第14章 分析力学基础

1理论力学电子教案 分析力学基础 14-2 虚位移原理 第 14 章 分析力学基础 14-1 自由度 约束与 广义坐标 14-3 动力学普遍方程 14-4 第一类拉格朗日方程 14-5 第二类拉格朗日方程 14-6 拉格朗日方程初积分 2理论力学电子教案 分析力学基础 牛顿力学 研究的主要内容在于确定物体运动与 相互作用之间的关系，用矢量形式建立了质点系 动 力学普遍定理 （ 动量定理、动量矩定理和动能定理 ），这种处理动力学问题的方法和体系称为 “矢量力 学 ”。它形式简单，概念清晰，但由于矢量力学要求 事先对系统中每个质点的受力情况进行分析，所以 在研究求解具有复杂约束系统和变形体的动力学问 题方面会遇到很大困难。 3理论力学电子教案 分析力学基础 本章针对矢量力学所遇到的困难，首先介绍普 遍适用于研究任意质点系平衡问题的一个原理，它 应用功的概念 分析系统的 平衡问题 。从位移和功的 概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫 做 虚位移原理 。 它是研究 平衡问题 的最一般的原理，是 解决静 力学平衡问题 的另一途径。 4理论力学电子教案 分析力学基础 本章采用分析数学的方法来求解动力学问题， 它利用 能量和功 来描述物体运动与相互作用之间的 关系，在 达朗伯原理和虚位移原理 的基础上，导出 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程 （简称 拉格 朗日方程 ）。成为研究动力学问题的有力手段，在 解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷 、规范。 5理论力学电子教案 分析力学基础 14-1 自由度 约束与 广义坐标 1. 自由度 非自由质点 ：质点在空间的运动受到某种限制，它 的位置和（或）速度必须满足某种限制条件。 非自由质点系 ：由非自由质点组成的系统。 一个自由质点在空间的位置可用直角坐标（ x,y,z) 表示，这 3个坐标独立可变，称为 3个自由度 。若被限 制在平面内运动，则它的位置可由 2个坐标确定，因而 具有 2个自由度 。 自由质点 ：质点可占据空间任何位置。 6理论力学电子教案 分析力学基础 4个坐标中只要 给出 1个，另 3个就 确定了，此质点系 具有 1个自由度 例如： 曲柄连杆机构 2约束及其分类 为研究方便，对静力学中约束概念重新定义， 即限制质点或质点系运动的各种条件称为 约束 。表 示这些限制条件的数学方程称为 约束方程 。下面从 不同角度对约束分类。 7理论力学电子教案 分析力学基础 平面单摆 例如： 2个坐标中只要 给出 1个 , 另 1个就 确定了，此质点系 具有 1个自由度 平面运动的刚体可由其 上任意一线段 OM的位置确 定，因 OM两点的距离为已 知，它具有 3个自由度 。 8理论力学电子教案 分析力学基础 (1) 几何约束和运动约束 当约束对质点或质点系的运动情况 进行限制时，这种约束条件称为 运动 约束 。如图，车轮作纯滚动。 又如，质点 M在固定曲面上运动 ，其曲面方程就是该质点的约束方程 ，即 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束 。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限 制条件都是 几何约束 。 9理论力学电子教案 分析力学基础 几何约束 运动约束 (2) 定常约束和非定常约束 如图，初始时摆长 l0 , 匀速 v拉 动绳子。则 x2+y2=(l0-vt)2该方程中 显含时间 t。 约束方程不显含 t 的约束为 定常约束 。前面的例 子中约束条件都是定常约束。 当约束条件与时间有关，并随时间变化时，即 约束方程显含 t 时，这类约束称为 非定常约束 。 10理论力学电子教案 分析力学基础 (3) 其他约束 若约束方程中含有坐标对时间的导数，且方程不 可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导 数项不是某一函数全微分，这类约束称为 非完整约 束 。反之，若约束方程中不包含坐标对时间的导数 ，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式， 这类约束称为 完整约束 。例如上述做纯滚动的车轮 的约束就是完整约束。 完整约束的一般形式为 11理论力学电子教案 分析力学基础 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是 几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约 束未必是非完整约束。 如右图，刚性杆限制了 质点 M拉伸和压缩方向的位移， 这类约束称为 双面约束 （或 固执约束）。若刚性杆改为 绳，则只限制单一方向运 动，该类约束称为 单面约束 （或非固执约束）。显 然双面约束方程为等式，单面约束方程为不等式。 刚杆 x2+y2=l2 绳 x2+y2 l2 12理论力学电子教案 分析力学基础 本章只讨论 定常双面几何约束 ： 式中 n为质点系的质点数， s 为完整约束的方程数。 一个自由质点 在空间的位置：（ x, y, z ) 一个自由质点系在空间的位置 :(xi ,yi ,zi )(i=1,2n ) ， 对一个非自由质点系，受 s个完整约束 ， 有 (3n-s )个独 立坐标。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独 立坐标的数目 ，称为该质点系的 自由度的数目 ，简称为 自由度 。 3广义坐标 13理论力学电子教案 分析力学基础 例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA的转角 为 广义坐标 ，则： 广义坐标选定 后，质点系中每一 质点的直角坐标都 可表示为广义坐标 的函数。 用来确定质点系位置的独立参变量 ，称为 广义 坐标 。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取 线位移（ x, y, z, s 等）也可取角位移（如 , 等） 。 14理论力学电子教案 分析力学基础 在完整约束条件下，确定质点系位 置的独立参变量的数目等于系统的自由 度数 。 例如：一质点 M限制在球面的 上半部运动，则 故该质点在空间的位置由 x， y就可确定，其自由度数 为 2。式中 R为球的半径，球心坐标为（ a,b,c)。 15理论力学电子教案 分析力学基础 如上面的质点 M的位置由 x ， y确定，则 x ， y就 是其一组广义坐标，此外，我们可以选取其它的一 组独立参变量 (x,h)来表达其位置： 广义坐标的选择并不是唯一的。 16理论力学电子教案 分析力学基础 设 q1， q2， ， qN(N=3n-s)为系统的一组 广义 坐标 ，我们可以将各质点的坐标表示为 (14-4) 考虑 n 个质点 组成的系统受到 s 个完整双面约束 (14-3) 17理论力学电子教案 分析力学基础 某瞬时，质点系中质点为 约束允许的任意的无 限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。 虚位移可以是 线位移 ，也可以是 角位移 。通常 用变分符号 d 表示虚位移。 1虚位移 系统中质点在平衡时 本来是不动的，但我们 假想在约束允许条件下， 给某质点一个任意的、 极其微小的位移。 14-2 虚位移原理 18理论力学电子教案 分析力学基础 实位移是在一定条件下真正实现的位移，它除了 与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的 初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关，在 定 常约束下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚 位移可以有多个，甚至无穷多个 。 而对于 非定常约束 ，如图所示 ，由于实位移与时间有关，而虚 位移是将时间固定后，约束允许 的位移，此时 实位移不再是虚位 移之一 。 19理论力学电子教案 分析力学基础 设 q1， q2， ， qN(N=3n-s)为系统的一组广义 坐标，我们可以将各质点的坐标表示为 (14-4) 考虑 n个质点组成的系统受到 s个完整双面约束 (14-3) 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到 (14-5) 其中 dqk(k=1,2,3, N)为广义坐标 qk的变分，称为 广义虚位移 。 20理论力学电子教案 分析力学基础 非自由质点系的各质点，其运动互相制约，因 此各质点的虚位移间也应存在一定的联系 , 确定这 些联系通常有两种方法： (一 ) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比 ，可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关 系。 21理论力学电子教案 分析力学基础 (二 ) 解析法 质点系中各质点的坐标可表示为广义 坐标的函数 （ q1 ， q2 ， ， qk）， 广义坐标分 别有变分 dq1 ， dq2 ， dqk ，各质点的虚位移 dri 在直角坐标上的投影可以表示为 22理论力学电子教案 分析力学基础 虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采 用了同一符号 dW， 但它们之间有本质区别 。 力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功 ， 记为 dW 。 2虚功 虚功 是假 想 的，不是真实发生的。在静止质点 系或机构中，力没有做任何功，但力可以有虚功。 23理论力学电子教案 分析力学基础 如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力 所做虚功的和等于零 ，称这种约束为 理想约束 。 质点系受有理想约束的条件： 3理想约束 如光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不 可伸长的柔索、固定端等约束均为 理想约束 。 24理论力学电子教案 分析力学基础 4）无重刚杆。 5）不可伸长的柔索。 3）刚体的纯滚动 1) 光滑固定面约束 2)活动铰支座、 固定铰支座和向心轴承 25理论力学电子教案 分析力学基础 分析图示机构在图示位置 时，点 C、 A与 B的虚位移。 ( 已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统， 取杆 OA与轴 x 夹角 为广义坐标 。 1. 几何法 例题 14-1 26理论力学电子教案 分析力学基础 将 C、 A、 B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得 2. 解析法 例题 14-1 27理论力学电子教案 分析力学基础 对广义坐标 求变分， 得各点虚位移在相应坐标 轴上的投影： 例题 14-1 28理论力学电子教案 分析力学基础 例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。 两个自由度取广义坐标 ， 29理论力学电子教案 分析力学基础 4. 虚位移原理 如图，设一质点系 静止 ，任取一 质点，则该质点也处于 静止 状态， 有 若给质点系某虚位移，则作用 于该质点上力的 虚功之和 为 对质点系所有质点，都可以得到上面同样的等式 ，把这些等式相加，得 30理论力学电子教案 分析力学基础 如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移 中所作的虚功和为零，即 (14-6) 所以可得结论： 对于具有理想、双面、定常约 束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质 点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 为零 。这个结论称为 虚位移原理 ，也称 虚功原理 ， 式 (14-6)又称 虚功方程 。该方程也可写成解析式： (14-7) 31理论力学电子教案 分析力学基础 充分性：即质点系满足 ，质点系一 定平衡。若 ，而质点系不平衡，则 至少有第 i个质点不平衡。 上面的推导证明了 虚位移原理的必要性 ，下面给 出其 充分性 ： 在 FRi方向上产生实位移 dri，取 dri=dri，则 对质点系： 在理想约束下 与前题条件矛盾 故 时质点系必处于平衡。 32理论力学电子教案 分析力学基础 以不解除约束的理想约束系统为研究对象（若系 统无自由度，则需要解除约束，使得系统至少有一个 自由度）。若系统存在非理想约束，可把它们计入主 动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束力，需解除相应的约束，代之以约 束力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究 对象只解除一个约束，将一个约束力计入主动力，增 加一个自由度。 应用 虚位移原理求解质点系平衡问题 的步骤 和要点： 1. 正确 选取研究对象 33理论力学电子教案 分析力学基础 2. 正确进行 受力分析 ： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的非理 想约束力和待求的约束力。 3. 正确进行 虚位移分析 ，确定虚位移之间的关系。 4. 应用 虚位移原理建立方程 。 5. 解虚功方程求出未知量 。 34理论力学电子教案 分析力学基础 图示椭圆规机构，连杆 AB长 l，杆重和滑道摩 擦不计，铰链为光滑的，试求在图示位置平衡时， 主动力大小 P和 Q之间的关系。 解：研究整个机构 。系统的所有约束都 是完整、定常、理想 的。 例题 14-2 35理论力学电子教案 分析力学基础 1. 几何法 ：使 A发生虚位移 ， B的虚位移 ，则由虚位 移原理，得虚功方程： 由 drA的任意性，得 P = Qtan 例题 14-2 36理论力学电子教案 分析力学基础 2、 解析法 由于系统为单自由度，可取 为广义坐标 。 由于 任意，故 例题 14-2 37理论力学电子教案 分析力学基础 解：这是一个具有两个自 由度的系统，取角 及 为广 义坐标，现用两种方法求解 。 均质杆 OA及 AB在点 A用铰连接，并在 O点用铰支 承，如图所示。两杆各长 2a和 2b，各重 P1及 P2，设 在 B点加水平力 F 以维持平衡，试求两杆与铅直线 所成的角 及 。 例题 14-3 38理论力学电子教案 分析力学基础 应用虚位移原理 代入 (a)式，得： 解法一（ 解析法 ）： 例题 14-3 39理论力学电子教案 分析力学基础 由于 d， d是彼此独立的，所以： 由此解得： 例题 14-3 40理论力学电子教案 分析力学基础 而 代入上式，得 解法二（ 几何法 ）： 先使 保持不变，而使 获得变分 d，得到系 统的一组虚位移，如图所示。 例题 14-3 41理论力学电子教案 分析力学基础 再使 保持不变，而使 获得变分 d，得到系 统的另一组虚位移，如图所示。 而 代入上式后，得： 图示中： 例题 14-3 42理论力学电子教案 分析力学基础 5. 以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用在第 i个质点上的主动力的合力 在三 个坐标轴上的投影分别为（ Fxi ,Fyi ,Fzi ），把式 (14- 5)中广义坐标表示的虚位移代入 虚功方程 ，得到 (14-8) (14-9) 43理论力学电子教案 分析力学基础 则式 (14-8)可以写成 (14-10) 上式中 Qkdqk具有功的量纲，所以称 Qk为与广义坐标 qk相对应的广义力。 由于 广义坐标的独立性 ， dqk可以任意选取，则 若式 (14-8)成立，必须有 (14-11) 上式说明， 质点系的平衡条件是系统所有的广义力 都等于零。 这就是 用广义坐标表示的质点系的平衡 条件。 44理论力学电子教案 分析力学基础 求广义力的方法有两种：一种方法是直接从式 (14-9)出发进行计算；另一种是利用广义虚位移的任 意性，令某一个 dqk不等于零，而其他 N-1个广义虚 位移都等于零，代入 从而 (14-12) 在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便。 下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在 质点系上的主动力都是有势力，则势能应为各质点坐 标的函数，为 (14-13) 45理论力学电子教案 分析力学基础 则虚功方程 (14-8)中各有势力的投影可以表达为 于是有 这样，虚位移原理的表达式成为 dV=0 (14- 14)上式说明： 在势力场中， 具有理想约束的质点系的 平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分 为零。 46理论力学电子教案 分析力学基础 如果用广义坐标 q1， q2， ， qN表示质点系的位置 ，则有 由广义力表达式 (14-9)，在势力场中可将广义力 Qk 表达为 (14-15) 则 由广义坐标表示的平衡条件 ： (14-16) 47理论力学电子教案 分析力学基础 图 a中球的平衡状态称为 稳定平衡 ； 即： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零 。上面 式 (14-14)和式 (14-16)对于求解弹性系统的平衡问题具 有重要意义。 引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题， 满足平衡条件的保守系统可能处于不同的稳定状态。 图 b称为 随遇平衡 ； 图 c中小球的平衡状态称为 不稳定平衡 。 48理论力学电子教案 分析力学基础 上述三种平衡状态都满足势能在平衡位置处 dV=0的平衡条件，但在稳定平衡位置处，系统受到 扰动后，新的位置系统的势能高于平衡位置处的势 能，因此，在稳定平衡位置处，系统的 势能具有 极 小值 ，因而系统可以回到低势能位置处；相反在不 稳定平衡位置上，系统势能具有 极 大值 ，在没有外 力作用下，系统不能从低势能处回到高势能处；对 随遇平衡，系统在某位置附近的 势能是不变 的，所 以其附近任何位置都是平衡位置。 49理论力学电子教案 分析力学基础 如果系统处于 稳定平衡状态 ，则在平衡位置处， 系统势能具有 极小值 ，即系统对广义坐标的二阶导 数大于零 该式是 一个自由度系统平衡的稳定性判据 。 对于一个自由度系统，只有一个广义坐标 q，则 系统势能为 q的一元函数，即 V=V(q)，当系统平衡 时，在平衡位置处有 50理论力学电子教案 分析力学基础 1. 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2. 求系统在已知主动力作用下的平衡位置，并可以 判断弹性系统平衡位置的稳定性（静力学列平衡方程 不能解决此问题） ； 3. 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力； 4. 求平衡构架内二力杆的内力。 虽然虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束， 但也可以用于有非理想约束的情况，只要把非理想约束 力当作主动力，在虚功方程中计入力所作的虚功即可。 6. 虚位移原理的应用 51理论力学电子教案 分析力学基础 图示多跨静定 梁，试求支座 B处 约束力。 解：将支座 B 除 去，代入相应 的约束力 FB。 例题 14-4 52理论力学电子教案 分析力学基础 例题 14-4 53理论力学电子教案 分析力学基础 滑套 D套在光滑直杆 AB上， 并带动杆 CD在铅直滑道上滑动 。已知 =0o时，弹簧等于原长 ，弹簧刚度系数为 5 kN/m， 试 求在任意位置（ 角）平衡时， 加在杆 AB上的力偶矩 M ？ 解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主 动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统 简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。 例题 14-5 54理论力学电子教案 分析力学基础 选择 AB杆、 CD杆和滑套 D的系统为 研究对象。 由虚位移原理，得： 例题 14-5 55理论力学电子教案 分析力学基础 n个质点组成的系统，第 i个质点各参数为 ： 。若系统只受理想约束，由达郎贝 尔原理和虚位移原理，有 上式表明， 在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所 受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功 之和等于零。 该式称为 动力学普遍方程。 14-3 动力学普遍方程 (14-17) 写成解析式，有 (14-17a) 56理论力学电子教案 分析力学基础 动力学普遍方程 将达朗贝尔原理与虚位移原理 结合，可求解质点系的动力学问题，特别适合求解 非自由质点系的动力学问题。 (14-17a) (14-17) 57理论力学电子教案 分析力学基础 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A 置于光滑水平面上， A和 B的质量分别为 M和 m，斜 面倾角为 。试求三棱柱 A的加速度。 解：研究两三棱柱 组成的系统。该系统 受理想约束，具有两 个自由度。 例题 14-6 58理论力学电子教案 分析力学基础 由动力学普遍方程： 系统为二自由度，互不相关的 dxA， dsB为独立虚 位移，且 Q=mg，所以 解得： 例题 14-6 59理论力学电子教案 分析力学基础 14-4 第一类拉格朗日方程 把约束方程 (14-3)代入动力学普遍方程 (14-17)， 并引入符号 (14-18) 对式 (14-3)取变分 (14-19) 引入拉格朗日乘子 lk(k=1,2,3 ,s)，将上式两端乘 lk并 对 k求和 (14-20) 把式 (14-17) 与式 (14-20) 相减，得 60理论力学电子教案 分析力学基础 在 3n个质点坐标中，独立坐标有 3n-s个，对于 s个 不独立的坐标变分，可以选取适当的 lk ，使得变分前 的系数为零，而此时独立坐标变分前的系数也等于零 ，有 (14-21) 上式就是带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，又称 为 第一类拉格朗日方程 。方程有 3n+s个未知量，故须 与方程 (14-3)联立求解。对式 (14-21)与质点系的达郎 贝尔原理进行比较，可以看出含拉格朗日乘子 相对应与 s个约束作用于系统内各质点上的约束力。 61理论力学电子教案 分析力学基础 采用拉格朗日乘子也可以求解具有非完整约束系 统的动力学问题，因而具有更为普遍的应用性。 (14-21) 62理论力学电子教案 分析力学基础 14-5 第二类拉格朗日方程 设 q1， q2， ， qN(N=3n-s)为系统的一组广义坐标 ，由式（ 14-4） 对上式两边求变分，得到 把上面两式代入 (14-15)并注意交换求和次序，有 63理论力学电子教案 分析力学基础 对完整系统， dqk(k=1,2,3, N) 是任意的，上式恒 成立，有 (14-22) 上式第二项与广义力 Qk相对应，称为 广义惯性力 。 式 (14-22)不便直接应用，可以做如下变换： (14-23) (14-24) 64理论力学电子教案 分析力学基础 式 (14-24)的简单证明： 对时间求微分 (14-25) (14-26) 65理论力学电子教案 分析力学基础 在式 (14-4)具有一阶和而阶连续偏导数下 ,有式 (14-24) 成立 由式 (14-23) 和式 (14-24),有 (14-27) 将式 (14-27)代入式 (14-22)，得到 (14-28) 上式称为 第二类拉格朗日方程 ,简称 拉格朗日方程 ，其 方程式数目 等于质点系的 自由度数 。 66理论力学电子教案 分析力学基础 如果作用在质点系上的主动力都是有势力 (保守力 )，则广义力 Qk可写成用质点系势能表达的形式（式 (14-15)） ,于是式 (14-28)为 (14-28a) 引入 拉格朗日函数 (又称为 动势 ) 注意到势能不是广义速度的函数 ,则拉格朗日方程 又可以写成 (14-28b) 67理论力学电子教案 分析力学基础 应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 k，选取适宜的 广义坐标 。 必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余 的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的 动能 T，表示为广义速度和广义坐 标的函数。 (14-28) 68理论力学电子教案 分析力学基础 3. 计算 广义力 Qj(j=1,2, k)，计算公式为： 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方 程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。 或 若主动力为有势力，须将势能 V表示为广义坐 标的函数。 (14-28) 69理论力学电子教案 分析力学基础 水平面内运动的行星齿轮机构。均 质杆 OA：重 P，可绕 O点转动；均质小齿轮：重 Q ，半径 r ，沿半径为 R的固定大齿轮滚动。系统初 始静止，系杆 OA位于图示 OA0位置。系杆 OA受大 小不变力偶 M作用后，试求系杆 OA的运动方程。 例题 14-6 70理论力学电子教案 分析力学基础 解：图示机构 只有一个自由度。所受约束皆 为完整、理想、定常的，可取 OA杆转角 为广义坐标。 例题 14-6 71理论力学电子教案 分析力学基础 例题 14-6 代入拉氏方程： 72理论力学电子教案 分析力学基础 积分，得： 故： 代入初始条件， t =0 时， 得 例题 14-6 73理论力学电子教案 分析力学基础 与刚度为 k 的弹簧相连的滑块 A，质量为 m1,可 在光滑水平面上滑动。滑块 A上又连一单摆，摆长 l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程 。 例题 14-7 74理论力学电子教案 分析力学基础 解：将弹簧力计入 主动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 2个 自由度系统。系统是保 守系统。取 x , 为广义 坐标， x 轴 原点位于弹 簧自然长度位置， 逆 时针转向为正。 例题 14-7 75理论力学电子教案 分析力学基础 系统动能：例题 14-7 系统势能：（以弹簧原长 为弹性势能零点，滑块 A 所在平面为重力势能零点 ） 76理论力学电子教案 分析力学基础 拉格朗日函数： 例题 14-7 77理论力学电子教案 分析力学基础 代入： 并适当化简得： 例题 14-7 78理论力学电子教案 分析力学基础 系统的运动微分方程。 上式为系统在平衡位置 (x =0, =0)附近微幅运动的 微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则 例题 14-7 79理论力学电子教案 分析力学基础 14-6 拉格朗日方程的初积分 拉格朗日方程的求解需要对式 (14-28)进行积分 ,对 于保守系统，在一定条件下 ,可以直接给出初积分的 一般形式 . 1. 能量积分