[原创]2012年数学一轮复习精品试题第43讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图

第四十三讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图 班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_ 一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后 的括号内) 1充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是( ) 解析：选项 A 得到的是空心球； D 得到的是球；选项 C 得到的是车轮内胎；B 得到的是 空心的环状几何体，故选 C. 答案：C 2在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( ) A角的水平放置的直观图不一定是角 B相等的角在直观图中仍然相等 C相等的线段在直观图中仍然相等 D若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直 观图可排除 B、C，故选 D. 答案：D 3下图所示的四个几何体，其中判断正确的是( ) 2 A(1)不是棱柱 B(2) 是棱柱 C(3)是圆台 D(4) 是棱锥 解析：显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3) 中两底面不互相平行，故选 D. 答案：D 4下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A B C D 解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆 心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图 是全等的等腰三角形，故选 D. 答案：D 5一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为 ，则原梯形的面积2 为( ) A2 B. 2 C2 D42 解析：设直观图中梯形的上底为 x，下底为 y，高 为 h.则原梯形的上底为 x，下底为 y，高 为 2 h，故原梯形的面积为 4，选 D.2 答案：D 3 6某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，7 6 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 ab 的最大 值为( ) A2 B22 3 C4 D2 5 解析：构造长方体，将棱 BH 构造为长方体的体对角线，由题意知 BH 的正视图的投影 为 CH，BH 的侧视图的投影为 BG，BH 的俯视图投影为 BD. 设 ABx，ADy， AEh， 则由 CH DC2DH 26 x 2h 26，6 又 BH BC1，即 y1.7 BH 侧视图的投影为 BG ，y2 h2 BH 俯视图的投影为 BD ，x2 y2 2 4，y2 h2 x2 y2 (y2 h2) (x2 y2)2 当 xh 时，取等号 答案：C 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线 上) 7一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(只 4 填写序号) 解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得 ，将截面旋转可得，继续旋转，过正 方体两顶点时可得，即正方体的 对角面，不可能得 . 答案： 8有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母下图是从 3 种不同角度看同一粒骰子 的情况，请问 H 反面的字母是 _ 解析：因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公 共顶点的三个面，又与标有 S 的面相邻的面有四个，由 图 可知，这四个平面分别标有 H、E、O、P 四个字母，故能说明 S 的反面是 D，翻 转图使 P 调整到正前面，S 调整到正左 面，则 O 为正下面，所以 H 的反面是 O. 答案：O 9有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，问它们的一个侧面重叠后，还有几个暴 露面？_. 解析：如图(1)三棱锥 SABC 有四个暴露面，如 图 (2)四棱锥 VABCD 有五个 暴露面，且它们的侧面都是完全相同的正三角形 5 如图(3)当三棱锥 SABC 的底面 AB C与四棱锥 VABCD 的侧面 AVD 完全重合后，四点 S，A，B，V 共面，同样四点 S，D，C，V 也共面，此时，新几何体共有 5 个 面 答案：5 10已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，两条侧棱长为 ，则第三条侧棱长的 132 取值范围是_ 解析：如图 1，四面体 ABCD 中， ABBCCA1，DADC ，只有棱长 BD 是可 132 以变动的 设 M 为 AC 的中点， 则 MD ，MB .但是要构成三棱锥，如图 2( 132)2 (12)2 3 32 所示，必须 BD1BDBD2，BD1MB ，BD23MB ， 32 332 即 BD . 32 332 答案： 三、解答题：(本大题共 3 小题， 11、12 题 13 分，13 题 14 分，写出证明过程或推演 6 步骤) 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，P 是 AA1 的中点，E 是 BB1 上一点， 如图所示，求 PEEC 的最小值 解：把面 A1ABB1 和面 B1BCC1 展成平面图形，如图所示，PE EC 的最小值即为线段 PC 的长 由于 APPA 1 ，AC2， 12 所以 PC ， 22 (12)2 172 所以 PEEC 的最小值为 . 172 评析：“化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法，其途径是 将各侧面展开 12以正四棱台(底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形) 为模型，验证棱台的 平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为 S1，下底面面积为 S2，平行于底面的截面 距棱台上、下两底的距离的比为 m n，则截面面积 S 满足下列关系： .当S mS2 nS1m n mn 时，则 (中截面面积公式 )S S1 S22 7 解：如图所示，把棱台补成棱 锥根据棱台上、下底面与平行于底面的截面相似的性 质， 上底面、下底面、截面的相似比为 : : .S1 S2 S 设 PO2h，O 1O2x， 则 ， S1S PO2PO hh x mm n h(m n)h(m n) mx . S2S PO1PO h xh x mm n (h x)(m n)h(m n) mx m n， nS1S mS2S nh(m n)h(m n) mx m(h x)(m n)h(m n) mx (hn hm mx)(m n)h(m n) mx 即 .S mS2 nS1m n 当 mn 时，则 .S mS1 mS2m m S1 S22 评析：由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体，台体中一些几何量的 计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体，利用 锥体的一些性 质解决台体问题，如利用平 行于锥体底面的平面截锥体， 则截面面积和底面面积的比等于被截得的小 锥体的高和原锥 体的高的比的平方，截得的小锥体的体积和原来锥体的体 积的比等于被截得的小锥体的高 和原来锥体高的比的立方等 13有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三 个球过这个正方体的各个顶点求这三个球的半径之比 解：设正方体的棱长为 a，球的半径分别为 R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径和 正方体的棱长相等，如图 1 所示，AB2R 1a，所以 R1 ； a2 8 球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正