2016年 上海高考 数学试卷(理工农医类 含答案)

P.F. Productions 制作 上海市教育考试院 保留版权 数学（理）2016 第1页（共4页） 2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷 (理工农医类) 考生注意： 1. 本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. PF 制作 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写 （非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核 对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、 填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1. 设 ，则不等式 的解集为_.PF 制作xR31x 2. 设 ，其中 为虚数单位，则 _.32iziImz 3. 已知平行直线 ： ， ： ，则 与 的距离是_.1l0xy2l10xy1l2 4. 某次体检， 位同学的身高（单位：米）分别为 ， ， ， ， ，6 .7.8.751.80.69 ，则这组数据的中位数是_（米） .1.7 5. 已知点 在函数 的图像上，则 的反函数 _.(3,9)()1xfa()fx1()fx 6. 如图，在正四棱柱 中，底面 的边长1ABCDABCD 为 ， 与底面所成的角的大小为 ，则该正四棱31 2arctn3 柱的高等于_. PF 制作 7. 方程 在区间 上的解为_.sincos2x0,2 8. 在 的 二 项 展 开 式 中 ， 所 有 项 的 二 项 式 系 数 之 和 为 ， 则 常 数 项 等 于3 256 _. 9. 已知 的三边长分别为 ，则该三角形的外接圆半径等于_.ABC3,571AD1CB P.F. Productions 制作 数学（理）2016 第2页（共4页） 10. 设 ， . 若关于 的方程组 无解，则 的取值范围是0ab,xy1,axybab _. 11. 无穷数列 由 个不同的数组成， 为 的前 项和. 若对任意 ，naknSan*nN ，则 的最大值为_.2,3nS 12. 在平面直角坐标系中，已知 ， ， 是曲线 上一个动点，则(1,0)A(,)BP21yx 的取值范围是_.BPA 13. 设 ， . 若对任意实数 都有 ，则满足条件,abR0,2)cx2sin3sin()xabxc 的有序实数组 的组数为_. PF 制作(, 14. 如图，在平面直角坐标系 中， 为正八边形xOy 128A 的中心， . 任取不同的两点 ，点 满足1(,0)A,ijAP 0jiOP ，则点 落在第一象限的概率是_.P 二、 选择题（ 本大题共有 4 题， 满分 20 分） 每题有且 只有 一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） .aR1a21 (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） . (A) (B)65cos 65sin (C) (D) 17. 已知无穷等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 . 下列条件中，使得naqnnSlimnS 恒成立的是（ ） . PF 制作 *2()nSN (A) ， (B) ，10a.60.7q10a.70.6q (C) ， PF 制作 (D) ，88Ox 37Axy15684A2 P.F. Productions 制作 数学（理）2016 第3页（共4页） 18. 设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：若 、()fxg()hxR()fxg 、 均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；f()fxg()hx 若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、()fxg()fxh()gxhT()fxg 均是以 为周期的函数. 下列判断正确的是（ ） . PF 制作hT (A) 和均为真命题 (B) 和均为假命题 (C) 为真命题，为假命题 (D) 为假命题，为真命题 三、 解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. 将边长为 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长为11AO1OAC ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧. PF 制作 23A1B3BC1A (1) 求三棱锥 的体积；1 (2) 求异面直线 与 所成的角的大小.11 20. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 ， 所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到 点或河边EFGHF 运走. 于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到1S21S2S 点较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等. 现建立平面直F12CF 角坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为 ，如图.OEF(1,0) (1) 求菜地内的分界线 的方程；PF 制作 (2) 菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此1S2 得到 面积的“经验值”为 . 设 是 上纵坐标为 的点，1S83MC1 请计算以 为一边，另一边过点 的矩形的面积，及五边形EH 1A1OCB x yEOFGH1S2M P.F. Productions 制作 数学（理）2016 第4页（共4页） 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的“经验值” .EOMGH1S 21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过 且与双曲线交于 、 21(0)yxbF2lFA 两点.B (1) 若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；l21FAB (2) 设 . 若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.3bl1()0ABl 22. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知 ，函数 .aR21()logfxa (1) 当 时，解不等式 ；50f (2) 若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取x2()log(4)50fxaxa 值范围；PF 制作 (3) 设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差0a1,2t()fx,1t 不超过 ，求 的取值范围.1 23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 若无穷数列 满足：只要 （ ） ，必有 ，则称 具有性质napqa*,N1pqana .P (1) 若 具有性质 ，且 ， ， ， ， ，求 ；nP124352678213 (2) 若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列，nbnc P.F. Productions 制作 数学（理）2016 第5页（共4页） ， ， ，判断 是否具有性质 ，并说明理由；15bc518cnnabcnaP (3) 设 是无穷数列，已知 （ ） . 求证：“对任意 ， 都n 1sinn*N1an 具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列” .Pnb P.F. Productions 制作 上海市教育考试院 保留版权 高考(2016)数学（理）答案 第1页（共5页） 2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 答案要点及评分标准 说明 1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半. 如果有较严重的概念性错误，就不给分. 解答 一、 （第 1 题至第 14 题） 1. . 2. . 3. . PF 制作 4. . 5. .6. . 7. .(2,4)3251762log(1)x25,6 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .17(,) 40,428 二、 （第 15 题至第 18 题）PF 制作 题 号 15 16 17 18 代 号 A D B D 三、 （第 19 题至第 23 题） 19. （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. (1) 由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 .1hr 由 长为 ，可知 .A1B33AOB ，1111sin24OS .1132CABOABVh (2) 设过点 的母线与下底面交于点 ，则 ，B1/A 所以 或其补角为直线 与 所成的角.11C 由 长为 ，可知 ，AC2323AO 又 ，所以 ，PF 制作1OBB1A1OCB P.F. Productions 制作 高考(2016)数学（理）答案 第2页（共5页） 从而 为等边三角形，得 .COB1CB 因为 平面 ，所以 .1A1 在 中，因为 ， ， ，所以 ，2114CB 从而直线 与 所成的角的大小为 .1BC14 20. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. (1) 因为 上的点到直线 与到点 的距离相等，所以 是以 为焦点、以 为准线EHFCFEH 的抛物线在正方形 内的部分，其方程为 .G24(0)yxy (2) 依题意，点 的坐标为 .M1,4 所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 .5214 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差的58236 绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 面积的“经验值” .184321S 21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. (1) 设 . PF 制作(,)Axy 由题意， ， ， ，2,0Fc21b24(1)Aycb 因为 是等边三角形，所以 ，1B3A 即 ，解得 .24()3b2b 故双曲线的渐近线方程为 .yx (2) 由已知， ， .1(2,0)F2(,) 设 ， ，直线 ： . 显然 .,Axy,Bl(2)ykx0k 由 得 . PF 制作 21,3()ykx22(3)43kx 因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 .l 20k26(1)0k P.F. Productions 制作 高考 (2016)数学（理）答案 第3页（共5页） 设 的中点为 .AB(,)Mxy 由 即 ，知 ，故 .1()0F10FAB1FMAB1FMk 而 ， ， ， 23Mxk26()3Mkykx123 所以 ，得 ，故 的斜率为 .231k25l5 22. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. PF 制作 (1) 由 ，得 ，21log50x15x 解得 .,(,)4 (2) ， ，1()25axax24(5)10xa 当 时， ，经检验，满足题意.1 当 时， ，经检验，满足题意. PF 制作32x 当 且 时， ， ， .a414a21x2x 是原方程的解当且仅当 ，即 ；1x10a 是原方程的解当且仅当 ，即 .2 2x1 于是满足题意的 .(,a 综上， 的取值范围为 . PF 制作1,3,4 (3) 当 时， ， ，120x12ax2211loglogaaxx 所以 在 上单调递减.()f,) 函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 .fx,1t(),1ft 即 对任意 成立.221()loglogt aatt20a1,2t 因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时， 有最小0a()y1,ty 值 ，由 ，得 .31420a3a P.F. Productions 制作 高考(2016)数学（理）答案 第4页（共5页） 故 的取值范围为 . PF 制作a2,3 23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. PF 制作 (1) 因为 ，所以 ， ， . PF 制作52a63a74a852a 于是 ，又因为 ，解得 .6782671316a (2) 的公差为 ， 的公比为 ，PF 制作nb0nc13 所以 ， .12()9n1583nnc .503nnnabc ，但 ， ， ，1582248a6026a 所以 不具有性质 .nP (3) 证 充分性： 当 为常数列时， .nb1sinnaba 对任意给定的 ，只要 ，则由 ，必有 .1pq11sisinpqba1pqa 充分性得证. 必要性： 用反证法证明. 假设 不是常数列，则存在 ，nb*kN 使得 ，而 . PF 制作12kb 1k 下面证明存在满足 的 ，使得