高中数学必修五《等比数列前n项和》说课稿 (2)

1等比数列前 n 项和说课稿各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第 5个模块中第二章的 2.5 等比数列的前 n 项和的第一节课。下面我从教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、评价分析等六个方面对本节课设计进行说明。一、教材分析1、教材的地位与作用等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2、教材处理根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般,由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。同时，教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。.3、教学重点、难点、关键教学重点：等比数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用教学难点：等比数列的前 n 项和公式的推导。教学关键：推导等比数列的前 n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。4、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。二、教学目标分析作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：1、知识与技能目标：理解等比数列的前2n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。2、过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。3、情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。三、教法、学法分析1、教法分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然” ，还要“知其所以然” ，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。本节课将采用“多媒体优化组合激励发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。2、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。根据新课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了创设情景观察归纳讨论研究即时训练总结反思任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；同时从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，帮助学生培养勇于探索、不断创新的思维品质。3四、教学过程分析教学环节教 学 设 计 设计意图复 习 回 顾1、等比数列 na的定义及通项公式 1(2)naq，1nqa。2、等比中项：如果 a,b,c 成等比，则 bc。3、等比数列 na的一些结论：mnnqamqpmqp时 ， 则 通过复习等比数列的定义、通项公式及等比数列的性质，以旧悟新，为学习新知识埋下伏笔。4引 入情 境 分 析展 示 课 题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？师：同学们，你能解释这是为什么吗？本节课我们研究等比数列前 n项和 ，通过学习，我们就可以很容易解释这个问题了。 （板书课题）2.5 等比数列的前 n 项和一般地，等比数列的前 n 项和用 ns表示，即：12nsa。此时我再问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 363+2。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这时我对他们的这种思路给予肯定在肯定他们的思路后，我接着问： 23631+是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨 1：设 236+，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项， （1）式两边同乘以 2 则有 s2363464=+，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点。在实际教学中，由于受课堂时间限制，急急忙忙地抛出“错 位相减法”，这样 做有悖学生的认知规律；求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“ 减”，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。教学环节教 学 设 计 设计意图引入情境分析展示课题 经过比较、研究，学生发现：（1） 、 （2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：641s。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观教师推导全过程。师：为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？生：乘以 2 后使得（1）式与（2）式出现相同的项，从而可以实现两式相减，消去相同的项。让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。5新 课 讲 授推 导 公 式这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列 na，首项为 1，公比为 q，如何求前 n 项和 s呢？在此让学生自主完成，并叫一名学生上黑板，然后对每个学生在自觉研究时遇到的难题进行指导点拔。在学生推导完成后，我再问：由 nn1(-q)s=a-得n1na-qs=，对不对呢？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是什么数列？此时 ?ns（这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础 ）即：11()1nnaSq再次追问：结合等比数列的通项公式 1nnaq，如何把 ns用 1a、na、 q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）即：111nnaqS在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。教学环节教 学 设 计 设计意图6新 课 讲 授推 导 公 式在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？方法二：我们知道, 2-1n11n2s=a+qaq()。那么我们能否利用这个关系而求出 s呢？即：提取公比 q，有： 221111nnnSaaq（ ） ）（ 11nqaSa)(11)1nnqSa方法三：根据等比数列的定义又有 21134naa=q ，能否联想到等比定理从而求出 ns呢？即：利用等比定理 12a34qan1S2qaSqn1)(11n以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 1nnqsa, 这其实就是关于 n的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用。教学环节教 学 设 计 设计意图7讲 授 新 课例 题 讲 解例 1、口答下列各题：(1)求等比数列 1,248 的前 10 项的和；(2)已知等比数列 na中， 12， 3q，求 s；(3)请利用第(2)题的数据，自己编题，改求 1a或求 q，并求解(自己拟题能巩固和深化所学的知识)生：(口答)（1）1010()235s（2）33()26s(3)生甲：已知：q=3， 3s求 1a解： 13()26as， 1。生乙：已知： 1， 3s。求 q。解： 32()6qs， 2103或 q=-4。例 2、已知 na为等比数列，且 nsa， 2nb，(ab0)，求 3ns。师：要求 3s，需知 1，q，而已知条件为 s和 2n能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？生甲： 1() (1)nnasq2112()() (2)nnnaqb（1）式除以（2）式得： na，即 1 (3)nq分别用公式（1）、公式（2）解答，使学生认识到掌握题目的数量关系后，可以从多角度去解应用题，培养学生发散思维。同时，采用学生自主设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识教学环节教 学 设 计 设计意图8讲 授 新 课例 题 讲 解将（3）式代入（1）式得：1()baq，则21aqb，32313()()nnaqsab以下再化简即可师：这位同学处理问题很巧妙他没有分别求得 1a与 q的值，而改为求nq与 1a的值，这样使问题变得简单些，请问同学们，这样解这个题目是否有问题呢？生乙：我认为第（1）式就有问题，他附加了条件 1q，而对 情况没有考虑师：对！使用等比数列前 n 项和公式时，要特别注意适用条件，即1q时， 1nsa； q时， 11()nnasq。(含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1 情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性)(学生演算习题，教师投影出正确答案)解：设数列的公比为 q。若 1(此时数列为常数列)，则 1nsa，21nsab，此时， ，则 313()2nnsasb或 。若 q，即 2b，则由已知 1() ()nnaqs212() (2)nnb又因为 0a，所以由（2）式除以（1）式得：21nqba，即1nbq，所以 (3)nbq熟练公式运用，着重强调公式的选择.解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨， 该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想同时，培养学生的口头表达能力，归纳概括能力教学环节教 学 设 计 设计意图9讲 授 新 课例 题 讲 解将（1）式式变形后代入（3）式得：21naaqb，于是数列的前 3n 项的和为： 3222313()1().nnaqabbs xa师：(小结)这节课我们从已有的知识出发，用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法)推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识如已知 1a，n，q，则选择1()nSaq已知 a1，q，a n，则选择1nS对含字母的题目一般要分别考虑 q=1 和 q1 两种情况，不能附加条件，统一按 11()nnnaqs去解题。小结：等比数列的通项公式 1na和前 n 项和公式11()nnnaqs中，从 1,nqs这五个量中，只要知道任意三个量，均可求得其余两个量。在解答例 2时， 经老师启发引导后，让学生先练后讲，巩固学生的解题程序，强化应用意识，加深学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想的重要性的认识， 进一步掌握分类讨论的数学思想。同时，应用前 n 项和公式过程中，抓住五个量只要知道任意三个即可求其余两这一重要点，以求使解题思路更清楚。教学环节教 学 设 计 设计意图10巩 固 练 习1、求 1,23,45862 的前 n 项和2、求 的前 n 项和3、求数列 231(0)aa 的前 n 项和。4、画一个边长为 2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2 个正方形,依此类推,这样一共画了 10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和。再次强化求和公式解题程序。通过变式练习， 进一步巩固对等比数列的前n 项和的公式的理解，培养学生求异、发散等思维能力。归 纳 总 结以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法方面总结：(1) 等比数列的前 n 项和公式(2) 公式的推导方法错位相减法(3) 求和思路构造常数列或部分常数列。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。启发、引导学生归纳总结，一方面可以了解学生听课接受能力的情况，另一方面可以培养学生归纳总结的能力，使学生系统记忆本节课所学习的知识。教学环节教 学 设 计 设计意图11布 置 作 业1、课本 69P习题 2.5 第 1、2 题。2、自己编写一道求等比数列的前 n 项和的练习题。3、写一篇学习“等比数列的前 n 项和”的心得。布置与课堂例题同类型的习题做作业，可以复习、巩固课堂学习的知识。让学生深一层理解课堂所学习的知识，提高应用知识的能力，这是当前教改的新措施。教 学 信 息 反 馈五 分 钟 测 验“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案应该是多少？通过小测验检查学生对该节内容学习的情况，真实地反馈教学信息，从而在下一节课及时调控，查漏补缺，提高教学质量。五、板书设计分析课题公式情境引入公式推导过程例 1例 2堂上练习布置作业公式写在开头课题之下，方便学生辨认公式、记忆公式和运用公式。把情境引入、公式推导过程及例 1、例 2 安排在黑板中间，突出重点，有利于学生系统理解和掌握知识，培养学生的理性思维。整个黑板书写从左向右安排得整齐有序