35 35 Ci Di 5下面四个命题： 0 比i 大； 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； xyi1i 的充要条件为 xy1； 如果让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6已知 z12i，z 213i，则复数 的虚部为_ i z2z1 第 5 页 共 9 页 7已知复数 z1m2i，z 234i ，若 为实数，则实数 m_. z1z2 8(2011上海九校联考)复数 zx yi (x，yR) 满足|z1|x，则复数 z 对应的点 Z(x，y)的轨迹方程为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分) 已知|z|z 12i，求复数 z. 10(12 分)(2011上海)已知复数 z1 满足(z 12)(1i)1i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚 部为 2，且 z1z2 是实数，求 z2. 11(14 分) 已知 mR，复数 z (m 22m3)i，当 m 为何值时，(1) mm 2m 1 zR； (2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线 xy30 上 学案 72 数系的扩充与复数的引入 自主梳理 1自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1) 实部 虚部 b0 b0 a0 且 b0 (2)ac，bd (3)ac，bd (4) x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 所有的点 原点 O (5) |z| |a bi| a2 b2 3(1)(ac)( bd)i (ac) (bd)i (acbd)( adbc)i ac bd bc adi c2 d2 (2) z 2 z1 z 1(z 2z 3) 自我检测 1D z i， 2 i2 i 2 i22 i2 i 4 4i 15 35 45 复数 z 对应的点的坐 标为( ， )，在第四象限 35 45 2B 方法一 设 zxy i， 则(1i)( xyi)x y(xy)i2， 故应有Error! 解得Error! 故 z1i. 方法二 z 1i. 21 i 21 i1 i1 i 3B z1 i， 1i，z |z| 22，z z z z12(1i) 1i.z 4C i2 i3 i41 i 1 i 11 i i1 i i1 i1 i1 i i. 1 i2 12 12 51 解析 设 zabi(a、bR)，由 i(z1) 32i， 得b(a1)i32i，a12， a1. 课堂活动区 例 1 解题导引 根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分 别求出相应的 m 值利用概念解题时，要看准 实部与虚部 (1)1 或 2 (2) 12 解析 z(2m 23m2)( m23m2)i. (1)若 z 为实数，则 m23m20.m1 或 2. (2)若 z 为纯虚数，则Error! 解得 m . 12 变式迁移 1 解 (1)当 z 为实 数时，则有Error!， Error!，a6 ，即 a6 时，z 为实数 (2)当 z 为虚数时 ， 则有 a25a60 且 a210， a 1 且 a6 且 a1. a1 且 a6. 当 a(，1)(1,1) (1,6)(6， ) 时， z 为虚数 (3)当 z 为纯虚数 时，有Error!， Error!. 不存在实数 a 使 z 为纯虚数 例 2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算( 合并同类项)，复 数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意 i 的幂的性质，区分( abi) 2a 22abib 2 与(ab) 2a 22abb 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母 第 7 页 共 9 页 同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi) a2b 2 与(ab)( ab) a 2b 2， 防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误 A 2 2 2( 3 i1 i) 3 i1 i2 (2 4i2 ) (12i) 2 34i. 变式迁移 2 解 (1) 13i. 1 i2 ii3 3 i i (2) 1 2i2 31 i2 i 3 4i 3 3i2 i i. i2 i i2 i5 15 25 (3) 1 3i 3 i2 3 i i 3 i2 i3 i i 3 i4 i. 14 34 例 3 解题导引 注意 in (nN)的周期性， i4k1 i， i4k2 1，i 4k3 i，i 4k1 (其中 kN)，以及 (1i) 22i，(1i) 22i， i ， i 等运算结果在解题中的应用，运算 1 i1 i 1 i1 i 的最后结果化为 abi (a，bR )的形式 解 原式 1 006 23 i1 23i12 232 21 i2 4 8i2 4 8i211 7i 1 006 0 13i13 (1i) i(i) 1 006ii 2i1 1i. 变式迁移 3 (1)A (2)C (3)D 解析 (1)ii 2 i3i( 1)(i)1. (2)( )4( )22( )21. 1 i1 i 1 i1 i 2i 2i (3) 1 i1 i2 1 i1 i2 1 i 2i 1 i2i 1. 1 i 1 i2i 2i2i 例 4 解题导引 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个 向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可 解 (1) ， 所表示的复数为32i.AO OA AO ， 所表示的复数 为32i.BC AO BC (2) ， 所表示的复数 为CA OA OC CA (32i)(2 4i)52i. (3) ，OB OA AB OA OC 表示的复数为(32i)( 24i)16i，OB 即 B 点对应的复数为 16i. 变式迁移 4 c 且 c9 4911 解析 在复平面内三点坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c6) ，由 BAC 是钝角得 AB ，其中当 c9 时，AC 4911 (6,8) 2 ，三点共线，故 c9.AC AB 课后练习区 1D z 2i， 1 2ii 1 2ii 1 2i.z 2C 复数 65i 对应 A 点的坐标为(6,5) ，23i 对应 B 点的坐标为(2,3)由中点 坐标公式知 C 点坐标为(2,4)， 点 C 对应的复数为 24i. 3B 由三角函数线知识得当 ( ， )时， 34 54 sin cos 0，故选 B. 4C 方法一 2 i1 2i 2 i1 2i1 2i1 2i 2 i 4i 25 i， 的共轭复数 为i. 2 i1 2i 方法二 i. 2 i1 2i 2i2 i1 2i i1 2i1 2i 的共轭复数 为i. 2 i1 2i 5A (1) 中实数与虚数不能比较大小； (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定 是共轭复数； (3)xyi1i 的充要条件为 xy 1 是错误的，因为没有标明 x，y 是否是实数； (4)当 a0 时，没有纯虚数和它对应 61 解析 i ， i z2z1 i 1 3i2 i 1 2i2 i5 故虚部为1. 7 32 解析 z1z2 m 2i3 4i m 2i3 4i25 是实数， 64m0，故