2.2直接证明与间接证明(教学设计)(1)

2.2 直接证明与间接证明（教学设计） （1） 2. 2 .1 综合法和分析法（1）-综合法 教学目标： 知识与技能目标： （1 ）理解综合法证明的概念；（2 ）能熟练地运用综合法证明数学问题。 过程与方法目标: （1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。 情感、态度与价值观： （1） 通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。 （2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。 教学重点：了解综合法的思考过程、特点 教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括 教学过程: 一、复习回顾，新课引入： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式 加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 二、师生互动，新课讲解： 1. 综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。 例 1（课本 P36 例）：已知 a,b0,求证 22()()4abcabc 给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为 ，2,0bc 所以 。()aa 因为 ，, 所以 。2 因此 。2()()4bcbc 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成 立，这种方法叫做综合法。 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：1223().nQQQ 综合法的特点是： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 例 2（课本 P37 例 3）：在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 ,且 A,B,C 成等差数列, 成等比数abc,abc 列,求证ABC 为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明 确表示出来是 A + B + C =； a , b，c 成等比数列，转化为符号语言就是 此时，如果能把角和边统一起来，那2 么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为 工具进行证明 证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C 因为 A,B,C 为ABC 的内角，所以 A + B + C= 由，得 B= 3 由 a, b，c 成等比数列，有 2bac 由余弦定理及，可得 2 2osac 再由，得 2 即 ， ()0c 因此 a 2 从而 A=C 由，得 A=B=C= 3 所以ABC 为等边三角形 注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言 等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 例 3：已知 求证,Rba.aba 分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设b, .0ba ，从而原不等式得证。0)( 0bababa 2）商值比较法：设 , 故原不等式得证。,0,1b.1)(baba 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商） 、变 形、判断符号。 例 4、若实数 ，求证：1x .)1()(3 242xx 证明：采用差值比较法： 242)()(3 = 32421xxx = =)( 34 )1()2 = .42)2,043)2(,0)1(, xx且从 而 成立 ,22 .)1()1(3 4xx 例 5设函数 f对任意 R，y，都有 ()()fxyfy，且 0x时， ()0fx （1）证明 ()f为奇函数； （2）证明 x在 R上为减函数 证明：（1） y， ， ()()fxyfy， 令 0， ()0f，()f ，令 ，代入 (ffx，得 (0)()fxf， 而 ， ()f ，fx 是奇函数； （2）任取 12R，且 12x， 则 0， 3 21()0fxfx 又 211()f，f 为奇函数，()f ，21(0xx ，即 21()0fxf，f 在 R上是减函数 三、课堂小结，巩固反思： 综合法的特点是： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 四、布置作业： A 组： 1、若 ，且 ab4，则下列不等式中恒成立的个数是 _（个） （写出所有正确的情况）0,a 2b12812ba 【答案】：1 个 【解析】项 ，所以 ， ；项， ；ba44141abba 项 ，所以 ；项，因为 ，222 所以 ，得 ，故只有正确。16)()(22 81ba 2、 （课本 P44 习题 2.2 A 组：NO：1）已知 都是锐角，且 ，BA, ,2)tan1)(t(, BABA 求证： .4B 解：因为 2)tan)(t( 展开得 tan1BA 即 （1）.1A 因为 ，所以 .因为 都是锐角,所以 都是锐角2B2BA2, 从而 )tan(t 所以 ,即 。1A0tanBA （1 ）式变形得 1tt 即 )tan(B 因为 都是锐角，所以 ，从而, 404 3、 （课本 P44 习题 2.2 A 组：NO：2） 4、在 AC 中，已知 ()()3abcab，且 2cosinsiABC判断 AB 的形状 解：