福建省宁德市2017届高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U=R，集合 A=x N|6x+5 0， B=x N|x 2，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A 0， 1， 2 B 1， 2 C 1 D 0， 1 2在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）对应点的坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 4， 1） C（ 4， 1） D（ 1， 4） 3（ + ） 10 的展开式中 系数等于（ ） A 45 B 20 C 45 D 90 4已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C（ ， 3 6， + ） D 3， 6 5若将函数 y=6x+ ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变），再将所得图象沿 x 轴向右平移 个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 6若数列 等差数列， 其前 n 项和，且 6，则 于（ ） A 54 B 50 C 27 D 25 7已知圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称，则圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8执行如图所示的程序框图，若输入 t 的值为 5，则输出的 s 的值为（ ） A B C D 9若从区间（ 0， e）（ e 为自然对数的底数， e=内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e 的概率为（ ） A B C 1 D 1 10函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 11已知三棱椎 S 各顶点都在一个球 面上，球心 O 在 ， 底面的体积与三棱锥体积之比是 4， ，则该球的表面积等于（ ） A B 2 C 3 D 4 12已知函数 f（ x） = ，若方程 f（ f（ x） 2=0 恰有三个实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A 0， + ） B 1， 3 C（ 1， D 1， 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1），如果向量 +2 与 2 平行，则 + = 14某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积为 15已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 点 直线交双曲线右支于 A、 B 两点，若 为直角顶点的等腰三角形，则实数 m 的值为 16数列 足 a1+a2+n n N+）数列 足 ，则 的最大项的值是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 = （ ）求角 A 的值； （ ）若 B= ，且 面积为 4 ，求 上的中线 大小 18某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图 分组 频数 频率 50， 60） 3 60， 70） m 70， 80） 13 n 80， 90） p q 90， 100 9 计 t 1 （ 1）求表中 t， q 及图中 a 的值； （ 2）该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行面批，设 0 分的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 19如图，在三棱柱 ， 0， B=，点 O 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求直线 平面 成角的正弦值 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， ），且一个焦点为 1， 0） （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若 椭圆 E 的三条弦， 在的直线分别与 x 轴交于点M， N，且 | 直线 方程 21已知函数 f（ x） =4x（ a R） （ 1）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 A（ B（ 0）是曲线 y=f（ x）上的两点， ，问：是否存在 a，使得直线 斜率等于 f（ 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 四、选做题：（选修 4 4：坐标系与参数方程）（请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。）（共 1 小题，满分 10 分） 22已知曲线 C 的极坐标方程是 =2极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 L 的参数方程是 （ （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程； （ 2）设点 P（ m， 0），若直线 L 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 |1，求实数 m 的值 选修 4 5：不等式选讲 23已知函数 f（ x） =2|x+1|+|x 2|的最小值为 m （ ）求实数 m 的值； （ ）若 a， b， c 均为正实数，且满足 a+b+c=m，求证： + + 3 2017 年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U=R， 集合 A=x N|6x+5 0， B=x N|x 2，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A 0， 1， 2 B 1， 2 C 1 D 0， 1 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ A，根据集合的运算求解即可 【解答】 解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ A 全集 U=R， B=x N|x 2， x N|x 2=0， 1， 2 集合 A=x N|6x+5 0=A=x N|1 x 5=1， 2， 3， 4， 5 （ A=1， 2 故选： B 2在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）对应点的坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 4， 1） C（ 4， 1） D（ 1， 4） 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案 【解答】 解： z= = ， 在复平面内，复数 z 对应点的坐标是：（ 4， 1） 故选： C 3（ + ） 10 的展开式中 系数等于（ ） A 45 B 20 C 45 D 90 【考点】 二项式系数的性 质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解：（ + ） 10 的展开式中通项公式： = =（1） 10 r ， 令 5 =2，解得 r=2 系数 = =45 故选： A 4已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C（ ， 3 6， + ） D 3， 6 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析 表示的几何意义，结合图象即可给出 的取值范围 【解答】 解：约 束条件 对应的平面区域如下图示： 三角形顶点坐标分别为（ 1， 3）、（ 1， 6）和（ ）， 表示可行域内的点（ x， y）与原点（ 0， 0）连线的斜率， 当（ x， y） =（ 1， 6）时取最大值 6， 当（ x， y） =（ ）时取最小值 ， 故 的取值范围是 故选 A 5若将函数 y=6x+ ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变），再将所得图象沿 x 轴向右平移 个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换规律，可得所得函数的解析式为 y 由正弦函数的图象的对称性，求得所得函数的一个对称中心 【解答】 解：将函数 y=6x+ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍，可得函数 y=2x+ ）的图象， 再把图象向右平移 个单位长度，所得函数的解析式为 y=（ x ）+ = 令 2x=k z，求得 x= ， k z，故所得函数的对称中心为（ ， 0）， k z， 当 k=1 时，函数的一个对称中心是（ ， 0）， 故选： D 6若数列 等差数列， 其前 n 项和，且 6，则 于（ ） A 54 B 50 C 27 D 25 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 数列 等差数列，用 示出来，化简可得 ，根据=9 得答案 【解答】 解：由题意，数列 等差数列，设公差为 d， a4=d， 可得： （ d） 6， 2d 6=0 d=3，即 ， 那么 =9 7 故选： C 7已知 圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称，则圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由已知直线 3x 11=0 过圆心 C（ 1， 2），从而得到 a=4，点（ 1， 1）到圆心 C（ 1， 2）的距离 d=1，圆 C： x2+2x+4y=0 的半径 r= ，由此能求出圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长 【解答】 解： 圆 C： x2+2x+4y=0 关于直线 3x 11=0 对称， 直线 3x 11=0 过圆心 C（ 1， 2）， 3+2a 11=0，解得 a=4， （ ， ） =（ 1， 1）， 点（ 1， 1）到圆心 C（ 1， 2）的距离 d= =1， 圆 C： x2+2x+4y=0 的半径 r= = ， 圆 C 中以（ ， ）为中点的弦长为： 2 =2 =4 故选： D 8执行如图所示的程序框图，若输入 t 的值为 5，则输出的 s 的值为（ ）A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 t=5，可得：进入循环的条件为 k 5，即 k=2， 3， 4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 t=5， s=1， k=2 满足条件 k t，执行循环体， s=1+ = ， k=3 满足条件 k t，执行循环体， s= = ， k=4 满足条件 k t，执行循环体， s= + = ， k=5 不满足条件 k t，退出循环，输出 s 的值为 故选： D 9若从区间（ 0， e）（ e 为自然对数的底数， e=内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e 的概率为（ ） A B C 1 D 1 【考点】 几何概型 【分析】 由题意， ，区域面积为 两个数之积小 于 e， ，区域面积为 e+ =2e，即可得出结论 【解答】 解：由题意， ，区域面积为 这两个数之积小于 e， ，区域面积为 e+ =2e， 这两个数之积小于 e 的概率为 ， 故选 A 10函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = 的定义域为： x 1；排除 D， 当 x= 1 时， f（ 1） = 0，排除 B 当 x=2 时， f（ 2） = 0，排除 C； 故选： A 11已知三棱椎 S 各顶点都在一个球面上，球心 O 在 ， 底面的体积与三棱锥体积之比是 4， ，则该球的表面积等于（ ） A B 2 C 3 D 4 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据圆的性质求出 面积，代入体积公式分别计算棱锥和球的体积 【解答】 解： 球心 O 在 ， r， 底面 V 棱锥 = S S= 球的体积与三棱锥体积之比是 4， ： =4， r=1，球的表面积 S=4 故 选 D 12已知函数 f（ x） = ，若方程 f（ f（ x） 2=0 恰有三个实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A 0， + ） B 1， 3 C（ 1， D 1， 【考点】 根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用 【分析】 令 f（ t） =2，解出 t，则 f（ x） =t，讨论 k 的符号，根据 f（ x）的函数图象得出 t 的范围即可 【解答】 解：令 f（ t） =2 得 t= 1 或 t= （ k 0） f（ f（ x） 2=0， f（ f（ x） =2， f（ x） = 1 或 f（ x） = （ k 0） （ 1）当 k=0 时，做出 f（ x）的函数图象如图所示： 由图象可知 f（ x） = 1 无解，即 f（ f（ x） 2=0 无解，不符合题意； （ 2）当 k 0 时，做出 f（ x）的函数图象如图所示： 由图象可知 f（ x） = 1 无解， f（ x） = 无解，即 f（ f（ x） 2=0 无解，不符合题意； （ 3）当 k 0 时，做出 f（ x）的函数图象如图所示： 由图象可知 f（ x） = 1 有 1 解， f（ f（ x） 2=0 有 3 解， f（ x） = 有 2 解， 1 ，解得 1 k 综上， k 的取值范围是（ 1， 故选 C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1），如果向量 +2 与 2 平行，则 + = 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出 【解答】 解： +2 =（ 2m 1， 4）， 2 =（ 2 m， 3）， +2 与 2 平行， 4（ 2 m） 3（ 2m 1） =0， 解得 m= ， 则 + = 故答案为： 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体； 结合图中数据，计算它的体积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图知， 该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体； 且组合体的底面为直角三角形， 根据图中数据，计算组合体的体积为 V 组合体 =V 三棱柱 +V 三棱锥 = 2 1 1+ 2 1 1 = 故答案为： 15已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 点 直线交双曲线右支于 A、 B 两点，若 以 A 为直角顶点的等腰三角形，则实数 m 的值为 4 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可知丨 =m，丨 =2+丨 =2+m，由等腰三角形的性质即可求得 4= （ 2+m），丨 =m=2（ 1），丨 =2 ，由三角的面积公式，即可求得 面积 【解答】 解：双曲线 =1 焦点在 x 轴上， a=1， 2a=2， 设丨 =m，由丨 丨 =2a=2， 丨 =2+丨 =2+m， 又丨 =丨 =丨 +丨 =m+丨 ， 丨 =2，又丨 丨 =2， 丨 =4， 根据题意丨 = 丨 ，即 4= （ 2+m）， m=2（ 1）， 丨 =2 ， 面积 S= 丨 丨 = 2（ 1） 2 =4 2 ， 面积 4 2 ， 故答案为： 4 2 16数列 足 a1+a2+n n N+）数列 足 ，则 的最大项的值是 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知数列递推式可得，数列 2构成以 为公比的等比数列，求出其通项公式后代入 ，再由数列的函数特性求得 的最大项的值 【解答】 解：由 a1+a2+n n 取 n=1，求得 ； 由 n 1=2（ n 1） 1（ n 2）， 两式作差得 an+1，即 （ n 2）， 又 2= 1 0， 数列 2构成以 为公比的等比数列， 则 ， 则 = ， 当 n=1 时， ，当 n=2 时， ，当 n=3 时， ， 而当 n 3 时， ， 的最大项的值是 故答案为： 三、解答 题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 = （ ）求角 A 的值； （ ）若 B= ，且 面积为 4 ，求 上的中线 大小 【考点】 正弦定理 【分析】 （ I ） = ， 利 用 正 弦 定 理 化 为 2利用和差公式即可得出 （ A=B= ，可得 C= a=b， 4 ，解得 a c=2在 ，由余弦定理即可得出 【解答】 解：（ I） = ， 2 化为： 2C+A） = 0 ， A （ 0， ） A= （ A=B= ， C= a=b， 4 ，解得 a=4=b c=24 在 ，由余弦定理可得： 2 28 18某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图 分组 频数 频率 50， 60） 3 60， 70） m 70， 80） 13 n 80， 90） p q 90， 100 9 计 t 1 （ 1）求表中 t， q 及图中 a 的值； （ 2）该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行面批，设 0 分的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出 （ 2）由表格可知：区间 50， 60）中有 3 人，区间 60， 70）中有 5 人由 题意可得： X=0， 1， 2， 3则 P（ X=k） = ，即可得出 【解答】 解：（ 1）由表格可知：全班总人数 t =50， m=50 ， n= =+5+13+9+p=50，解得 p=20， q= =a= = （ 2）由表格可知：区间 50， 60）中有 3 人，区间 60， 70）中有 5 人 由题意可得： X=0， 1， 2， 3则 P（ X=k） = ，可得 P（ X=0） = ， P（ X=1）= ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = 随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望 +1 +2 +3 = 19如图，在三棱柱 ， 0， B=，点 O 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连接 明 可证明 平面 （ 2）若 ，求出 平面 离，即可求直线 平 面 成角的正弦值 【解答】 （ 1）证明：连接 B= 1B， 点 O 是 中点， C，点 O 是 中点， ， 平面 （ 2）解：由（ 1）可得 四边形 矩形， ， ， ， = ， ， = = ， 设 平面 离 为 h，则 = ， h= ， 直线 平面 成角的正弦值 = = 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， ），且一个焦点为 1， 0） （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若 椭圆 E 的三条弦， 在的直线分别与 x 轴交于点M， N，且 | 直线 方程 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由椭圆过点 P（ 1， ），且一个焦点为 1， 0），列出方程组，求出 a=2， b= ，由此能求出椭圆 E 的方程 （ 2）设 y=k（ x 1） + ， A（ B（ 联立 ，得（ 3+4 k（ 2k+3） x+4 12k 3=0，由此利用韦过定理，求出， ，用 k 代替 k ，得 ，从而得到 ，再由 求出直线 方程 【解答】 解：（ 1） 椭圆 E： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， ），且一个焦点为 1， 0）， ，又 a b 0，解得 a=2， b= ， 椭圆 E 的方程为 =1 （ 2）由题意知直线 斜率存在， 设 y=k（ x 1） + ， A（ B（ 联立 ，得（ 3+4k（ 2k+3） x+412k 3=0， ， ， = ， | 直线 斜率为 k， 用 k 代替 k，得 ， ， = = ， 又 直线 方程为 y （ x 1），即 x 2y+2=0 21已知函数 f（ x） =4x（ a R） （ 1）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 A（ B（ 0）是曲线 y=f（ x）上的两点， ，问 ：是否存在 a，使得直线 斜率等于 f（ 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求得函数的导数，讨论判别式和 a 的范围，分 a 2， 0 a 2， a 0，利用导函数分别大于 0 和小于 0 求得 x 的范围即可得到单调区间； （ 2）由题意求出 f（ =f（ ），由两式相等化简，令 ，则 t 1，则 ，令 h（ t） =（ t 1），利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数 a，使得直线 斜率等于 f（ 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =4x+导数为 f（ x） =2x 4+ =（ x 0）， 令 g（ x） =24x+a 当 =16 8a 0，即 a 2 时， 24x+a 0 恒成立，可得 f（ x） 0 恒成立， 即有 f（ x）的增区间为（ 0， + ），无减区间； 当 =16 8a 0，即 a 2，可得 24x+a=0 的两根为 x=1 ， 当 0 a 2 时， 1+ 1 0， 由 f（ x） 0，可得 x 1+ ，或 0 x 1 由 f（ x） 0，可得 1 x 1+ 即 f（ x）的增区间为（ 1+ ， + ），（ 0， 1 ）， 减区间为（ 1 ， 1+ ）； 当 a 0 时， 1+ 0， 1 0， 由 f（ x） 0，可得 x 1+ 由 f（ x） 0，可得 0 x 1+ 即 f（ x）的增区间为（ 1+ ， + ），减区间为（ 0， 1+ ）； （ 2）不存在实数 a，使得直线 斜率等于 f（ 证明如下： f（ =， f（ =， = =， 函数在 处的切线的斜率 k=f（ =f（ ） = ， 由 = ，得 ，即 = 令 ，则 t 1，则 ， 令 h（ t） =（ t 1）， h（ t） = ， 由 t 1，知 h（ t） 0， h（ t）在（ 1， + ）上单调递增， h（ t）